Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.08.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 0
-----V Iqu
Здесь ]= — -----ток проводимости, возникающий вслед
ствие дрейфа свободных зарядов, р0 —свободный заряд на единицу объема.
Экспериментально было показано, что правая часть
уравнения (1-25) пропорциональна плотности тока /. Уравнение (1-25) тогда приобретает вид
E + 7 x B ! Psr=-L , |
(1-26) |
О |
|
где а —электропроводность вещества |
или (~^) ' |
Если магнитное поле отсутствует (5 = 0), то соотношение (1-26) превращается в закон Ома.
В уравнении (1-26) член jXB/p характеризует так назы ваемый эффект Холла. Уравнение (1-26) можно пред ставить
7 = or£ -f — /' X В.
РЭ
Плотность заряда р может быть выражена через заряд электрона —е и концентрации электронов в единице объема пе\ р— —епс. Тогда
7 — о Е ----- — 7 X В.
епе
Если вектор Е действует в направлении оси у, a B = BZ= B,
то результирующий ток / будет равен
Ток называют током Холла. Он возникает благодаря боковой магнитной силе, действующей на свободные заря ды. Для уравновешивания этой силы появляется электриче ское поле, направленное вдоль оси %, против действия магнитной силы.
В случае, |
если |
проводник движется со скоростью |
С, |
а скорость |
заряда |
относительно проводника равна |
и, |
то суммируя по всем зарядам в проводнике имеем выра жение для тока !/
7 = 2 ?(С + 7 ) / Д У = РС + ^ ^ _ . |
(1-27) |
22
Первый член в уравнении (1-27) рС представляет собой ток конвекции, возникающий вследствие свободного пере
мещения заряда в газе. Член |
q ~ состоит из двух сла |
гаемых: из тока проводимости, возникающего вследствие относительного движения зарядов относительно жидкости, и тока поляризации из-за движения связанных зарядов (например, в случае молекулярных диполей) под дейст вием переменного электрического поля. Если пренебречь эффектом Холла, то для объема ДУ уравнение равновесия сил можно записать в виде
Е + С Х В |
(1-28) |
Последнее уравнение называют обобщенным законом Ома. Из закона Ома в данной форме видно, что электрическое поле складывается из 2 слагаемых: внешнего поля Е и инду цированного поля Ет1Я= С Х В . Тогда закон Ома можно записать в обычной форме
j ==E Сум • и,
где
Есум-- Е + Е1шд.
1-7. Плотность и поток энергии электромагнитного поля (теорема Умова —Пойнтинга)
Рассмотрим некоторый объем плазмы У, движущейся в электромагнитном поле. Плазму можно рассматривать как систему, состоящую из произвольного числа источников и приемников энергии. В электромагнитном поле эту систему описывают уравнениями Максвелла. Возьмем замкнутую по верхность 5, ограничивающую объем У. Внутри этого объема могут оказаться частично или полностью источники или приемники энергий в любых сочетаниях, так что мгно венная мощность, потребляемая внутри рассматриваемого объема, может в общем случае не равняться мгновенной мощности, отдаваемой отдельными элементами этого же объема. В балансе мощности должна быть учтена соответ ствующая избыточная мощность, которая отдается из объема во внешнее пространство или получается оттуда.
23
Чтобы составить уравнение баланса мощности из взятого объема, следует обратиться к первому и второму уравне ниям Максвелла. Первое уравнение Максвелл'а умножим векторно на Н, второе —на Е, и вычтем из первого урав нения второе.
|
rot Е |
ОН |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot Н = 1 |
дЕ_ |
|
|
|
|
||
|
+ е0 — |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Н rot Е —~Еrot Я = - Е-7 - г.Е — |
- рЯ ~ . |
|
||||||
|
|
|
0 |
dt |
* |
dt |
|
|
Левая часть уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— v |
— > |
|
|
|
|
|
|
Тогда имеем |
ЁтоШ—Нго1Е= — divEXH. |
|
|
|
||||
\М- 4- в£2 = — Е- j — div Е X Н. |
|
|
|
|||||
_д_ |
|
|
(1-29) |
|||||
д/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем уравнение (1-29) в интегральной форме |
|
|||||||
JL j1 |
? l p j d V = — f E - f d V - j* div E X H d V , |
|||||||
V |
|
V |
|
|
V |
|
|
|
г |
|
|
v |
|
|
|
|
|
- § E X H d S |
= jj E . 7 d V + ± ^ ( - ^f - + - f 1) |
dV. |
|
(1-30) |
||||
1 |
v |
|
’v |
|
|
|
|
|
Это последнее уравнение |
называется |
уравнением |
Умо |
|||||
ва —Пойнтинга. Оно |
выражает баланс |
мощности |
в |
рас- |
||||
сматриваемом объеме. |
Первый |
член |
правой части |
\E-jdV |
||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
представляет собой полную энергию, которую |
электромаг |
нитное поле отдает в единицу времени объему V. Эта |
|
величина может иметь отицательное значение. |
Рассмотрим |
еще раз составные части плотности тока / |
и выясним, |
из каких членов состоит энергия E-j. |
|
24
В уравнении (1-27) |
произведение |
рС представляет |
собой конвекционный ток. |
Произведение |
тока конвекции |
— V |
|
— г |
рС на напряженность электрического поля Е равно работе, совершаемой электрической объемной силой над газом. Этот член несущественен и в магнитной газовой динамике обычно опускается.
Как отмечалось выше, при анализе уравнения (1-27) ток
Xпи |
u |
|
|
|
------ состоит из двух частей: тока поляризации и тока |
||||
проводимости. Ток |
поляризации }ц= |
(здесь |
Р — век- |
|
тор |
поляризации) |
|
д( |
|
и мощность связанных зарядов в едини |
||||
це |
объема равна |
Ток поляризации при |
течении |
плазмы в магнитном поле обычно мал и в магнитной газо вой динамике не рассматривается.
Основной составляющей тока в магнитной газовой динамике является ток проводимости. Используя закон Ома, найдем энергию электромагнитного поля, отданную в единицу времени объему А V
Е- j d V = |
d V - |
j*7(C X B ) d V . |
(1-31) |
г |
V |
V |
|
В уравнении (1-31) предполагается, что ток Холла равен
нулю. Первый член в правой части уравнения (1-31) равен омическому нагреву данного объема газа или, как принято
называть, |
|
«джоулевому |
теплу» |
qXrK= — . Член — |
всегда |
|||
положителен и представляет |
|
<J |
CJ |
потери |
||||
собой диссипативные |
||||||||
в плазме. |
Следует |
заметить, |
|
72 |
равна |
нулю |
||
что величина — |
||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
при ст |
со |
и при |
и —*■0. |
Когда |
сх -> .0, то / по |
закону Ома |
||
также |
0, но когда а |
^ , / |
остается конечной величиной, |
|||||
равной j — rotH. |
|
|
|
|
|
|
Смысл второго члена — j1j ( CXB) dV становится более
v
25
очевидным, если изменить порядок произведения в подын тегральном выражении
- 7 ( с х в ) = с- (Тхв).
По уравнению (1-11) магнитная сила, действующая на еди ницу объема, равна
7=1хв.
Тогда | F ■CdV представляет собой полную мощность маг-
v
нит.ной силы, снимаемую с заданного объема плазмы У, т. е.
У -CdV.
v
Мощность N может иметь положительное и отрицательное значение. Условимся считать мощность положительной, если работа совершается плазмой над электромагнитным
полем (в |
канале |
МГД-генератора производится |
мощность, |
в канале МГД-уекорителя мощность расходуется). |
|
||
Второй |
член |
в уравнении (1-30) выражает |
энергию, |
запасенную в электрическом и магнитном полях. Эта энер гия всегда положительна, но производная по времени от этой энергии, выражающая мощность «зарядки» или «раз рядки» электромагнитного поля, может быть положитель ной, если количество энергии увеличивается (мощность потребляется) и отрицательной, если количество энергии уменьшается (мощность отдается). В магнитной газовой динамике электрическая энергия —-— в единице объема
мала и ею обычно пренебрегают. Магнитная энергия харак теризуется объемной плотностью — .
Выяснив физический смысл всех членов в правой части уравнения Умова —Пойнтинга, перепишем его, пренебрегая электрической энергией
- j ) E X H d S = j ^ - dV + ^ F - C d V + ^ -
V V V
26
или |
|
|
- ф П dS = Qa* + N |
dV - |
(1'32) |
Здесь П = E X H — вектор Пойнтинга.
Левая часть уравнения (1-32) представляет собой избы точную мощность, выражаемую отрицательным потоком
вектора П через замкнутую поверхность, ограничивающую
заданный объем. Если избыточная мощность потребляется объемом, то П (направлен внутрь объема, если избыточная
мощность отдается во внешнюю среду, то вектор П направ лен наружу. Если через замкнутую поверхность нет резуль тирующего потока энергии, то. теорема Умова — Пойнтинга представляет собой закон сохранения энергии для этого объема.
Пример. В твердом проводнике течет ток /, направлен ный, как показано на рис. 1-5. Как видно из рис. 1-5 век
тор П направлен внутрь проводника, т. е. объем поглощает энергию.
Г л а в а 2
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
2-1. Термическая ионизация
Отличительной особенностью магнитной газовой дина мики по сравнению с обычной газовой динамикой является то, что в ней рассматривается движение электрически про водящего газа. Газ становится электропроводным при воздействии на него высокой температуры, под влиянием которой нейтральные молекулы газа распадаются на поло жительно заряженные ионы и электроны. Большинство обычных газов, таких, как воздух, СОг, СО, N2, Нс, Аг, ионизируются довольно трудно: для этих газов для отрыва одного электрона от атома требуется большее количество энергии или, как принято называть, эти газы обладают высоким потенциалом ионизации. Естественно, что пере численные газы не ионизируются до тех пор, пока не будет достигнута достаточно высокая температура газа ( > 10'°К). Однако, если к газу добавить малые количества (0,1 —1% по весу) легко ионизируемых веществ, например, пары щелочных металлов, то можно получить достаточно элек тропроводный газ даже при низких температурах.
Существуют другие способы ионизации газа, например, экстратермический, при котором ионизация происходит при газовом разряде при низких давлениях, радиоактивный, рентгеновский и т. д.
Электропроводность ионизированного газа можно при ближенно рассчитать 'следующим образом. Будем рассмат
ривать плотность тока / как сумму плотностей электрон ного и ионного токов
j — ji + je
здесь |
и |
/с— — TleCCe) |
28
— j. - 4 .
С,-; Сс —скорость ионов и электронов соответственно;
щ; пс — концентрации ионов и электронов в единице объема соответственно;
е — заряд электрона.
Если плазма в целом электрически (нейтральна, то rii— Пс. Кроме того, предположим для простоты, что движение ионов и электронов идет лишь по оси а: -навстречу друг
другу, т. е. Ci=u,i\ Сс— —ие. Тогда ток / равен
j — en(uc + U i ) . |
(2-13 |
При наложении электрического поля напряженностью Е электрон движется по направлению к аноду, а положитель но заряженный ион — по направлению к катоду. Во время движения они (электроны и ионы) испытывают соударения -с нейтральными атомами, .находящимися в беспорядочном хаотическом движении. (В общем случае возможно столк новение электрона с другим электроном, однако, вероят ность столкновения типа электрон-электрон ничтожно мала.)
В промежутке между столкновениями изменение скоро сти заряженной частицы происходит под действием элек
трического поля Е, которое воздействует на частичку силой
F — eE.
Уравнение сохранения количества движения для заряда в промежутке времени т между столкновениями его с нейт ральными частицами имеет вид
Ет= + еЕх—т С,
где т —масса заряженной частицы, а средняя скорость движения частицы равна
С = еЕх
т
Средняя скорость движения электрона, очевидно, будет равна
еЕх
те
29