Если сигнал отсутствует, то шум на выходе согласованного фильтра
|
ОС |
|
т| (/) — |
^ |
п (и) h(t — u)du |
имеет дисперсию |
|
|
оо |
|
|
И2 (/) = ^ п («,) п (и2) h (t — г/j) h (i —u2) duYdu2. |
Учитывая, что для белого шума |
n{ux) п(и2) |
= |
(Go/2) б («, — и2), |
производя интегрирование с 6-фуикцией и пользуясь условием согла сованности (12.16), получаем
Ч2 (/) = у - j* А* (и) du |
= |
. |
На выходе отношение сигнал/'шум |
при |
максимальной амплитуде |
сигнала равно |
|
|
|
(Va) S'2 (Ио. Но) |
_ |
£ |
|
I]2 (/) |
|
Со |
|
где G0— односторонняя (физически реализуемая) спектральная плот ность мощности входного шума.
Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра зависит только от величины энергии принимаемого сигнала и .мощности шума на единицу полосы частот и не зависит от вида фазо вой модуляции сигнала.
Как уже упоминалось, величина отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра является предельно достижимой для данного сигнала и при данном уровне белого шума.
Из сказанного ясно, что любое другое приемное устройство, схема которого отличается от изображенного на рис. 12.7, обеспе чивает меньший уровень сигнал/шум на выходе.
Основные соотношения уровней сигналов и шума на входе и выходе согласованного фильтра показаны на рис. 12.9.
Рассмотрим теперь несколько примеров, относящихся к измере нию задержки с помощью зондирующих сигналов некоторых наи более широко используемых видов.
Прямоугольный импульс. Входной сигнал, его комплексная оги бающая и ненормированный выходной сигнал для этого случая по казаны на рис. 12.10.
Следует обратить внимание на существенное искажение сигнала на выходе фильтра по сравнению с входным сигналом.
Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра при мак симуме сигнала равно E/G0 и достигается следующим образом: мощность
при максимуме сигнала равна Л2/2, в то время как при эффективной по лосе согласованного фильтра 1/т мощность шума на выходе равна GJx.
Учитывая трудности точного согласования формы сигнала с формой частотной характеристики фильтра, полезно сравнить отношение сиг нал/шум на выходе какого-либо несогласованного, но реализуемого фильтра, с максимально достижимым отношением сигнал/шум. В ка честве несогласованного выбран фильтр с частотной характеристикой колокольного вида ехр {—1,4 (/ — /0)2/А /}. На рис. 12.11 по оси абс цисс отложена величина А/т, по оси ординат — отношение сигнал/шум
на выходе фильтра (по напряжению), отнесенное к величине ] / E/G0. Из
1 Анпгит/^ныц. '? спектр
г>.
Рис. 12.12
графика видно, что для лучшей полосы фильтра с колокольной харак теристикой (А/т =0,72) указанное отношение мало отличается от еди ницы (0,95), Рис. 12.11 показывает также* что сигнал/шум относительно слабо зависит от ширины полосы. Практически полосу выбирают шире оптимальной, так как при узкой оптимальной полосе существен но сказываются взаимные уходы частоты сигнала и частоты опорного сигнала гетеродина.
Прямоугольный импульс с линейной частотной модуляцией. В ра диолокационной технике широкое распространение получили зонди рующие сигналы в виде прямоугольных импульсов с линейной частот ной модуляцией (ЛЧМ импульсы). Сигналы этого вида имеют функции амплитудной и фазовой модуляций, представленные на рис. 12.12, а. Параболическая фазовая модуляция соответствует линейному изме нению частоты на величину F — kx за время импульса.
Амплитудный и фазовый спектры ЛЧМ импульса при большой ве
личине F t > |
1 повторяют по форме функции амплитудной и фазо |
вой модуляции с заменой / = |
(/ — f0)/k (рис. |
12.12). |
Поскольку |
комплексная огибающая ЛЧМ |
импульса равна s (/) =» |
А (/) exp jnkF, |
то модуль его |
ненормированной автокорреляционной |
функции можно вычислить следующим образом:
S (Ар) = | § Л (/) A (t -|- Ар) exp jnkt2 exp [ —jnk (t -f- Ap)2dt
^ j § |
A2 (t) exp (— j2nk Api) dt | = |
-=£ |
sin nF Ap |
Ap = p — p0. |
|
nF Ap |
|
Выходной сигнал согласованного фильтра изображен на рис. 12.13. Его характерная длительность составляет 1IF. Таким образом, согла сованный фильтр «укорачивает» выходной сигнал по сравнению с вход ным в тF раз без потери в отношении сигнал/шум, которое так же, как и в случае импульса без частотной модуляции, равно E/Gn.
Смысл использования ЛЧМ импульсов состоит в том, что энергия этих сигналов зависит от длительности импульсов т, а длительность выходного сигнала зависит от девиации частоты F. Изменяя значе ния т и F, можно независимо выбирать такие характеристики, как даль ность действия, с одной стороны, и разрешающую способность по даль ности и точность измерения, с другой стороны. Подобной свободы нет при использовании импульсов без фазовой модуляции: изменение
длительности импульсов влияет здесь как на дальность действия, |
так |
и на разрешающую способность по дальности. |
со |
Существует много различных способов построения фильтров, |
гласованных с ЛЧМ импульсом. Большое распространение получил, в частности, способ, основанный на использовании диспергирующих линий задержки. Диспергирующая линия задержки является устрой ством, в котором фазовая скорость распространения волны зависит от частоты. Если на вход такой линии поданы сначала медленно распро страняющиеся сигналы низких частот, то в конце линии задержки с ними совпадут более быстрые высокочастотные части ЛЧМ импуль са; в этот момент сигналы всех частот складываются и образуется ко роткий выброс выходного сигнала.
Фазочастотная характеристика фильтра имеет вид перевернутой параболы, а амплитудно-частотная характеристика — прямоугольная в полосе А, — F/2, /0+ /72. Спектр выходного сигнала получается перемножением спектра входного сигнала на передаточную функцию фильтра и является, следовательно, прямоугольным в полосе /0—
— F i 2, f 0 -f- F/2. Выходной сигнал является преобразованием Фурье этого спектра и имеет вид (sin nFt)/nFt.
Одним из недостатков ЛЧМ импульса является сравнительно боль шой уровень боксвых лепестков его автокорреляционной функции, что приводит к потере разрешающей способности по задержке. Основ ной способ подавления боковых лепестков состоит в том, что приемное устройство «несколько рассогласовывается» с формой сигнала. Обычно это сводится к тому, что форма амплитудно-частотной характеристики фильтра вместо прямоугольной делается спадающей к краям частот
ного диапазона (рис. 12.14), в результате чего улучшается форма выходного сигнала. На рис. 12.15 изображен сигнал на выходе так называемого фильтра Хэмминга. Из него видно, что приданном способе эффективно подавляются боковые лепестки выходного сигнала. В каче стве «платы» за подавление боковых лепестков увеличивается длитель
|
|
|
|
|
|
|
ность главного |
лепестка (в два |
раза) и уменьшается |
отношение |
сигнал/шум |
в |
максимуме |
на |
|
|
1,3 дБ по сравнению |
с согласо |
|
|
ванным фильтром. |
|
|
|
|
Импульсы с фазовой мани |
|
|
пуляцией. Зондирующие сигналы |
|
|
в виде импульсов с фазовой ма |
|
|
нипуляцией |
формируются |
сле |
|
|
дующим образом. |
Импульс дли |
|
|
тельностью т делится.на некото |
|
|
рое число п |
позиций |
длитель |
высокочастотного заполнения на |
ностью б каждая (пй = т). |
Фаза |
каждой позиции может принимать значения либо 0, либо я. |
Чередова |
ние фаз определено в соответствии с заранее выбранным кодом. Комплексная огибающая фазоманипулированного импульса со
стоит из последовательности прямоугольных импульсов длительностью г') с амплитудами, равными либо А , если фаза колебаний на данной пози ции равна нулю, либо —А, если фаза колебаний равна л.
Типичный пример ФМ импульса изображен на рис. 12.16.
Для подсчета ненормированной автокорреляционной функции сиг нала в дискретных точках Ар = р —р„ = 0, й, 20, Зй, ... можно поль зоваться символическим представлением сигнала в виде последователь ности ± 1, например: 1, 1, 1, —1, 1.
