Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

Умножим все члены на 2D/X2

где .v =

О ’

так как X

где

Х{ Х ) = ± - \ п Х * - ,

?Ч —скорость на входе в канал.

Уравнение (4-40) дает возможность рассчитать распре­ деление скоростей вдоль канала постоянного течения в магнитном поле.

Итак, на поток в канале постоянного сечения действу­ ют силы трения и магнитное поле, причем магнитное поле воздействует на поток так же, как и силы трения.

В дозвуковом потоке (Х<1, X2—1<0) ---- >0, т. е. dx

внешнее магнитное поле в канале МГД (г|>1) ускоряет дозвуковое течение.

В сверхзвуковом потоке (А>1, X2—1>0) и ■----<0, т. е. dx

сверхзвуковой поток тормозится под действием магнитной силы и трения.

2. МГД-генератор с постоянным числом М

Рассмотрим МГД-преобразователь, состоящий из каме­ ры сгорания, сопла для ускорения газа и канала для гене­ рирования электрической энергии. Для исключения эффек­ та Холла электроды выполнены секционированными, т. е. каждая пара противоположных электродов имеет собствен­ ную нагрузку.

108

Исследуем оптимальные условия работы МГД-генера- тора, т. е. такие условия, при которых в заданном объеме генерируется максимальная мощность. Если рассматривать канал постоянной ширины, то это равносильно генерации максимальной мощности на заданной длине канала. Опти­ мальные условия, очевидно, можно сформулировать и другим образом: генератор называется оптимальным, если заданная мощность генерируется в минимальном объеме (а при постоянной ширине канала на минимальной его длине).

Оптимальным условиям соответствуют минимальные потери, так как больший объем канала требует больших затрат на магниты для создания магнитного поля. Тепло­ отвод от стенок МГД-канала тем больше, чем больше сум­ марная поверхность его стенок, окружающих данный объем. Кроме того, в оптимальном канале гидродинамиче­ ские потери в пограничном слое будут минимальны.

Задача об оптимальном МГД-генераторе может быть решена двумя путями: точным вариационным методом и приближенным.

В вариационном методе мощность, снимаемая с данного

дится максимальное значение функционала методом мно­ жителей Лагранжа. Экстремум ищется как по числу М, так и по параметру нагрузки. Вариационная задача в настоящее время разрабатывается и не может считаться законченной.

В приближенном анализе также находится закон изме­ нения числа М по длине канала, при котором на заданной длине генератора снимается максимальная электрическая мощность. Такой закон называется оптимальным, а соот­ ветствующее число М оптимальным.

Анализ проводится при следующих основных допу­ щениях:

1. Показатель адиабаты у по длине канала меняется незначительно, т. е. у const.

2.Квазиодномерное приближение магнитной газовой динамики считаем справедливым даже при сравнительно больших изменениях площади F/F\.

3.Принимаем степенной закон для проводимости а (ниже будет показано, что результаты существенно изме­

109

нятся, если проводимость а определять по уравнению Чэпмена —Каулинга).

Оптимальное число М не зависит от нагрузки генера­ тора, т. е. принимаем постоянным.

Оптимизацию можно проводить по дифференциалу электрической мощности dN0, генерируемой на элементар­ ной длине канала dx. В этом случае мы найдем оптималь­ ные условия в каждой точке канала.

Запишем электрическую мощность dN3 как

dN3 — ап2В2г) э (1 —цэ) Fdx,

или электрическая мощность, генерируемая в единице дли­ ны в любой точке канала равна

Используя местные параметры торможения, выразим пра­ вую часть уравнения (4-41) через число М. Из газодина­ мики известно, что

Т2

Электропроводимость термически ионизированного газа является функцией температуры и давления. В рассматри­ ваемой задаче удобно использовать простое приближение для проводимости в виде степенного закона

a = ( S T ) vp :,

где 5 —безразмерная постоянная.

У— 1d(\na)/d(\nT) )

z = ( d(lncr)/d(lnp)

Экспериментальные значения для аргона у, z и S пока­ заны в таблице.

Из приведенной таблицы видно, что показатели г, у в

(4-43)

j- = ( £ r ( t ) " = ( £ r

110

Найдем оптимальное число М, при котором правая часть уравнения имеет максимум. Для этого проведем логариф­ мическое дифференцирование уравнения (4-45), в резуль­ тате которого находим

а определяется, главным образом, физическими свойствами газа. Для постоянного заданного показателя адиабаты у число М0пт, очевидно, остается постоянным. Следовательно, канал генератора можно считать оптимальным, если в каж­ дой его точке выдерживать постоянное число М, опреде­ ляемое в соответствии с уравнением (4-46).

На рис. 4-17 представлена зависимость оптимального числа от показателя адиабаты у для типичных значений

111

t/= 13 и 2= 0,5. Анализ рис. 4-17 показывает, что для боль­ шинства используемых газов оптимальное число М оказы­ вается меньше единицы, т. е. поток дозвуковой (так для аргоновой плазмы у=1,25 и М Оп т = 0,73).

Итак, проведенная оптимизация работы МГД-генера- тора, показывает, что оптимальный генератор имеет посто-

Рис. 4-17. Зависимость /М0пт от показа­ теля адиабаты f

янное число М по длине канала. Исследуем такой гене­ ратор.

Основные уравнения одномерной магнитной газодина­ мики для этого случая имеют вид

puF — const —уравнение неразрывности;

112

Для случая слабоионизированной плазмы, когда прово­ димость ст зависит только от давления и температуры, най­ дем изменение параметров (р, р, Т, и) и зависимость для площади проходного сечения F в генераторе с постоянным числом М.

Исключим плотность тока j из уравнений (4-47) и (4-48)

Используя соотношение для числа М

V LT i c ' 7'

и выражая р из уравнения состояния, последнее соотиошение можно привести к виду

Величина Р для постоянных М и у также постоянна. Тогда после интегрирования уравнения (4-53) для Р = const получаем

Для рассматриваемого случая | 1 —| представляет собой

местный коэффициент полезного преобразования мощно­ сти. Докажем это положение. Удельная местная единичная мощность генератора равна с противоположным знаком изменению полной энтальпии газа, т. е.