Файл: Ливенцев В.В. Кибернетика горных предприятий (основные положения) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 1
Мы получили максимально возможную мощность системы при структуре внутренних связей, которая характеризуется коэффициентом связей а = 0 , 1 . При другом значении а (на пример, а = 0,01) мы получим другую схему системы:
«о=51 и W/ max=76,5 бит/сек.
Из формулы (11.75) видно, что оптимальное число элемен тов в системе зависит только от коэффициента а. Чем мень ше а, т. е. чем меньше потери информации внутри системы, тем больше по. При этом соответственно возрастает мощность системы.
Информационная мощность во многом зависит также от структуры системы, которая часто строится по иерархическо му принципу.
Иерархией называется деление системы на высшие и низ шие подсистемы в порядке подчинения их друг другу.
Совокупность равноправных подсистем образует ступень управления. Количество ступеней управления в системе опре деляет ранг системы. Если в системе нет ступеней управления, то система имеет нулевой ранг. В системе 1-го ранга имеется одна ступень управления, в системе 2-го ранга — две ступени управления и т. д.
Иерархическое построение управляющих систем повышает их информационные мощности. Покажем это свойство на при мере.
Пусть система, содержащая N элементов, имеет две ступе ни управления. Это означает, что общее число элементов N разбито на m подсистем. Первая подсистема содержит П\ эле
ментов, |
вторая — п2 элементов, |
m-ная с и с т е м а — п т эле |
|
ментов, |
причем соблюдается равенство п{ + ... + пт |
= N. |
|
Между элементами подсистем |
существуют |
внутренние |
|
взаимосвязи, характеризующиеся коэффициентами связей ин
формационной |
мощности отдельных элементов <w/(ï=l,2,...,#s ; |
||
/ = 1,2..., ns; |
s = l,2,..., |
m; |
ns — число элементов, со |
держащееся в 5-той подсистеме). |
|
||
В процессе |
управления |
между |
собой также взаимодей |
ствуют и подсистемы, координируя свои функции. Внутренние связи в системе между подсистемами можно характеризовать коэффициентом связи информационной мощности отдельных
подсистем |
$Sq, |
который обозначает |
потерю |
мощности |
s-той |
||
подсистемы |
на |
связь с ^-той подсистемой. |
Тогда полезная |
||||
мощность подсистем составит: |
|
|
|
||||
|
для 1-й подсистемы |
|
|
|
|
||
|
W, = [ И 1 ) |
~ <«й> + «й + |
... + 4> + ... + |
V i " ] |
+ |
||
+ |
- |
+ |
... + |
« J J 4 . . . |
+ < ) |
ѵП+...+[ѵГ- |
|
|
5* |
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
- ( « i . , ) + |
«fi) |
+ |
. . . + « i } , |
+ |
- |
+ |
eliî)W" |
+ |
|
||||||||
4- ... 4- |
[ |
Ѵа!> - |
( « й + |
|
+ . . . + |
«£} 4- ... + |
|
|
VA»]: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.78) |
|
для 2-й подсистемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
U72 |
- |
[ vP |
- |
|
|
|
«S1 |
+ . . . + «1У + |
-. + |
«ßi) |
v f >] |
+ |
|||||||
|
4- [ И 2 ) - |
(«S» + |
og> + . . . + |
42 / + |
... + |
«g>) |
V f >)+ |
|||||||||||||
|
+ ... + |
[ |
- |
(«i?> + |
«g> + ... + |
«й> + . . . |
+ «fi) И 2 ) ] |
+ |
||||||||||||
|
|
|
4- |
- |
+ [V„t |
— (a*2,} 4- a„,2 |
4- ... 4- a'2»/ + |
... + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T C H ) ) ^ ? ] ; |
|
|
|
|
|
(H-79) |
|||||||
|
для s-той подсистемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ws |
= [ V7S> - |
(aif + |
«i»' + |
... + |
«if + ... + |
« ( ф V i ( |
S ) l 4- |
||||||||||||
|
4- [ W s |
> - (4f> 4-ой' 4- ... 4- <$> 4- |
|
4- |
« й ^ |
Ѵ Л |
4- |
|||||||||||||
|
|
4-... + |
[ ^ |
- ( |
« I |
f |
+ «If' |
+ |
- |
4- |
4 ? |
> |
+ |
... 4- |
|
|||||
|
|
|
|
+ < ! ) W S ) J + - + [VlnSJ - ( < i + a< j , + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4- ...4- <>• + ... |
4- <*$„,_„) |
VIs;]; |
|
(11.80) |
|||||||||||
|
для m-ной подсистемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Wm |
= [Ѵ^-(а[Т |
|
|
+ a[f + |
... 4- « i f |
4 |
|
|
|
Ѵ < 1 , Л ) 1 + |
|||||||||
4- |
[ V f ' - O * ^ |
4- «Й0 4-... 4- |
4 |
|
+ а 2 ^ ) 1 / Г ] + |
... 4- [ V l m ) - |
||||||||||||||
|
- |
|
( 4 m ) |
4 « i f |
4-... 4- *\f |
+ |
.. 4- < i ) |
V / « 4 + ... 4- |
||||||||||||
+ |
[ vTJ |
-№1 |
+ |
|
|
+ |
- |
+ |
|
+ |
- |
+ |
< |
» |
W - .,) Vt'MII.81) |
|||||
Полезная мощность Q системы, имеющей иерархическую структуру в виде двух уровней управления, составит:
Q = [Wt- |
|
(Р1 2 4- р1 3 4- |
... 4- ß i s 4- |
... 4- M U?,] |
+ |
|||
4- [W, - |
(P21 |
+ |
ß2 3 4-... |
4- ß 2 s 4- ... |
4- ß 2 m ) W2 ] 4-... |
4- |
||
4- [Ws-(hi |
+ |
ß« |
+ |
+ |
ß s J W s ] + |
|
... 4- [ W m - ( ß m , 4- |
|
+ |
+ |
- |
4- ß m 5 |
4-.,. 4- |
- |
о) W m ] . |
(11.82) |
|
68
При .равенстве информационных мощностей подсистем:
W,= W2 = ...= Ws = ...= Wm = W
и коэффициентов междуподсистемных потерь:
ß S i = Ps2 = ... = ßsm = P(s = l,2,..., m)
получаем частный вид формулы (11.82), а именно:
Q = W m [ l - ß ( m - l ) ] . |
(11.83) |
По аналогии с формулой (11.73) легко можно |
убедиться, |
что данная система обладает такими же экстремальными свойствами, что и система, не имеющая иерархии.
При равенстве информационных мощностей элементов в подсистемах и коэффициентов потерь, а также равенстве чис
ла элементов |
в подсистемах, |
т. е. |
n1=n2 |
= ... = ns = |
... |
= |
||||||
— пт = п, в |
формулу (11.83) можно |
подставить |
значение |
W |
||||||||
из формулы |
(11.73). В результате получаем |
|
|
|
|
|
||||||
|
Q=Vnm[\ |
— а(п— |
1)]{1 — ß ( m — 1)]. |
(11.84) |
||||||||
Исследуем величину Q на экстремум как функцию |
двух |
|||||||||||
переменных, т. e.Q=f(n, |
m). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем |
частные |
производные |
функции, |
затем, |
приравняв |
|||||||
их нулю, получаем систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|||||||
ÔQ |
•= |
Ѵт{\ — 2ап |
+ «)[!— ß(wi - 1 )] == 0; |
|
|
|
||||||
дп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.85) |
|
ÔQ |
|
Ѵп[\ |
- а ( |
л - 1)](1—2ßm + |
P) = |
0. |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
dm |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
Vm Ф 0 и |
Ѵп Ф 0, то можно |
записать |
|
|
|||||||
(1 — 2ал + |
«) [ 1 — Р ( I » |
— 1)] = 0; |
\ |
|
|
(11.86) |
||||||
[1 — а (я — 1)] (1 — 2 р т е |
-Ь р) = 0 . |
I |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Из данной системы получаем четыре возможные системы |
||||||||||||
уравнении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1— 2<ш + |
а = |
0; |
|
|
|
(11.87) |
|||
|
|
|
1 — an + |
а = 0. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 - ß w + |
ß = |
0; |
|
|
|
(11.88) |
|||
|
|
|
1— 2ßm + р = |
0. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 — 2ап |
+ |
а = |
0; |
|
|
|
(11.89) |
||
|
|
|
1 - |
2ß/ra |
+ |
р = |
0. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
69
|
|
|
1—ß/re + ß = |
0; |
|
(11.90) |
|||
|
|
|
1 — an + а = |
0, |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
из которых первые две, (11.87) и (11.88), являются |
несовмест |
||||||||
ными, a две последние имеют соответственно решения |
|||||||||
1 + а |
|
тл= |
1 + 8 |
и я , — |
1 + а |
; то |
1 +1 |
||
ѣх=—-—; |
|
2ß |
|
|
Р |
||||
2а |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем далее значения вторых частных производных |
|||||||||
функции Q=f(n, |
|
m): |
|
|
|
|
|
|
|
d2Q |
|
А = Vm[\ |
— ß ( m - 1)](—2a); |
(11.91) |
|||||
дп2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d2Q |
= |
£ = V(l - |
2a« + a)(l - 2ß/ra + ß); |
(11.92) |
|||||
дп-дт |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ô2 Q |
C=Vn[l |
— о(д — 1)](—2ß). |
(11.93) |
||||||
|
|
||||||||
dm
Вычислим величины Л, ß и С при первой паре критических значений функции щ и т ь для чего подставим их в выраже
ния (11.91) —(11.93):
|
|
1 + a |
m, = |
||
|
|
2a |
|||
|
|
|
|
||
А=Ѵ |
1 + 1 |
|
У |
( - |
|
2ß |
2ß |
||||
|
|
||||
1 J J |
(11.94) |
|
2ß |
||
|
2a) = = l / l i ± l l ! ( _ 2 a ) <0; 4ß (11.95)
£ ? = l / ( l _ 2 a . l ± ^ + a V l - 2 ß . l ± i + |
B 1 = 0; |
(11.96) |
|||||
2a |
|
|
|
|
2ß |
|
|
1 + a |
1 — a/ 1 |
+ a |
11 |
( - 2 ß ) = |
|
||
2a |
|
||||||
|
|
2a |
|
|
|
|
|
= |
И І ± ^ - ( - 2 Р ) < 0 . |
|
'(11.97) |
||||
|
|
4a |
|
|
|
|
|
То же самое проделаем |
и для значений п2 |
и т2: |
|
||||
1 + |
* . |
_ |
|
1 + |
Р . |
|
(11.98) |
|
|
/и, |
Р |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + Р |
|
1 |
+ |
Р |
( _ 2 а ) = 0; |
(11.99) |
|
|
|
|
|
|
|||
70