Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

V I I I

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ

32. В В Е Д Е Н И Е

Мы уже рассматривали, особенно в гл. I I I , вопросы о том, как на кристаллизацию влияет тепло- и массоперенос, предполагая при этом, что такой перенос к поверхности раздела фаз или от нее осуществляется только посредством теплопроводности и диффузии по отдельности или одновременно. Другой, совершенно иной способ переноса теплоты или вещества — это конвекция, при которой теплота или вещество, содержащиеся в жидкости, переносятся из одной ее точки в другую гидродинамическим по­ током. Такой поток, вообще говоря, должен влиять на рост кри­

силы, такие, как: а) разность плотностей кристалла и жидкости, приводящая к конвективному тепло- и массопереносу, сопро­ вождающему продвижение фазовой границы в жидкость; б) не­ одинаковая плотность самой жидкости, порожденная градиен­ тами температуры и концентрации, которая в поле тяжести при­ водит в свою очередь к возникновению естественного конвек­ ционного потока; в) принудительная конвекция, когда переме­ шиванием жидкости создается поток, омывающий кристалл.

Влияние таких конвекционных потоков обычно сводится к разрушению протяженных полей диффузии в маточной среде. Их сменяют диффузионные поля, сосредоточенные в относи­ тельно узком пограничном слое толщиной б, так что пересыщен­ ный объем оказывается теперь совсем близко к поверхности раздела. Диффузия идет через этот пограничный слой, поэтому концентрационный и температурный градиенты около поверхно­

если только рост лимитируется не одними кинетическими явле­ ниями на фронте. Другим примером может служить сегрегация примеси на фронте кристаллизации, вызывающая ее накопление в расплаве перед фронтом. Образующаяся из такого загрязнен­ ного расплава часть кристалла имеет повышенное содержание примеси. Диффузия примеси в расплав от фронта кристаллиза­ ции может привести к некоторому снижению ее концентрации в этой области, уменьшая тем самым количество примеси в кри­ сталле. Однако гидродинамическое перемешивание расплава

способно гораздо сильнее снизить концентрацию примеси у фронта кристаллизации, поскольку диффузионный слой при та­ ком перемешивании становится гораздо тоньше, так как его толщина определяется толщиной гидродинамического погранич­ ного слоя (см., например, [251, 252]).

Хотя гидродинамические эффекты во многих случаях кристал­ лизации играют не менее важную роль, чем теплопроводность и диффузия, все же количественных исследований в этой области проведено, по-видимому, несравненно меньше, чем по диффу­ зионной задаче Стефана и другим аналогичным задачам. [Впро­ чем, к исследованию влияния перемешивания на некоторые кри­ сталлизационные процессы часто прибегают в химической про­ мышленности (см., например,[280, 281]).] Такую недооценку мож­ но объяснить несколькими причинами. Во-первых, если в опытах жидкая фаза специально не перемешивается, то о возможности естественной конвекции часто забывают. Во-вторых, если суще­ ствование потоков жидкости при росте кристалла и учитывалось,, то громоздкость дифференциальных уравнений удерживала ис­ следователей от попыток определить аналитически или хотя бы полуколичественно распределение таких потоков. В-третьих, в опытах по росту кристаллов часто невозможно наблюдать за распределением потоков жидкости, особенно если последняя непрозрачна.

В настоящей главе мы рассмотрим исследования влияния по­ токов жидкости на тепло- и массоперенос, отдавая предпочте­ ние при этом количественным результатам. По аналогии с си­ стематикой задач Стефана разобьем работы, посвященные дан­

употребляется в литературе по гидродинамике, теплопроводно­ сти и диффузии (основная литература: Ландау и Лифшиц [212], Гольдштейн [282], Шлихтинг [283], Эккерт и Дрейк [284]; см. также журнал [285]).

33. ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассматривая рост кристалла с плоскими гранями либо из перемешиваемого или проточного пересыщенного раствора, либо при его перемещении относительно раствора, ряд исследователей выбрали в качестве приближения гидродинамическую задачу о пограничном слое, возникающем в параллельном потоке при об­ текании полубесконечной плоской пластины. К исследованиям

Ландау и Лифшиц [212], Шлихтинг [283]). Это сложные нелиней­ ные уравнения движения, точные решения которых известны только для особых случаев (потоки в трубе и около вращаю­ щегося диска, очень медленное обтекание шара). Как показал Прандтль, когда поток жидкости обтекает твердые тела, в слое жидкости, прилегающем к их поверхности и называемом погра­ ничным слоем, возникают большие градиенты скорости течения. Рассматривая движение жидкости в этом слое, следует учиты­ вать трение (вязкость); вне пограничного слоя трением можно пренебречь. Такой приближенный анализ позволяет упростить уравнения движения жидкости в пограничном слое, которые все

«со

Ф и г . 40. Гидродинамический пограничный слой при обтекании плоской пластины [283].

еще остаются нелинейными. В случае стационарного двумерного потока несжимаемой жидкости с постоянными характеристиками эти уравнения имеют следующий вид:

в этом приближении формулой

в которой толщина пограничного слоя б определяется следую­ щим образом:

равна нулю у края пластины, встречающего поток, и возрастает пропорционально х"к с удалением от этого края.

Для определения потока тепла к пластине или от нее сна­ чала выводится уравнение энергетического баланса для элемен­ тарного объема жидкости. Это уравнение в принципе следует решать совместно с уравнениями Навье — Стокса. Более простой его вариант в приближении пограничного слоя записывается в следующем виде:

теплоемкость при постоянном давлении. Кроме граничных усло­

уравнение (33.5) относительно Т(х, у). Польхаузен (см. [283]) получил точное решение уравнения (33.5), использовав решения уравнений (33.1) и (33.2). Если тепловой пограничный слой б* тоньше гидродинамического пограничного слоя б, то приближен­ ное решение имеет вид