Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

398 Р. ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ

ние кинетических явлений или поверхностной энергии на тем­

венная конвекция из-за разности плотностей) на условия теп­ лопередачи или диффузии; влияние примесей на температуру

вых полей, приложенных к кристаллизующейся системе. По-види­ мому, кинетические явления на фронте кристаллизации, поверх­ ностная энергия и наличие примеси, особенно вместе с их зави­ симостями от кристаллографической ориентации, относятся к наиболее важным из перечисленных усложняющих факторов.

Как уже отмечалось, задача Стефана даже в чистом виде представляет собой довольно сложную граничную задачу мате­ матической физики. Введя в рассмотрение хотя бы один из пе­ речисленных процессов, можно получить задачу, для которой нельзя найти точного решения. Гораздо более подробный ана­ лиз поверхностной кинетики, влияния примесей и течения жидкости еще станет предметом последующего рассмотрения.

наковыми дифференциальными уравнениями (9.1) и (9.36), ре­ шения которых должны удовлетворять сходным граничным ус­ ловиям (9.3), (9.4), (9.37) и (9.38). До сих пор в задачах рассматривался только один из двух процессов переноса. При исследовании направленной кристаллизации считалось, что кри­ сталл растет из чистого расплава. При решении же задачи о кристаллизации цилиндра из пересыщенного раствора тепловые эффекты не учитывались. Но, как показал Франк [54], характер роста может определяться совместным действием обоих процес­ сов переноса. В частности, расплав,из которого растет кристалл, может содержать примесь в таком количестве, что она, накап­ ливаясь на фронте кристаллизации, приведет к снижению на нем температуры плавления. При кристаллизации из раствора температура у фронта роста может из-за выделения теплоты кристаллизации повыситься настолько, что равновесная кон­ центрация там изменится. При одновременном учете обоих про­ цессов значения температуры и концентрации, входящие в гра­ ничные условия, меняются, хотя форма граничных условий ос­ тается прежней. Уравнения переноса также сохраняют свой вид,

переохлажденного расплава по закону f/ s в присутствии при­

на поверхности шара. Как показал Франк, эту систему уравне­ ний можно решить графически с помощью прибора с градуи­ рованными шкалами. Как показывает решение задачи для кон­ кретного числового примера, даже если концентрация примеси в объеме расплава невелика, то примесь все же способна на­ капливаться у фронта кристаллизации в заметном количестве, поскольку коэффициент диффузии мал. В итоге равновесная температура у фронта роста существенно понизится, что при­ ведет к снижению эффективного переохлаждения и в свою оче­ редь замедлит рост кристалла. Такая ситуация складывается, когда кристалл слабо захватывает или вовсе не захватывает примесь. При этом анализе предполагалось, что концентрация примеси или «растворителя» невелика. Подобным же образом можно проанализировать другой предельный случай — рост из раствора. Однако решение такой задачи показывает, что по­ правка, учитывающая изменение температуры вследствие вы­

Задачи, подобные рассмотренной Франком, исследовал Иванцов [63, 77, 81]. В частности, он решил задачу о кристал­ лизации бинарного сплава из перегретого расплава для плос­ кого фронта [81]. Им'проведен такой же анализ для кристалли­ зации сплава со сферическим фронтом роста из переохлажден­

400 Р. ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ

росте из чистого расплава, Иванцов нашел, по-видимому, не решая количественно самосогласованную задачу, результат, со­

компонент сплава легче переходит в кристаллическое состояние (это эквивалентно ситуации, рассмотренной Франком, когда у

перед фронтом кристаллизации формируется слой расплава с концентрацией легкоплавкого компонента выше равновесной, который вследствие этого оказывается переохлажденным, хотя на большом удалении от поверхности кристалла расплав пере­ грет, а температура на самой этой поверхности остается равно­ весной. Это явление обнаружили независимо от Иванцова и Франка Раттер и Чалмерс [82], назвавшие его концентрацион­ ным переохлаждением в отличие от обычного переохлаждения, связанного с понижением температуры. Речь о проведенном этими авторами анализе устойчивости формы кристалла еще пойдет ниже.

предположив, что закон перемещения фронта известен пол­ ностью, вплоть до константы роста. Ими было рассчитано рас­ пределение примеси в кристалле при движении фронта кри­

растворе могут иметь различное происхождение: так, тепловая конвекция возникает из-за различия плотностей разных участков среды, которое в свою очередь вызвано неоднородностью тем­ пературы; неоднородность концентрации тоже приводит к появ­ лению разности плотностей и соответственно концентрационных токов; гидродинамические потоки создаются путем принуди­ тельного перемешивания; они сопровождают кристаллизацию и в том случае, когда плотность кристалла отлична от плотности жидкой среды. О тепловой конвекции и концентрационных токах

Ясно, что при кристаллизации из расплава, когда для обра­ зования кристалла данного объема обычно требуется на не-

сколько процентов больший объем расплава, должен существо­ вать поток жидкой фазы по направлению к кристаллу. Этот по­ ток вещества может влиять на распределение температуры, да­ ваемое решением задачи Стефана.

Подобный эффект в случае плоского фронта затвердевания исследовали Карслоу и Егер [51], а также Хорвей [84]; последний к тому же проанализировал влияние эффекта на кристаллиза­ цию цилиндра и шара из переохлажденного расплава. Видоиз­

Движение жидкости, которая считается несжимаемой, описы­ вается двумя дополнительными уравнениями: уравнением непре­ рывности

в уравнении (10.5) равно нулю, следовательно,_ поток не за­ висит от вязкости v; кроме того, движение жидкости потенци­ ально. Наряду с условием (9.4) должно выполняться условие баланса масс на фронте кристаллизации:

задачи показало, что все три рассмотренные формы растут по

жающий различие плотностей твердой и жидкой фаз, равен (ps/рь) — 1. Хорвей показал, что р для шара и цилиндра слабо зависит от параметра 8 при малых его значениях.

Из решения задачи, однако, следует, что давление жидкости при направленной кристаллизации очень велико, поскольку на­ чальная скорость жидкости (при t = 0) бесконечно велика,