§ 8 . 5 І М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я М А Г Н О І -Ю В 447
и диполь-дипольиого взаимодействий (для изотропной среды [231])
Ак = 2S 2 (1 — eikrs) lg + yhH0+ |
TÄ 2лМ0sin2 Ѳ*, |
g |
|
(о.Ь.иУ) |
Вк = yh2nM 0s\.rii Ѳке l2<f>k, |
|
|
где M 0 = NyliS — намагниченность при |
О °К, |
а Ѳ* и фк — по |
лярный и азимутальный углы вектора к. |
|
Как видно из (8.5.38), при учете диноль-дипольного взаимодей |
ствия или анизотропии переход к операторам |
âk и âk (при Ѳк =f= |
=j=0) еще не приводит квадратичные члены гамильтониана к диа
гональному виду (8.5.3): члены с В к жВ к связывают между собой операторы âk и âk. Необходим еще один переход к некоторым опе
раторам ск и ск — третье преобразование Холыптейна — При макова, которое уже приведет гамильтониан (8.5.38) к диагональ
ному |
виду1). |
|
|
|
Пусть новые операторы ск и |
ск будут связаны с операторами |
âk и |
ак линейными соотношениями [231, |
3] |
|
|
ак = икск + ѵкс-к, |
ак = икск + |
ѵкс.к, |
(8.5.40) |
в которых ик и ѵк — неизвестные пока функции к и параметров гамильтониана. Для их определения имеются следующие усло вия.
1) Операторы ск и ск должны удовлетворять таким же" пере становочным соотношениям, как соотношения (8.5.24) для опера
торов ак и ак . Только при этом условии операторы ск и ск можно будет считать операторами рождения и уничтожения магнонов. Иными словами, преобразование (8.5.40) должно быть унитар ным.
2) В новых операторах гамильтониан (8.5.38) должен стать диа гональным:
Жг — UQ-f- вкскск. |
(8.5.41) |
к |
|
Можно убедиться, что преобразование (8.5.40) является уни тарным, если
Для того чтобы учесть требования, накладываемые на коэффициен ты ик и ѵк видом гамильтонианов (8.5.38) и (8.5.41), можно посту пить, например, следующим образом [3]. Запишем квантовомеха ническое уравнение движения [30] оператора âk (не зависящего
х) Общая теория преобразований, диагоналпзпрующих квадратичные гамильтонианы, была развита Боголюбовым (см. [23]).
448 |
С П И Н О В Ы Е в о л н ы |
[ Г Л . 8 |
явно |
от времени): |
|
|
|
Ч |
і |
(8.5.43) |
|
dt |
Tl I а * , # 2 ] , |
|
где квадратные скобки, как и в (8.5.24), обозначают коммутатор стоящих в них операторов. Вычисляя этот коммутатор с гамиль тонианом (8.5.38) с учетом перестановочных соотношений (8.5.24) и
переходя затем к операторам ск и с!к согласно (8.5.40), получим
[ de, |
= Ак { и к с к + v k c l k ) + B k (u k c t k + |
|
і% l U* H f + < |
VfcCk)-(8.5.44) |
|
Л |
Л , |
Запишем теперь уравнения движения операторов ск и с_к, при нимая гамильтониан в виде (8.5.41) и учитывая перестановочные соотношения для этих операторов. Принимая также во внимание, что ек — е_л, получим
Ч |
i |
- |
djtk |
— -hi - e Ä |
(8.5.45) |
~dT = |
X |
e*Cb |
dt |
Подставляя (8.5.45) в (8.5.44) и приравнивая коэффициенты при
операторах ск и ск в левой и правой частях полученного равен ства, мы придем к системе однородных линейных уравнений для
ик и ѵк. Равенство нулю ее определителя дает
гк ^ Ѵ А І - \ В к\\ |
(8.5.46) |
Л Л ,
Коэффициенты ик и ѵк, а следовательно, и операторы ск и ск могут быть легко определены из этой системы при дополнительном ус ловии (8.5.42).
Найденные таким образом операторы ск и ск (а не âk и âk) являются теперь операторами рождения и уничтожения магнонов. Величины А к и В к, как видно, например, из (8.5.39), явля ются функциями волнового вектора к, и выражение (8.5.46) пред ставляет собой дисперсионное соотношение длямагнонов. Опера тором числа магнонов является теперь
Без учета диполь-дипольного взаимодействия и анизотропии или для волн, распространяющихся вдоль постоянной намагни ченности, В к = 0 и выражение (8.5.46) переходит в (8.5.31). В этом случае ик = 1, = 0 и операторы ск и ск совпадают с опе
раторами âk и âk. Если же ограничиться длинноволновым приб лижением (8.5.33), то (при учете только диполь-дипольного вза имодействия)
Ак — yhH0+ r\hk2 + *(Ѣ2пМ0sin2 Qk |
(8.5.48) |
( 8 .5 J |
М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я |
М А Г Н О Н О В |
449 |
0?/с |
определяется согласно (8.5.39)) и |
выражение (8.5.46), |
как |
и следовало ожидать, совпадает с формулой (8.1.14), полученной классическим путем на континуальной модели.
Заметим, |
что если |
|
(8.5.49) |
то операторы |
и ск мало отличаются от операторов йк- и âk [20]. |
В этом случае, согласно (8.1.20), поляризация спиновых волн при ближается к круговой. Тогда приближенно выполняются простые соотношения (8.4.9) — (8.4.15), дающие связь чисел магнонов с со ставляющими намагниченности и магнитного момента образца.
|
|
|
|
|
|
Легко |
убедиться, что для обычных ферромагнетиков |
энергия |
I В К I ~ |
0,1 °К. |
Поэтому |
для тепловых магнонов, энергии кото |
рых при |
температуре Т |
будут, в основном, порядка к Г, вели |
чиной |
В }с можно |
всегда |
пренебречь при температурах, |
больших |
~ 1 °К. Однако для когерентных спиновых воли с не очень боль шими к пренебрежение В к допустимо лишь при достаточно силь ных постоянных магнитных полях.
Термодинамика ферромагнетика с учетом дискретности его структуры. Выясним теперь, как повлияет дискретность струк туры ферромагнетика на его термодинамические свойства, в ча стности, на температурную зависимость намагниченности, кото рая была рассчитана выше на континуальной модели (формула (8.4.28)). Результаты такого расчета зависят от трех факторов:
1)статистики, которой подчиняются элементарные возбуж
дения,
2)спектра элементарных возбуждений и
3)области к-пространства, по которой производится суммиро
вание состояний.
Посмотрим, как изменится влияние этих факторов при пере ходе от континуальной модели к дискретной. Как мы видели, магноны в дискретной — гейзенберговской модели в пределах при менимости спин-волновой теории являются (первый фактор), как и магноны в континуальной модели, бозе-частицами. Суммиро вание состояний (третий фактор), т. е. интегрирование в (8.4.25) должно теперь производиться, строго говоря, только по первой зоне Бриллюэна. Однако при достаточно низких температурах роль магнонов с большими к мала, и интегрирование в (8.4.25) можно по-прежнему производить по всему к-пространству (что, конечно, упрощает вычисления).
Что же касается второго фактора, то спектр магнонов для ди скретной модели, как мы видели, существенно отличается (кроме области малых ка) от спектра для континуальной модели. Рас смотрим, к какому изменению термодинамических характеристик ферромагнетика это приведет. Пренебрежем по-прежнему влиянием постоянного магнитного поля, диполь-дипольного взаимодействия
450 |
С П И Н О В Ы Е в о л н ы |
[ Г Л . 8 |
и анизотропии, рассмотрим для определенности простую кубическую решетку и ограничимся приближением ближайших соседей. Тогда спектр магнонов будет иметь вид (8.5.32). Подста вив его вместо спектра (8.4.26) в формулу (8.4.25), можно получить искомую зависимость М (Т) для дискретной модели. Вычисления оказываются при этом довольно громоздкими, и мы приведем окончательный результат (см., например, [244]):
М (0) - |
М (Г) = |
6Ѵ, ТѴз+ |
С чХ '1+ c v f /2+ • • • |
(8.5.50) |
Здесь коэффициент Су. |
совпадает |
с коэффициентом |
в формуле |
(8.4.28). В последующие коэффициенты, в отличие от |
С.Ѵг, войдет |
в возрастающих |
степенях (во второй — в СѴ„ в четвертой — в |
Су, и т. д.) постоянная решетки а. Таким образом, учет дискрет ности структуры ферромагнетика приводит к появлению членов с Ті/г, Т>- и т. д. в температурной зависимости спонтанной на магниченности. Аналогичные члены появятся и в температурной зависимости теплоемкости. Оценка показывает, что вклад этих
членов мал при |
тех температурах, при которых еще справед |
ливы основные допущения спин-волновой теории. |
Взаимодействие |
магнонов. Теперь следует остановиться на |
вопросе о принципиальных трудностях и ограничениях рассмот ренной спин-волновой теории Холыптейна — Примакова. Как уже отмечалось, основными допущениями этой теории (кроме вы бора модели) являются:
1) возможность замены радикалов в выражениях (8.5.8) на их
разложения в ряды по степеням â] âfl (2S);
2) возможность пренебрежения всеми членами третьей и более
высоких степеней по операторам â} и й,- в гамильтониане (к числу их относятся как члены (8.5.16), так и члены, которые появятся в результате учета более высоких степеней в разложениях (8.5.8)).
Второе допущение представляется довольно обоснованным при достаточно низких температурах. Действительно, высокие члены гамильтониана учитывают столкновения магнонов; при низких температурах, когда средние значения чисел магнонов малы, столкновения маловероятны и их влиянием на спектр можно пре небречь *). Конечно, эти рассуждения не являются строгими.
Первое допущение вызывает серьезные сомнения, в особенно сти при небольших значениях спина, когда собственные значения
операторов й/ âtl (2S) = üjt (2S) отнюдь не являются малыми. Выше уже отмечалось, что наличие радикалов в выражениях (8.5.8) обеспечивает то, что числа спиновых отклонений на каждом узле
Как мы увидим в следующей главе, столкновения магнонов, учиты ваемые высшими члепами гамильтониана, ответственны за процессы релак сации.
