Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

402 Р. ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ

так же как и скорость фронта кристаллизации при г - >0 . При по­ следующем уменьшении скорости от этой бесконечной величины поток ослабевает, приводя к некоторым высоким (положитель­ ным) давлениям, откуда следует неприменимость предположе­ ния о несжимаемости жидкости. Совершенно иным оказался характер изменения давления при кристаллизации цилиндра и шара: давление около кристаллов такой формы может прини­ мать отрицательные значения, что может привести к кавитации и зарождению новых центров кристаллизации. Подобные дина­ мические явления исследованы также Гликсманом [85] преиму­

Любов [86]; он рассмотрел, как отражается на одномерных теп­ ловых потоках охлаждение поверхности раздела кристалл — рас­ плав до температуры ниже точки плавления. Чернов и Любов [87], а также Гликсман и Шефер [88] исследовали кристаллиза­ цию сферы, учитывая при этом кинетические явления на границе фаз.

Косгроув [89] исследовал влияние электрического поля на лимитируемый диффузией рост сферы из заряженных частиц, со­ держащихся в растворе. Действие поля сводится к тому, что оно способствует осаждению с одной стороны сферы большего количества вещества, чем с другой, вследствие чего сфера, про­ должая разрастаться по радиусу, смещается как целое.

лизации параболоидального дендрита, полученное Иванцовым [61], а также Хорвеем и Каном [73], содержит неопределенность: известно лишь произведение скорости продвижения вершины дендрита v на радиус кривизны вершины pt, а не их значения по отдельности. Это означает, что в одном и том же переохлажден­ ном расплаве могут либо быстро расти острые иглы, либо мед­ ленно тупые. Приближенный учет влияния поверхностной энергии или кинетических явлений на поверхности раздела фаз позволяет ввести масштаб длины или скорости кристаллизации, а также приблизить постановку задачи к реальной ситуации.

I I I . ЗАДАЧА СТЕФАНА

верхностной энергии на распределение температуры состоит в том, что, согласно уравнению Гиббса — Томсона, участок кри­ сталла, ограниченный поверхностью с большей кривизной (ра­ диус кривизны порядка Ю - 2 мм или меньше), плавится при бо­ лее низкой температуре:

Здесь 7"п л (оо) — температура плавления кристалла с плоской по­ верхностью; 7"пл(р)—температура плавления кристалла с по­ верхностью, радиус кривизны которой равен р; ysb — поверхно­ стное натяжение (свободная поверхностная энергия) поверхно­ сти раздела кристалл/расплав; ps — плотность кристалла. Кроме поверхностной энергии, Темкин включил в рассмотрение кине­ тические явления на поверхности раздела фаз, которым соот­ ветствует линейная зависимость скорости роста от переохлаж­ дения на фронте кристаллизации. Рассматриваемые в гл. V ки­ нетические явления на поверхности раздела фаз — это молеку­ лярные процессы, определяющие, какой должна быть степень от­ клонения температуры этой поверхности от равновесной, чтобы скорость перехода молекул из расплава в кристалл приобрела данное значение. Линейная зависимость скорости роста от пере­ охлаждения выражается следующим образом:

Здесь vN — скорость роста по нормали к рассматриваемому эле­ менту поверхности; К — постоянная, называемая линейным ки­ нетическим коэффициентом; Т„,ш — истинная температура по­ верхности в данной точке. Поверхность параболоида вращения z(x,y) описывается уравнением z = (р( /2) — (х2 + y2)/2pt, где рг — радиус кривизны вершины, перемещающейся со ско­ ростью v. Температура на поверхности раздела фаз должна, следовательно, подчиняться новому граничному условию, сфор­ мулированному Темкиным в следующем виде:

3

Теперь следует решить сформулированную таким образом зада­ чу Стефана, чтобы выяснить, существует ли самовоспроизводя­ щаяся форма роста и, если существует, то какова она. Если параболоид, по нашему представлению, является единствен­ ной формой роста, удовлетворяющей условию постоянства

температуры на фронте кристаллизации, то форма, удовлетво­ ряющая условию (Ю.9), не может быть параболоидом. Тем не менее для простоты расчетов Темкин принимает в качестве первого приближения, что форма роста представляет собой па­ раболоид вращения. Вместе с тем предполагается, что при ма­ лых степенях переохлаждения исходного расплава справедливо уравнение Лапласа. В итоге он получает соотношение

ковых степенях переохлаждения исходного расплава скорость роста в последнем случае меньше скорости, определяемой из уравнения (9.49). Это объясняется эффективным снижением температуры поверхности, т. е. уменьшением движущей силы роста, происходящим частично из-за снижения температуры пла­

ческих реакций на поверхности раздела фаз. В итоге движущая сила теплопереноса становится меньше. Ясно, что уравнение (10.10) сводится к уравнению (9.49), если пренебречь влиянием поверхностной энергии, положив ySL — 0, и если предположить, что кинетические процессы протекают с большой скоростью, т. е. К,—*оо (при конечном значении скорости роста поверхность раз­ дела фаз не переохлаждена). Левую часть уравнения (10.10) мо­

раболоида и близких к параболоидам форм из расплава с при­ месью исследовали Темкин [92], а также Боллинг и Тиллер [91]. Прежде чем изложить их исследования, заметим, что как реше­ ния, полученные Иванцовым [61], а также Хорвеем и Каном [73] для основной задачи о росте параболоида из расплава, так и решение Темкина, учитывающее влияние кинетических явлений на фронте роста и влияние кривизны параболоида, легко пере­ формулировать таким образом, чтобы они описывали кристалли­ зацию из разбавленного раствора (об этом уже говорилось при

406 Р. ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ

втом, что скорость перемещения дендрита считается постоян­ ной; если не учитывать различия плотностей [73], то скорость

равна v, а различие плотностей приводит к притоку расплава к кристаллу со скоростью ev и, следовательно, скорость v исход­

обычно бывают тонкими, длинными и прямыми. Существует не­ сколько механизмов их роста [93]. Одна из моделей, примени­ мая к росту нитевидных кристаллов из чистого пара в отсут­ ствие инертного газа или другого газа, замедляющего рост бла­ годаря появлению диффузии, предложена Сирсом [94] и рассчи­ тана с разной степенью точности в работах Диттмара и Нейма­ на [95], Блейкли и Джексона [96], Гомера [97,98], Рута и Хирса [99], а также Симмонса и др. [100]. Точный расчет для этой мо­ дели первыми выполнили Симмонс и др. [100]. Согласно модели Сирса, нитевидные кристаллы растут на подложке. Атомы пара падают на боковые стенки нитевидного кристалла и там адсор­ бируются. Затем такие адсорбированные атомы диффундируют по боковой стенке к вершине нитевидного кристалла и осаж­ даются там на ловушках, например на ступенях, источником ко­ торых служит винтовая дислокация. К тому же предполагается, что атомы не диффундируют к подложке или от нее и не встраи­ ваются в кристалл на боковых стенках нитевидного кристалла, а количество атомов, осаждающихся на вершине кристалла не­ посредственно из пара, не может обеспечить его рост, так как площадь вершины мала по сравнению с площадью боковых сте­ нок. Задача состоит в том, чтобы найти зависимость длины ни­ тевидных кристаллов / от времени t.

Хотя по существу эта задача одномерная, уравнение диффу­ зии, описывающее диффузию по боковой поверхности нитевид­ ного кристалла, отличается от обычного уравнения диффузии и

ряду с этим уравнением должны выполняться следующие гра­ ничные условия: вещество, достигающее вершины, осаждается