Файл: Утевский, Л. М. Дифракционная электронная микроскопия в металловедении.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Продолжение

 

О б р а т н ая решетка

М о д у л и осевых векторов

Углы м е ж д у осевыми векторами, град.

Триклинная

Моноклинная

Ромбическая

Гексагональная

Тетрагональная

а*

ь*

с*

be sin а

ас sin р

аб sin у

Q

Q.

Q

1

1

1

a sin Р

Ь

с sin р

1

1

1

а

Ь

с

2

2

1

а УЗ

аУз

с

1

1

1

а

а

с

а*

cos а* = cosp cos у—cos а

sin р sin у

90

90

90

90

Кубическая

П р и м е ч а н и е .

1

1

1

90

 

а

а

а

 

 

 

Р о м б о э д р и ч е с к у ю

решетку (a=b=c,а=р—V/-900)

м о ж н о

=

а

г

 

 

2а sin — , с'=а

У З • V l + 2 c o s a

 

 

 

2

 

 

 

Р*

cos р* =

cos у cos а—cos Р sin а sin у

180 — р

90

У

cos у* ----

cos а cos р—cos у sin а sin р

90

90

90

60

90

90

90

90

свести к гексагональной

с п е р и о д а м и а'

 

3. Расстояние г[2 между точками с координатами

 

(в долях

соответствующего периода) x,ylz1

и х2у2г2

 

Приводимые формулы для атомной решетки справедливы и для

обратной решетки, если в них подставлены модули

ее осевых векто­

ров и функции углов между ними.

 

 

 

Ниже Ах, Ау

и Az обозначают разности координат двух точек

(или

координаты

точки, если

п е р в а я — в начале

координат).

 

Триклинная решетка:

 

 

 

г\.г = Ах2 а2 +

Ау2

Ь2 + Az2

с2 + 2AyAzbc cos а

+

 

+

2AxAzac cos Р +

2AxAyab cos у.

 

 

Моноклинная решетка:

r\\ =

Ax2 a2 +

Ay2

 

b2

+ Az2

c2 + 2AxAzac cos p.

 

 

Ромбическая

решетка:

 

 

 

 

 

 

r\2 = ДА - '2 a2 + Ay2 b2 + Az2

c2.

 

 

 

 

 

Тетрагональная

решетка:

 

 

 

 

 

 

г 2 , = ( Ax2 + Ay2) a2 + Az2

c2.

 

 

 

 

 

Гексагональная

решетка:

 

 

 

 

 

 

Г п = (Ax2 + Ay2 — AxAy) a2

+ Az2

c2.

 

 

 

 

Кубическая

решетка:

 

 

 

 

 

 

r\,=

{Ax2 + Ay2+

 

 

Az2)a2.

 

 

 

 

 

 

Если точки обратного пространства имеют целочисленные коор­

динаты,

то они совпадают с узлами обратной

решетки. Тогда,

пере­

нося начало координат

в одну

из точек,

имеем

радиус-вектор

второй

точки или межузельное

расстояние ghhi=

1

или Цнкь=

п

~

,

 

 

 

 

 

 

 

 

dhkk

o-hki

 

4. Межплоскостное расстояние dhM

= gh~k\

 

 

Триклинная

решетка:

 

 

 

 

 

 

а•2 2

1— = h2a*2

+ k2b*2

+ l2c*2

+ 2hka*b* cos у* +

 

Shkl

аhkl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2klb*c*-cos а* +

2lhc*a* cos р* =

(1 — cos2

a — cos2

p — cos2 у +

 

 

 

 

 

(h2

 

k2

 

I2

)

 

+2cosa-cos p - cosv) - 1 — s i n 2 a + — s i n 2 P + — sin 2

y\ +

 

35-230

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

545

2kl

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

4- ~ ~ (cos p cos у •— cos a)

 

 

 

 

 

 

 

be

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-\

2lh

 

 

 

„

 

2hk

(cos a • cos p — cos 7 ) .

ca

(cos у • cos a — cos p) +

—

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

Моноклинная

решетка:

_*1

 

 

 

 

 

 

2

 

1

h2

 

 

12

2hl

_£2lL

 

§ ш

= =

£ . ~~ a 2 s i n 2 P +

 

b2

~

c2 sin2 P

~~

ca

sin2

P

Ромбическая

решетка:

 

 

 

 

 

 

 

 

„2

 

1

/г2 .

k2

.

/2

 

 

 

 

 

 

ghkl

j2

д2

/,2

 

Г2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тетрагональная

решетка:

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

h2

+

k2

_Р_

 

 

 

 

 

 

* Ш

~

*ш~

 

а 2

+

с

2 '

 

 

 

 

 

 

Гексагональная

решетка:

 

 

 

 

 

 

 

в2 «/ = 4- = - ^ г

+ + + - ^ -

 

 

 

Кубическая

решетка:

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1 _

h2 + k2 + /2

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Угол (ф) между плоскостями

(h\kil{)

и

(hikih)

 

или между нормальными к ним направлениями

 

(с

теми же индексами)

в обратной

решетке.

Эти же формулы

пригодны

и для вычисления углов

между пло­

скостями

обратной

решетки или нормальными к ним направлениями

(с теми же индексами) в атомной решетке, если модули осевых век­

торов и углы

между

 

ними взяты для обратной

решетки.

В моноклинной

 

решетке:

 

 

 

cos ф

 

 

 

a2

Ь2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h\

 

k2sin2fi

l\

 

cos P

 

а 2

 

 

о2

с2

ac

 

 

hh

 

_

(/1Л2 +

hh)

cos P

 

 

с2

 

 

 

ac

 

 

X I /

h\

Щ, sin'2 P

/2

2 / г 2 '2c o

s P

— + •

62

 

c2

ac

 

Ya2

 

1

 

546

В

гексагональной

решетке:

 

 

 

 

 

cos cp =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~\/h\

+

k\ + hx k,+

^4

 

~ c2

l]x

 

 

 

 

 

3

a2

 

 

 

 

 

 

 

/

о

о

+ / i , f t 2 +

З

а

2 . ,

 

 

 

/ A* + ft2

—

 

—

 

 

 

)

 

 

 

 

4

с-5

 

 

Для обратной решетки гексагонального кристалла,

отличающей­

ся от

атомной

углом

у* = 60°.

эта

 

формула (после

подстановки

соответствующих значений косинусов и синусов этого угла в форму­

лу

для моноклинной решетки и учитывая, что

в

этом случае угол,

не равный 90°, образован векторами а*

и Ь*, а не а

и с, как принято,

для

моноклинной решетки) выглядит

несколько

иначе:

* Л — — (Мг + Mi) + —

COS Ср :

X

 

•hlk1+ — —

iix

X

X V hl + kl-h.2k2 + — -

 

Вромбической решетке:

cos ф =

35*

547

В тетрагональной

решетке:

 

 

 

 

 

 

 

 

hyh2

+

kjkt

^

hit

 

cos

ф =

 

 

а2

 

 

с2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h\

+ k\

l\

-I

/

h\ + k\

l\

 

 

 

а2

с2

'

 

a2

c2

В кубической решетке:

 

 

 

 

 

cos

ф = •

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

+

k2+ ijy

 

hl

+

k\+l2

 

Если возникает необходимость проанализировать значительное число электронограмм от образцов некоторого материала, целесо­ образно прежде всего найти или составить вычислениями по приве­ денным выше формулам:

а) таблицу углов между направлениями; б) таблицу углов между плоскостями;

в) таблицу межплоскостных расстояний с указанием длин (в мил­ лиметрах) радиусов-векторов соответствующих рефлексов (при сред­ нем значении дифракционной постоянной %L для данного прибора) для каждой из фаз (кристаллических решеток), присутствия которых можно ожидать в исследуемом объекте.

Таблицы dhM и углов для кубических, тетрагональных, орторомбических и гексагональных кристаллов различных фаз, встречающих­

ся в металлах и сплавах,

можно найти, например, в работах [7;

201.

Наибольшие

удобства

в работе

дает

графическое

представление

тех же

табличных данных

(в виде

комплектов узловых

сеток)

раз­

личных

сечений

обратной

решетки каждой

из ожидаемых

фаз. О

по­

строении таких

сеток см.

гл. 9. Примеры

таких сеток

и

комплектов

см. в приложениях I I — I V

и в гл. 16 и 17.

 

 

 

 

Смотрите также файлы