Если в радиолокаторе, составной частью которого является пелен гатор, применяются сигналы с внутрпнмпульсной модуляцией, то перспективным способом измерения угловых координат является спо соб цифровой обработки. При этом, как в суммарном, так и в разност ном канале производится цифровой прием сигналов (см. рис. 12.20). Выходные сигналы «цифрового» приемника до амплитудного детектора
P u t . 12.27
представляют собой два ортогональных компонента и подвергаются в вычислительной машине операциям (12.37), которые описывают алгоритм вычисления угловых координат.
Существуют другие интерпретации соотношений (12.37). Из рис. 12.27 следует, что АФД складывает и вычитает свои входные сигналы
Рис. 12.28
и потом их детектирует. Учитывая, что входные сигналы АФД являются выходными для весового сумматора, можно определить, что на входы квадратичных детекторов АФД подаются колебания 2(хх- f х2), 2(х;,+ -Ь А',), 2 (д'2+ хй), 2 (л-, + л;,). Эти колебания детектируются квад ратичными детекторами, попарно вычитаются и нормируются
(рис. 12.28).
Таким образом, не существует чисто амплитудной схемы обработки угловой информации; выходные сигналы парциальных каналов нужно попарно сложить на радиочастоте и лишь эти новые сигналы можно детектировать.
Иногда используют неоптимальную схему, в которой детекти руются непосредственно выходные сигналы парциальных каналов. Здесь шумовая ошибка увеличивается за счет того, что детектируются колебания с меньшим отношением сигнал/шум на входе детектора, чем в оптимальной схеме, где сигнал/шум увеличивается при' сложении двух парциальных колебаний.
Отметим, что шумовая ошибка измерения угловых координат равна
Более подробное изложение теории угломеров можно найти в ра боте (9].
12.6. Приемные устройства в дискретных системах связи.
Оптимальные алгоритмы
Во многих системах связи применяется временное квантование со-' общений и их передача сигналами, следующими с некоторым тактом Т во времени.
Структурная схема дискретной системы связи изображена на рис.
12.29. Источник сообщений |
формирует случайный процесс р (/), |
из |
которого в моменты th = k T |
выбираются дискретные значения |
р,, |
== |
= р ((ь). Параметр передаваемого сигнала (амплитуда, частота, |
фаза, |
Рис. |
12.29 |
|
задержка и т. п.) на интервале th |
^ t |
tk + x сохраняет постоянное |
значение, равное pv На рис. 12.30 представлены некоторые виды модуляции в дискретной системе связи.
На входе приемного устройства сигнал s (t, jaJ складывается с соб ственным шумом приемника:
х (t) = п (() + s (/, p j.
Шум п (/) считается белым с двусторонней мощностью на единицу полосы частот, равной GJ2.
Приемное устройство в каждом такте работы должно выделить оцен ку значения pft.
Поскольку между значениями процесса р (() в соседних тактах су ществует статистическая связь, задача синтеза приемного устройства не является тривиальной.
С наибольшей простотой статистическая зависимость может быть учтена при аппроксимации сообщений марковскими случайными про цессами. Подробное изложение теории дискретных систем па основе марковской модели сообщений содержится в работе 19].
Предположим, что источник сообщений формирует гауссовский случайный процесс с пулевым средним значением и экспоненциальной корреляцией, удовлетворяющей дифференциальному уравнению
77 + а(* = «/, |
(12.39) |
dt |
|
где у — белый шум со спектральной плотностью G . |
Процесс р (/) получается, если белый шум у/a |
со спектральной плот |
ностью G = Gyf а 2 воздействует на интегрирующий /?С-фнльтр с посто янной времени R C = 1/а.
Подобная модель часто достаточно хорошо аппроксимирует ре альные сообщения. Основная выгода ее использования связана с тем обстоятельством, что, как показывается в теории случайных процес сов, процесс р (/) является марковским.
Напомним здесь несколько соотношений, относящихся к марков ским процессам. Пусть р,, р2, ... , рп — последовательность случай
ных величин, и рассмотрим плотность |
распределения p .^i при усло |
вии, что фиксированы значения всех |
предыдущих величин pI( ... , |
И/.
По определению процесса Маркова плотность вероятности случай ной величины р,г-+ ] при фиксированном значении р; не зависит от того,
какие значения имеют р1( |
... , |
Поэтому |
|
И Р ;+ ]|р 1, |
Pi) =U>'(n i -И I Pi) ~ W (Рь Рг+Л |
(12.40) |
Функция W (uh щ + |) называется |
плотностью вероятности пере |
хода из состояния р, в состояние |
за время Т. |
Пользуясь свойствами (12.40), можно следующим образом вычис
лить совместную плотность вероятности случайных величин: |
|
^(Pl, |
.... Pn) = №(Pn-l, Pn)®(Pl, |
...» Pn-l)— ... == |
|
= |
® (Pi) W (Pi» P2) W (P2. Рз) - |
W (Pn-l. Pn)- |
(12.41) |
Таким образом, знание одномерной плотности вероятности |
W (pi) |
и плотности вероятности перехода W позволяет найти совместную плот ность вероятности случайных величин ци ... ,
Это важное свойство марковских процессов используется в теории синтеза.
Случайный процесс (12.39) является марковским. Определим его плотность вероятности перехода. Искомая плотность является рас пределением случайной величины и (tk + Т), вычисленным при
Р (^) — pfe. |
При этом начальном условии дифференциальное уравне |
ние (12.39) |
решается |
следующим образом: |
|
|
|
Pft+i = Pfeexp { - a7’M - |
|
|
th+ T |
|
|
+ |
J г/(т) ехр { — a ( t h + T — i))dx . |
(12.42) |
|
|
>i |
|
Поскольку у (т) — белый шум с пулевым средним значением и кор
реляционной функцией у (т2) у (т2) = Gv6 ( tj—т2), из (12.42) следует что р/г+( — случайная величина, распределенная' по гауссовскому за кону со следующими статистическими характеристиками:
|
йм-1" ' М 1—«). |
|
|
!рл+1—Pii+il" |
“ |
(12.43) |
где Од = Glf/2a |
— дисперсия процесса |
и (/); |
|
а = |
1 - ехр {— аТ}-, b = |
1 — ехр {—2аТ }. |
(12.44) |
Среднее значение и дисперсия зависят от соотношения между по лосой случайного процесса а и тактом работы Т. Среднее значение экс поненциально убывает с ростом аТ от величины |ЛЙдо нуля. Дисперсия
возрастает от нуля до величины сг£, причем при небольших а Т рост
происходит линейно со скоростью Gu (рис. |
12.31). |
|
С учетом (12.43) плотность вероятности |
перехода равна |
|
Рл+i) |
1 |
1 |
;<ь+1—(t — °) |
(12.45) |
——---- z=r exp |
K b |
|
V |
V ° n b |
|
При T -> 0 плотность вероятности перехода вырождается в 5-функцию:
^(Н-а. Н-л+i) = 6-(^л+1 — M-h)-
При Т -> оо плотность вероятности перехода превращается в одно мерную плотность процесса:
|
^ |
M-ft+l) ~ , t гС exp |
i |
|
2a?. |
|
|
» 2л(Тд |
|
|
|
Перейдем теперь к задаче синтеза приемного устройства на основе выделения апостериорной вероятности. Предположим, что, начиная с первого такта, на вход приемника поступают данные .
*i (0 = s (Л Pi) + >h (О,
|
|
Хп (0 = SУ, |
1«н) + |
Пп (/)■ |
|
|
|
Необходимо вычислить вероятности значений pi,, |
|
ц„ |
при |
условии, |
что приняты реализации |
хг (/), |
..., хп (/), т. е. |
wao (рч> |
••• , |
Рп)--^ар(М ь ... . |
Р„) L (рч, ... |
, p ij, |
где ^ а1) {рч, ... |
, |
Р„) - |
сов |
местная |
плотность |
вероятности выборочных значений процесса ц (/); |
L (рч ,••• |
, pi-„) — функция правдоподобия параметров |
рч, |
..., рп- |
Априорная плотность вероятности для марковского процесса опре делена соотношением (12.41).
Функция правдоподобия вследствие независимости шума от такта к такту является произведением функций' правдоподобия в каждом такте. Используя функционал плотности вероятности белого шума и соотношение (12.10), получаем
1 (рЧ)= ехр s (A Pi)i2* (12.46)
где осуществляется усреднение по несущественным параметрам сигна ла,
Ц р V |
•••. ll J |
|
|
п |
L (Pi)- |
= |
|
П |
|
|
|
i= i |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
/1—1 |
|
п |
^acU*l> •••. pn) = |
t o ( p 1) |
П |
|
W (р., р;+1) П |
|
|
1=1 |
|
|
>=| |
Постулируем теперь, что на выходе приемного устройства в каждом п-м такте вычисляется апостериорная вероятность случайной величи ны рл. Тогда
|
оо |
|
а’асФп) |
—00 |
Ф п -1 * |
|
|
X ay(Pi) L (рл) |
п—1 |
|
п Я(р,.)Г(р,., pi+1). |
|
( = i |
|
Сравнивая выражения для |
юао (р„) и юао (р„+ ,), легко видеть, |
что эти апостериорные вероятности связаны рекуррентным соотноше нием
“ >ac (Вп-и) = |
«п |
L (wn+ l) \JФ д И>ас 0*п) |
Вд+х) |
(12.47) |
|
|
— оо |
|
|
или при очевидной перемене обозначений |
|
|
Фо + 0(Р) = |
kL in+11 (р) J с М ? (Я) Г (Я, |
р). |
(12.48) |
Интегральное уравнение для апостериорной вероятности получено Р. Л. Стратоновичем (51.
Соотношение (12.48) имеет простой смысл: интеграл в правой части
представляет плотность вероятности р, |
являющуюся априорной плот |
ностью |
к (n -f 1)-му такту фр+ 1)(рд), |
а апостериорная вероятность |
в (п + |
1)-м такте вычисляется по обычному правилу (12.3). |
Если затакт Т процесср(/) меняется очень мало, то плотность веро ятности перехода имеет вид дельта-функции 6 (р —Я), интегрирование
с которой приводит к результату фр+1) |
(р) » |
ф "’ (р), что соответ |
ствует выделению постоянного параметра. |
меняется очень сильно, то |
Напротив, если за такт Т процесс р (t) |
плотность вероятности перехода |
перестает зависеть от Я и совпадает |
с одномерной плотностью w (р) |
процесса |
р (/). |
В результате инте |
грирования фр+П (р) « W (р).
Здесь априорные вероятности в соседних тактах никак не связаны, что и должно иметь место для процесса со статистически независимыми соседними выборочными значениями.
