Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

там; концентрация на вершине равна равновесной; поток к под­ ложке отсутствует. В качестве начального условия принимается, что в момент t = 0, когда «впускается» пар, плотность числа ад­ сорбированных атомов одинакова вдоль всей поверхности. Для задачи (10.11) с граничными и начальным условиями методом итераций получено численное решение [101], и в результате най­ дена зависимость длины кристалла от времени и распределение концентраций. Сравнение результатов точного расчета (сплош­ ная линия) с рядом вычисленных ранее приближений прово­ дится на фиг. 10.

му поверхности раздела фаз и скорость кристаллизации по Тамману исследовали Любов [86], Берлад [102—104] и многие другие [105—107] (см. также [47]). Кристаллизация в трубке Таммана представляет собой с точки зрения задачи Стефана весьма сложную конфигурацию. Первоначально она была ис­ пользована для того, чтобы получить сведения о кинетических явлениях на поверхности раздела фаз. Речь об этом еще пой­ дет дальше. Трубка Таммана — это длинная, обычно стеклянная трубка, закрытая с одной или с обеих сторон и содержащая пе­ реохлажденный расплав. Трубка погружена в термостатирован­ ную жидкость. В одном конце находящегося в трубке пере­ охлажденного расплава каким-либо спосбоом инициируют кри­ сталлизацию, причем кристалл растет вниз (или вверх) по трубке.

Путем измерения положения поверхности раздела кристалл — расплав в разные моменты времени (это измерение часто проводится непосредственно в процессе роста оптическими методами) находят скорость кристаллизации при различных температурах термостата. Рассмотрим теперь вопрос о том, можно ли полученные таким путем данные считать фундамен­ тальными или измеряемые величины испытывают неконтроли­ руемые искажения из-за влияния трубки.

Если поток тепла вдоль оси трубки постоянен по ее сечению (одномерен) и если не учитывать такие дополнительные фак­ торы, как кинетические явления на поверхности раздела фаз или влияние поверхностной энергии и примеси, и считать несуще­ ственным как каталитическое, так и любое другое влияние сте­ нок трубки, то для исследования кристаллизации переохлаж­ денного расплава в трубке можно воспользоваться решением классической одномерной задачи Стефана, взяв уравнения (9.19) и (9.22). При выполнении сделанных предположений фронт кри­ сталлизации плоский, тепловой поток полностью заключен в пе­

тельно, кристаллизация в трубке Таммана нестационарна, так что скорость роста не может принимать постоянного значения. Как уже отмечалось при обсуждении уравнения (9.23), скорость направленной кристаллизации постоянна только в том случае, когда от расплава с начальной температурой, равной температу­ ре плавления, отбирают тепла больше, чем его поступает при постоянной температуре к поверхности х = 0; для этого темпе­ ратура граничной поверхности должна снижаться с течением времени экспоненциально. Поскольку в экспериментах с трубкой Таммана это условие не выполняется, постоянство скорости кри­ сталлизации свидетельствует либо о нарушении одномерности теплового потока, либо о заметном влиянии каких-либо из уже перечисленных выше факторов, либо о том и другом одновре­ менно. Поэтому целесообразно попытаться найти количествен­ ное решение трехмерной (или двумерной при условии цилиндри­ ческой симметрии) задачи Стефана для трубки Таммана, по­ тому что без такого решения вряд ли можно предсказать форму поверхности раздела фаз и скорость кристаллизации. Впрочем, из эксперимента можно определить нижнюю границу значений кинетического коэффициента, основываясь на том, что переохла­ ждение поверхности раздела фаз 6Г <^ AT. Некоторого успеха в исследовании плоского фронта, перемещающегося с постоян­ ной скоростью, добился Хиллинг [105], рассчитавший к тому же температурные градиенты для трубок со стенками различной толщины. Аналогичные вычисления провели Майкле и др. [108]. Любов [86] проанализировал одномерную задачу с граничными

условиями, учитывающими кинетические явления на поверхно­ сти раздела фаз. Не исключено, конечно, что кинетические явле­

ляя ничего на поддержание потока тепла; иными словами, за единичное время теплоты кристаллизации выделяется так мало, что для ее отведения достаточно иметь пренебрежимо малые градиенты температур. Однако такая ситуация не относится к классу задач Стефана. Речь о ней еще пойдет в главе, посвя­ щенной кинетическим явлениям на поверхности раздела фаз.

11. НЕКОТОРЫЕ П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я ЗАДАЧИ СТЕФАНА

Ниже дан лишь беглый обзор методов приближенного реше­ ния задачи Стефана, поскольку центр тяжести наших интересов лежит в области получения или попыток получения точных ре­ шений. Весьма подробный обзор многочисленных приближен­ ных аналитических методов дан Банкоффом [50]. Здесь же бу­ дут рассмотрены приближения на основе уравнения Лапласа.

Плоский фронт кристаллизации, расплав при температуре плавления. При направленной кристаллизации, когда теплота

представляет собой движущую силу кристаллизации, много меньше единицы, то уравнение (11.1) можно приближенно за­ писать вслед за Карслоу и Егером [61] в таком виде:

(например, для льда csTnJL = 0,012, если на поверхности х = 0 поддерживается температура — 2 ° С ) . Приближенное выраже­ ние (11.2) можно получить иначе, если предположить, что вме­ сто точного уравнения (9.2) распределение температур в кри­ сталле подчиняется уравнению Лапласа

Наложим на выражение (11.4) условие (9.4), связывающее теп­ ловые потоки на границе фаз, и не обращая внимания на то, что решение (11.4) уравнения (11.3) не учитывает зависимости от времени, получим в результате интегрирования соотношение

где А? дается выражением (11.2). Если расплав перегрет или переохлажден, так что градиент температуры в нем, как уже от­ мечалось, отличен от нуля, то решение уравнения Лапласа в расплаве не удовлетворяет условию ограниченности темпера­ туры при х = оо, так как единственное решение задачи, допу­ скающее существование потока тепла в расплаве при направлен­ ной кристаллизации, представляет собой линейную функцию х. Распределение температур в расплаве в частном случае TL — = Тпл подчиняется уравнению Лапласа.

Рост шара в пересыщенном растворе. Уравнение Лапласа применимо к расчету кристаллизации шара, если движущие силы малы; решение уравнения для такой конфигурации удовлетворя­ ет граничному условию на бесконечности, которое не выполня­ лось для плоского фронта кристалла при росте из пересыщен­

Приближенное выражение (11.8) можно вывести иначе, пред­ положив, что в растворе вместо точного уравнения диффузии