Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

где Cs — концентрация на поверхности раздела фаз, С 0 — равно­ весная концентрация, Q — скорость роста, а А и п суть постоян­ ные при заданной температуре. С другой стороны,

кой; 2) когда определяющая роль принадлежит влиянию погра­

нимая на краю пластины минимальное значение, равное нулю.) Данные, полученные Мак-Кэйбом и Стивенсом [288] при экспе­ риментальном исследовании роста CuS04-5H20 из водного рас­ твора, согласуются с выражением (33.14) при п = 2.

Беннема [182], также пользовавшийся формулой (33.11) для интерпретации измеренных им скоростей роста кристаллов алюмокалиевых квасцов и хлората натрия из растворов, установил, что бс ~ Ю - 2 см. Однако изменение скорости перемешивания раствора не привело к изменению скорости роста, на основании чего Беннема заключил, что рост полностью лимитируется по­ верхностными процессами в соответствии с моделью поверхност­ ной диффузии, предложенной Бартоном, Кабрерой и Франком [41], а не объемной диффузией, как это предполагалось в пред­ ложенной Черновым [17] модели, согласно которой скорость ро­

1?»

бесконечно большой (если только роль кинетических явлений на поверхности раздела фаз несущественна). С учетом этого он вы­ сказал предположение, что более подходящей моделью может служить пластина, температура (или концентрация) в разных точках которой различна, так что скорость переноса тепла (или вещества) будет постоянной. В такой постановке задачу тепло­ проводности решили Фэйдж и Фолкнер [282]; оказалось, что пре­ вышение температуры пластины над температурой объема жидкости пропорционально хч\ При росте из раствора отклоне­ ние концентрации на поверхности пластины от концентрации в объеме также пропорционально х'л . В итоге на некотором рас­ стоянии х от края пластины концентрация на ее поверхности упадет до равновесной. Карлсон предположил, что при весьма малых скоростях протекания раствора именно на таком расстоя­ нии от края образуются дефекты в крупных кристаллах ADP («свили»). Существует и другая трудность, состоящая в том, что концентрация на поверхности Cs, входящая в уравнение поверх­ ностной кинетики [уравнение (33.12)], меняется с движением по поверхности, так что скорость роста также оказывается перемен­ ной величиной, зависящей от х. Как уже упоминалось, здесь следует брать нелокальное граничное условие.

Полуэмпирические соотношения [подобные уравнению (33.10)] для кристаллизации, растворения и плавления, связы­ вающие критерии Рейнольдса, Прандтля и Шмидта, с одной сто­ роны, с критериями Нуссельта и Шервуда (последние два про­ порциональны скоростям соответственно теплопередачи и диф­ фузии),— с другой, обсуждаются в монографии Маллина [281] и в работах, на которые он ссылается в этой монографии.

34. В Р А Щ А Ю Щ И Й С Я Д И С К И УСТАНОВКА ЧОХРАЛЬСКОГО

Бартон и др. [254] исследовали влияние потока жидкости на распределение примеси в кристаллах, которые выращивались из расплава с примесью или специально введенной добавкой по ме­ тоду Чохральского (см. также статью Бартона и Слихтера [289]). Как оказалось [254], задача о потоках, которые возникают в рас­ плаве при вращении цилиндрического кристалла, погруженного своим концом в расплав, аналогична задаче о вращающемся диске, погруженном в жидкость. Задача о вращающемся диске была исследована Карманом и Кокреном (см. [283]); это одна из тех немногочисленных задач, для которых известно точное решение уравнений Навье — Стокса. Задача о диске в свою оче­ редь близка к задаче о действии центробежного насоса, в кото­ ром слой жидкости около диска переносится параллельно его поверхности силами трения, а затем выбрасывается наружу под действием центробежной силы. На место отброшенной жидкости

поступает другая, подтягиваемая к вращающемуся диску вдоль оси системы. Ясно, что поток в данном случае трехмерен и что все три его составляющие (касательная, радиальная и осевая) не равны нулю. Скорость осевого потока, направленного к диску, быстро спадает вблизи него, так как здесь возникают радиаль­ ное и касательное течения. Толщина гидродинамического погра­ ничного слоя, соответствующего этой задаче, т. е. слоя жидко­ сти, который «несет» на себе диск, вращающийся с угловой ско­ ростью со, приближенно выражается следующим образом [283]:

(34.1)

В этом слое на расстоянии х от диска скорость и осевого потока, направленного по нормали к диску, описывается приближенным выражением

Чтобы найти толщину диффузионного пограничного слоя бс для разбавленного раствора с концентрацией С, следует записать уравнение сохранения вещества, которое в системе координат, неподвижной относительно поверхности диска, имеет в стацио­ нарном состоянии вид

Последнее соотношение представляет собой условие сохранения количества растворенного вещества на поверхности раздела фаз, где концентрация равна Cs; Ст — его концентрация в твердой фазе. Решая эту систему для значений и, описываемых форму­ лой (34.2), получаем, что при х = 0 концентрация С = Cs\ сле­ довательно,

C s ~ C T

где B = (0,51/3)t)jVJ D2 v Ч г , a X = vgx/D. Чтобы определить бс , предположим, что в пределах слоя толщиной бс полная скорость осевого потока в точности равна скорости роста vg и что С = С» при х = бс . Таким образом, возникает диффузионная задача,

эффициент распределения может принимать любое значение

фузией и £Э фФ приближается к единице. Бартон и др. [290] про­ вели экспериментальное исследование роста легированного сурь­ мой германия по методу Чохральского. На фиг. 41 представлены полученные ими данные вместе с результатами расчета по фор­ муле (34.9) (сплошные кривые на графике). Коэффициент диф­ фузии D, полученный сопоставлением теории и эксперимента, имеет приемлемую величину. Зиф и Уилкокс [252], взяв значения ^эфф, измеренные посредством различных методик, и известные значения D, вычислили по формуле (34.9) толщину бс , которая в зависимости от способа и интенсивности перемешивания ле­ жала в интервале от 1 до Ю - 3 см.

Теорию теплоотвода и диффузии от вращающегося диска уточнили Спэрроу и Грегг [291]; в таком виде она была исполь­ зована Эмануэлем и Оландером [292] (см. также [252]). В част­ ности, выражение (34.8) было распространено на системы с лю­ бым числом Шмидта Sc = v/D, хотя это выражение и является неплохим приближением при Sc > 1. Эмануэль и Оландер [292] исследовали растворение в воде кристаллов бензойной кислоты и других веществ с большими числами Шмидта, добившись хо­ рошего согласия с теорией.

Экспериментальные (по большей части качественные) иссле­ дования потоков жидкости при выращивании кристаллов по Чохральскому проводились разными авторами. Чаще всего это