Соотношение (12.48) позволяет последовательно, от такта к такту, вычислять апостериорные вероятности. Приемное устройство могло бы работать в соответствии с этим алгоритмом. Более простые интерпре
тации |
оптимальных алгоритмов |
получаются, если воспользоваться |
иным |
критерием оптимальности. |
функционирует таким образом, что |
Предположим, |
что приемник |
в каждом такте |
работы выделяется апостериорное среднее значение |
параметра р: |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
М п = § |
рш;^ (р) Ф - |
(12.49) |
Апостериорное среднее является оценкой параметра р„, |
т. е. М п = |
И п• Апостериорная дисперсия тгп в каждом такте определяет точность
выделения параметра р.
Найдем алгоритмы работы приемных устройств на основе кри терия (12.49). Для того чтобы от апостериорной вероятности перейти к системе ее моментов, воспользуемся представлением апостериорной вероятности в каждом такте работы системы в виде гауссовской плот ности
Фс' (р) : |
exp |
( Р - А Д ) - |
(12.50) |
|
|
Y i птп |
2та |
|
Представление (12.50) |
справедливо, |
если либо отношение сигнал/ |
шум в системе достаточно велико, либо выделяемые процессы достаточ но медленные по сравнению с тактом работы, либо осуществляется промежуточный случай.
Используя (12.50) и (12.45), можно вычислить априорную вероят
ность в (п + |
|
1)-м такте: |
|
|
|
|
|
(п+ 1) |
(р) = |
|
|
ехр |
. fill |
- fl —а) А)а |
X |
w ар |
\ / 2л J/ стД6 |
|
Ь |
У 2л тп |
|
|
|
|
X ехр |
( Х - Л Р , ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2тп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(и —УИп (1—o))g |
I |
|
|
|
|
|
: е х Р |
|
/ 2 л |
у |
6стД-f-m« (1 — а)3 |
|
2{ b a h + m l ( l — a f ) |
j |
|
|
Соотношение (12.48) |
после логарифмирования приобретает вид |
1 |
(р —М„+1 |
~ С - \ - F п+х (р)- |
(р —Мп (1 —д))3 |
|
|
|
1Пп+ 1 |
|
|
|
2 (бО(1 + тп (1 —о)2) |
где F n+1 (р) — логарифм функции |
правдоподобия |
в (п + |
1)-м такте. |
Разложим левую и правую части в ряды в окрестности некоторой точки М и приравняем коэффициенты при первой и второй степе ни разности р — М, которую будем считать малым параметром.В ре-
зультате получим систему из двух уравнений, |
определяющую алго |
ритм работы приемного устройства: |
|
Р2 + (1 — Я)8 |
(12.51) |
|
1+ р'2 + и„ (1 — а)' |
|
где |
|
и„ = — т ‘п |
(12.52) |
■м |
|
|
(12.53) |
|
(12.54) |
Выбор точки М влияет на алгоритм работы, |
определяя тип прием |
ного устройства. |
|
Рассмотрим сначала общие характерные особенности уравнений (12.51). Эти уравнения имеют рекуррентный характер; значения M n+t
и х„+1 вычисляются, если известны предыдущие знаения |
и хп. |
Отметим; |
что, как будет ясно из дальнейших примеров, вторую про |
изводную от |
логарифма функции правдоподобия можно |
считать не |
зависящей от М \ поэтому уравнение для весового коэффициента х,1+ i не зависит от входных данных и является детермированным нелинейным рекуррентным уравнением.
Величина Kn± t определяет коэффициент усиления сигнала ошибки и, следовательно, эквивалентную полосу следящей системы.
Входные данные влияют лишь на величину 2,!+; Преобразование (12.54) определяет алгоритм работы оптимального
нормированного дискриминатора, выходной сигнал которого в отсут
ствие |
шума равен разности между истинным значением |
параметра |
в (п + |
1)-м такте и опорным значением М . |
|
|
|
Пример. |
Предположим, |
что на входе приемного |
устройства складываются |
непосредственно |
величина |
и гауссовский шум nj с дисперсией о2, |
т. е. |
xj = |
«= Ру -f- П). |
В |
этом простом |
случае |
логарифм |
функции правдоподобия |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F п+1 (р) — |
(1 /2о'3) (*n +i |
р)2 |
|
|
и операция |
дискримипировання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 (4/) —*п +1 |
4? |
|
|
|
заключается в вычислении разницы |
между принятыми данными |
и |
опор |
ным значением М. В отсутствие шума сигнал на выходе дискриминатора ранен разнице между истинным значением сообщения н опорным значением Л].
В целом уравнение (12.54) определяет операции над входными данными х (/), производимые дискриминатором, и операции, которые приемник совершает над выходным сигналом дискриминатора для вы числения апостериорного среднего в каждом такте.
Как следует из проведенного обсуждения, структурная схема при емника содержит следующие элементы (рис. 12.32):
—«нормированный» дискриминатор, включающий в себя устройства фильтрации сигналов и шума и превращающий входные сигналы в сигналы ошибки; дискриминатор является собственно демодулятором радиосигналов в модулирующие сигналы. (Операцию демодулиро вания иногда называют первичной обработкой);
Вход Дискримина |
|
> |
Сглаживаю |
тор |
|
0 — - |
щие рсни |
|
Устройство |
|
|
1
|
et
|
I
|
|
|
Рис, |
12.32 |
|
— умножитель на заранее вычисленный |
вес х„+ ь определяющий |
полосу дальнейшего «сглаживания» сигнала ошибки; |
'— сглаживающие цепи, |
формирующие |
оценку сообщения М п+ й |
— устройство управления дискриминатором. |
(Операции умножения на весовой коэффициент и сглаживания сиг нала ошибки составляют вторичную обработку).
Весовой коэффициент 1 вместе с тем характеризует ошибку из мерения процесса р (/).
По прошествии достаточно большого числа тактов п весовой коэф фициент стремится к установившемуся значению, которое может быть
найдено из условия x n+ i = |
х„ = |
х. Оно удовлетворяет квадратному |
уравнению |
|
|
|
1 - 6 х 2 + (1 + р 5) х — ро — О, |
где |
|
<PF |
|
п2- |
Р |
( 1 2 . 5 5 ) |
Р ° - Т |
<Ф2 |
м |
Введенный здесь параметр ро представляет собой отношение мощ ности о(у модулирующего процесса р (/) к мощности шума на выходе дискриминатора. Эта интерпретация становится ясной из дальнейших примеров.
На рис. 12.33 показана зависимость установившегося коэффицента усиления х от величины ро при различных значениях а Т , т. е. при различных скоростях процесса р (() относительно такта Т.
В приложениях часто встречаются сильно коррелированные за такт Т процессы р, (/), для которых а Т < 1. Здесь интересны крайние случаи больших и малых значений ро:
Ро > |
\1<хТ, |
1—(1/2аГро); |
а Т |
ро <С \12аТ, |
х = |
] / |
2аГр0; |
|
Pj < а Т, |
х — |
рЬ- |
(12 56) |
При очень больших значениях ро установившийся коэффициент
усиления приближается к единице; |
при малых значениях ро установив |
шийся |
коэффициент усиления из |
|
меняется пропорционально р0, на |
|
конец, при ро->0 установившийся |
|
коэффициент усиления |
стремится |
|
к нулю, как ро. |
структуру |
|
Рассмотрим теперь |
|
цепей, |
сглаживающих |
сигнал |
|
ошибки |
дискриминатора. С точки |
|
зрения |
выбора М можно различать |
1пр20 |
три типа измерителей: |
|
Рис. 12.33 |
— при М — М п имеем обычный |
следящий измеритель;
—при М = М п — (1 — а) М п — следящий измеритель с экстра поляцией;
—если М — заранее известная фиксированная точка, то имеем па
раметрический измеритель.
Следящий измеритель с экстраполяцией. Если |
|
Л? = Л4П=--(1 —а) М п = М п ехр { — аТ}, |
(12.57) |
то уравнение фильтрации имеет вид |
|
М п-н — М п 4- x Z n+l ( М п)- |
(12.58) |
Работа измерителя происходит следующим образом: в п-м такте на основе апостериорного среднего вычисляется экстраполированная оценка; в качестве экстраполированного значения выбирается услов
ное среднее значение рл+] = (1 — а)цп, усредненное с апостериорной
вероятностью случайной величины рп, т. е. М п. Сигнал ошибки вы числяется в экстраполированной точке, умножается на весовой коэф фициент х и складывается с экстраполированной оценкой, образуя апостериорное среднее в (п + 1)-м такте. Этот процесс повторяется от такта к такту. Структурная схема следящего измерителя с экстраполя
цией представлена на рис. 12.34.
Формула экстраполяции (12.57) имеет простой смысл; если бы значе ние процесса в n-м такте было известно точно, то вероятности различных значений рп+! были бы определены плотностью вероятности перехода
W (рп, |л„+ 0 и в среднем p„+ i = (1 — а)р„; на самом деле относитель-
но известно лишь его апостериорное распределение, поэтому усло
вное среднее p,t-|-i необходимо еще усреднить по различным значениям (-i,t с их вероятностями.
Если процесс р (t) мало меняется за такт, то экстраполированная оценка мало отличается от М п\
М п « (1 - а Т ) М п.
Если процесс за такт изменяется очень сильно, то экстраполяция невозможна.
Следящий измеритель. Если М = М п, то уравнение фильтрации имеет вид
M n+1 = M n + x Z n+1( M n) - ~ , |
------ . |
(12.59) |
1 + р- + х (1 — а)- |
|
Структурная схема измерителя представлена на рис. 12.35.
Сигнал ошибки вычисляется в точке, равной апостериорному сред нему в предыдущем такте.
Цепи сглаживания имеют две обратные связи, выходной сигнал одной добавляет к сигналу ошибки М п\ выходной сигнал другой вы читает значение М п, умноженное на коэффициент.
Волее детально рассмотреть роли различных элементов схемы мож но на примере выделения сообщения при приеме суммы сообщения и искажающего шума с дисперсией о2:
Xj = \ij + п}, а Т <С 1.
В этом случае
М „-М = М п + X {Xn+1- M n) - |
1 —2а7 Pq+ х |
|
В этом примере величина а2= — 1ld l Fld\\.2 является вместе с тем |
мощностью шума на выходе дискриминатора.
Можно отметить несколько вариантов, различающихся величиной Рб п соответственно структурой сглаживающих цепей:
а) Если ро > 1/ а Т , |
то х « 1. |
При этом следящая |
система размыкается и оценка формируется |
непосредственно на основании принятых данных (рис. 12.36, а).
—*■---- |
м> |
|
П + 1 |
|
|
|
|
|
И |
|
|
г----- ^ |
|
•N М |
Устройство |
|
|
задержки |
|
-ос/ |
на такт |
|
|
|
У |
В |
|
|
Рис. 12.36 |
|
|
Таким образом, при очень большом отношении мощности сообщения к мощности шума полоса сглаживающих цепей становится «беско нечной».
б) Если 1/аТ > ро > иТ, то можно пренебречь дополнительной обратной связью (рис. 12.36, б). При этом
Мп+1 М п "Ь %Мп — кхп
Вэтом варианте особенно ясно, что оптимизация сглаживающих цепей заключается в выборе полосы /?С-фильтра, определяемой вели чиной коэффициента х. Компромиссное значение полосы фильтра уста
навливается с учетом мощности сообщения стД, мощности шума на выходе дискриминатора о2 и степени' корреляции процесса аТ. Ясно, что при большем уровне шума полезно сужать полосу фильтра, хотя при этом искажается сигнал, но зато пропускается меньшее коли чество шума. При уменьшении уровня шума полезно расширить поло су фильтра, чтобы искажения сигнала были меньше. Точное значение полосы определено на рис. 12.33 и соотношениями (12.56). Напри мер, при умеренных значениях pi) постоянная времени фильтра равна
т
2а t • о^/а
Таким образом, основой оптимизации является правильный выбор полосы сглаживающих цепей.
