Файл: Радиоприемные устройства учебник..pdf

Наконец, на входе приемного устройства сигналы складываются с собственным шумом приемника. К последнему можно отнести внешний шум, принимаемый антенной, включающий шум космоса и шум Земли, шум антенно-фидерного тракта, шум первых и последующих каскадов приемника, пересчитанный на его вход. В качестве теорети­ ческой модели собственных шумов обычно принимается аддитивный белый шум с известной спектральной плотностью G{).

Таким образом, колебание x{t) па входе приемного устройства мож­ но представить случайной функцией времени. В этом случае задача

Рис. 12.3

отыскания наилучших в условленном смысле операции над входным колебанием для выделения модулирующего сигнала р(/) носит ста­ тистический характер.

Выбор критерия оптимальности приемного устройства в значитель­ ной степени связан с характером решаемой задачи и зависит, в част­ ности, от того, какую именно часть приемного устройства желательно синтезировать. Если, например, наибольший интерес представляет радиочастотная часть приемника, то за критерий оптимальности мож­ но принять апостериорную вероятность появления соообщения на выходе оптимального приемника.

При синтезе дискриминаторов удобно пользоваться методом мак­ симальной апостериорной вероятности. В этом случае на выходе при­ емника формируется оценка значения выделяемого параметра, за ко­ торую принимается значение, соответствующее максимуму апостери­ орной вероятности. Как будет ясно далее, дискриминаторы, синте­ зированные методом максимального правдоподобия, обеспечивают на­ именьшую ошибку.

При синтезе приемника в целом удобно выделять апостериорные моменты, такие, как среднее значение и дисперсия апостериорной ве­ роятности.

Из сказанного видно, что все критерии основываются на исполь­ зовании понятия апостериорной вероятности сообщения.

Таким образом, основные направления развития статистической теории радиоприема сводятся к следующим:

—определение оптимальных алгоритмов обработки е х о д н ы х дан­

ных,

—радиотехнические интерпретации оптимальных алгоритмов,

—определение характеристик качества работы оптимальных при­ емников,

438

—упрощение оптимальных схем и анализ критичности изменения их параметров,

—выявление зависимости характеристик качества работы от параметров модуляции, выбор видов и параметров модуляции.

Этим кратким перечнем подчеркивается важность статистической теории как основы при проектировании современных радиотехниче­ ских систем.

Статистическая теория радиоприема бурно развивается. Осново­ полагающие работы выполнены в сороковых и пятидесятых годах А. Н. Колмогоровым [1], Н. Винером [2], В. А. Котельниковым (31, Ф. Вудвордом. 14], Р. Л. Стратоновичем [5].

12.2. Апостериорные вероятности

Рассмотрим следующую задачу. Пусть измерено значение случай­ ной величины х = р + /г, где р — подлежащая выделению величина с функцией плотности вероятности цуар(р), имеющей ширину, значи­ тельно большую, чем а; п — величина, характеризующая искажающий гауссовский шум с плотностью вероятности

о2 — дисперсия шума.

По измеренному значению х необходимо определить величину со­ общения р.

До измерения х знания о величине р описывались доопытной (ап­ риорной) плотностью вероятности доар (р), в соответствии с которой те или другие значения-р могли встретиться более или менее вероятно. После эксперимента, заключавшегося в измерении величины х, вероят­ ностная ситуация изменилась и появилась необходимость оценивать вероятности различных значений р с некоторой новой, послеопытной (апостериорной) плотностью распределения wac (р), являющейся ус­ ловным распределением р, если измерено значение х.

где w (х)— распределение х; w{x | р) —-L (р)—плотность распределения х при условии, что фиксировано значение р, называемая, как функция р, функцией правдоподобия; а>(р) = wap (р) — априорное распре­ деление; w(\i\x) = wac (р) — апостериорное распределение.

Таким образом,

где/?—нормирующий множитель, определяемый из условия ( шас(р)й(р=

Соотношение (12.3) позволяет вычислить апостериорное распре­ деление, если известны априорное распределение, способ комбиниро­ вания сигнала и шума и статистические характеристики шума. В дан­ ном случае при фиксированном значении р величина х распределена нормально со средним значением р и дисперсией о2; поэтому

Рис. 12.4 поясняет процесс формирования апостериорной вероят­ ности. Поскольку в данном примере функция правдоподобия значи­ тельно уже, чем априорное распределение, значения апостериорной вероятности сосредоточены в окрестности значения х. Мерой разброса является интенсивность шума о. Если а 0, то Р ас(р) -> 8(х — р), т. е. определяется р, равное принятому х.

На входе приемного устройства обычно «измеряется» не отдельное значение х, а функция времени x(t) (t из некоторого интервала наблю­ дения Т). Это обстоятельство требует введения понятия функционала плотности вероятности. Пусть пъ п2, ..., пк — выборочные значения случайного процесса n{t) в моменты времени tlt /2 .... th из интервала

Функционал плотности белого шума. Если п (/) — случайный процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности, равной GJ2 в полосе частот от — F до F и равной нулю вне этой полосы частот, то автокорреляционная функция n(t) имеет нули в точках т = //2 F, j — 1,2, ... (рис. 12.5). Выбирая интервал дискрет­ ности А = 1/2 F, получаем, что выборочные значения в этих точках некоррелировакы и, следовательно, для гауссовского процесса неза­ висимы

440 ‘

вбесконечной полосе частот, т. е. процесс п (t) является белым шумом,

сдругой стороны, функционал плотности белого шума имеет вид

Функционал плотности регулярного процесса. Если х — неслучай­ ная величина, имеющая значение s, то ее плотность имеет вид

Р (х) = 8 (х — s).

Если x{t) — полностью известный (регулярный) процесс, любая реализация которого равна s (t), то многомерная плотность вероят­ ности равна

® (*х.......xk) = б (х1 — Sl)6 (х2 — s2)... б (xh — sft).

Для того чтобы понятие функционала плотности регулярного про­ цесса имело вычислительную ценность, необходимо воспользоваться предельным представлением б-функции:

где е2 = 1/2а2Д.

Рассмотрим теперь следующую типичную для статистической тео­ рии радиоприема задачу.

Источник сообщений формирует постоянный за интервал наблю­ дения Т модулирующий сигнал р, величина которого неизвестна на приемной стороне. Модулятор изменяет какой-либо параметр сигнала

441