Файл: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 243

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

438

С П И Н О В Ы Е в о л н ы

[ Г Л . 8

была развита в работе Хольштѳйна и Примакова [231] 1), кото­ рой мы будем в дальнейшем, в основном, следовать.

Допустим, что гамильтониан (8.5.1) удастся привести к виду

St = U0+ 2

(8.5.3)

К

где Uü — энергия основного состояния, щ — оператор, собствен­ ные знанения которого представляют собой целые числа /г,< = О, 1, 2, ..., а суммирование производится по всем допустимым значе­ ниям к. Это будет означать, что энергия (отсчитанная от UQ) яв­ ляется суммой энергий элементарных возбуждений, которые можно рассматривать как квазичастицы — магноны. Зависимость 8Лот к даст закон дисперсии квазичастиц, а возбужденное состоя­ ние системы будет однозначно характеризоваться числами пк — числами заполнений возбужденных состояний или числами магионов. Преобразование гейзенберговского гамильтониана к виду (8.5.3) и было приближенно осуществлено в работе [231] рядом последовательных переходов от одних операторов к другим — знаменитых преобразований Холыптейна — Примакова.

Переход к операторам рождения и уничтожения спиновых отклонений. Прежде всего перейдем от поперечных проекций спи­ нов к их циклическим комбинациям

S f = S f ± i S l

(8.5.4)

Тройки операторов Sf, S fv и S) или S}, SJ и S) связаны ус­ ловием сохранения длины вектора S/:

(S/)2+ Ф))г + ( Ш = У (SjSJ + SJS/) + (Sfr = S(S + 1). (8.5.5)

Поэтому целесообразно попытаться выразить их через пары опе­ раторов âf и âf. Потребуем, чтобы эрмитово-сопряженные опе­ раторы âf и of удовлетворяли перестановочным соотношениям

\âf, âp] = Л//.,

\âf, âr ] = 0,

[а/, âp] = 0,

(8.5.6)

где Д//', как и в (8.5.2),— символ Кронекера. Иными словами,

[âh â/j = 1,

(8.5.6')

а все остальные пары этих операторов коммутируют. Потребуем далее, чтобы

S/ = — S + âfâf.

(8.5.7)*)

*) В работе [231] было также впервые учтено влияние магнитного (дипольдипольного) взаимодействия на возбужденные состояния гейзенберговского ферромагнетика.

§ 8.5]

М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я М А Г Н О Н О В

439

Тогда, как можно убедиться, операторы âf и а/ должны быть свя­ заны с поперечными проекциями спинов соотношениями

Выражения (8.5.7) и (8.5.8) представляют собой первое преобра­ зование Холыптейна — Примакова.

Как известно из квантовой механики (см., например, [30]),

операторы й - и а), удовлетворяющие перестановочным соотноше­ ниям (8.5.6'), являются операторами, соответственно, уничтоже­ ния и рождения некоторых квазичастиц, подчиняющихся статис­ тике Бозе — Эйнштейна. Действуя на волновые функции системы в

представлении вторичного квантования (в котором волновые функции представляют собой совокупности чисел частиц в различ

ных состояниях), оператор âf увеличивает на 1 число частиц в состоянии /, а оператор âf — уменьшает это число на 1. Оператор

(8.5.9)

есть оператор числа частиц в состоянии /. Его собственные значе­ ния П[ — 0,1,2, ... представляют собой числа частиц в данном со­ стоянии. Для бозе-частиц числа ns не ограничены.

Из выражения (8.5.7) видно, что квазичастицами, операторами

рождения и уничтожения которых служат операторы а] и â}, являются спиновые отклонения на /-м узле, т. е. увеличения z- проекции спина в этом узле на 1. В представлении, к которому

мы перешли, введя операторы 5/ и âf, состояние ферромагнетика характеризуется числами отклонений nf на всех узлах. Посколь­ ку собственные значения z-проекций спинов не могут превышать ве­ личины S, числа спиновых отклонений

П[ sSC 2S.

(8.5.10)

Условие (8.5.10) отличает спиновые отклонения от обычных бозечастиц. Оно выделяет из всего пространства чисел отклонений разрешенную или, как говорят, «физическую» область. Заметим, что выполнение условия (8.5.10) автоматически обеспечивается выражениями (8.5.8), так как эти выражения имеют смысл только при выполнении (8.5.10).

Однако операторные соотношения (8.5.8) весьма сложны. По­ этому разложим входящие в них радикалы в ряды по степеням âfâf / (2S) и ограничимся первыми членами этих рядов, т.е. вме­ сто (8.5.8) примем

440

С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы

[ Г Л . 8

Основное предположение теории Холыптѳйна — Примакова со­ стоит в том, что указанная замена допустима при достаточно низ­ ких температурах, когда средние значения чисел спиновых откло­ нений

п, <^ 1.

(8.5.12)

Оправдание этого предположения содержится лишь в более стро­ гих теориях, например в теории Дайсона [233].

Пользуясь формулами (8.5.4), (8.5.11) и (8.5.7), введем новые операторы âj' и âf в гамильтониан (8.5.1). Учитывая соотноше­ ния коммутации (8.5.6), получим

 

 

 

 

+

$4,

(8.5.13)

где энергия основного состояния

 

 

 

и 0=

-

S 22

2

1,r - YÜS N H O,

(8.5.14)

 

 

 

t

г

 

 

 

 

 

(

W

)

 

(ІѴ — число спинов в единице

объема), квадратичные члены

 

= - 2S 2

2

Tir (âf âr - âl âf) + ГЙ#„ 2 âfâf,

(8.5.15)

 

t

r

 

 

f

 

а члены четвертого порядка

 

 

 

 

#4 =

- ^ l f t ' â t â f â p â , .

(8.5.16)

 

 

 

f

Г

 

 

 

 

(/?*/')

 

При низких температурах, когда выполняется условие (8.5.12),

членами

можно пренебречь с не меньшим основанием, чем выс­

шими членами в разложениях (8.5.8). Однако гамильтониан (8.5.15) не имеет диагонального вида (8.5.3) (этому мешают «смешанные» члены âf âf), т. е. состояния с локализованными на узлах спино­ выми отклонениями не являются (как уже отмечалось выше) соб­ ственными состояниями гейзенберговского гамильтониана.

Переход к операторам1 рождения и уничтожения магнонов. Для того чтобы привести гамильтониан (8.5.15) к диагональному виду (8.5.3), т. е. найти собственные возбужденные состояния гей­ зенберговского ферромагнетика, необходимо перейти от локали­ зованных на узлах операторов к коллективизированным — «раз­ мазанным» по всему кристаллу. Этот переход можно осуществить

при помощи фурье-преобразования операторов

â f ш âf

— второго

преобразования Холыптейна — Примакова:

 

 

1

ікті

1

~ікг/я+

(Я г; -І7\

е 'і

§ 8.5] М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я М А Р И О Н О В 441

Обратное преобразование имеет вид

 

- ік г

 

ik r / л+

(8.5.18)

 

'âf,

 

е

а/•

Здесь г/ — радиусы-векторы узлов

решетки

ферромагнетика, а

к — волновые векторы, т. е. радиусы-векторы

в к-пространстве.

Как известно, решетке с узлами іч соответствует в

к-простран-

ствѳ обратная решетка *) с узлами к„, так что

 

 

 

 

еікпгі =

1.

 

 

(8.5.19)

Вследствие соотношений

(8.5.19) волновые векторы

к в (8.5.17)

и (8.5.18) определяются

лишь с точностью до прибавления векто­

ров обратной решетки kn. Для того чтобы избавиться от этой неод­ нозначности, следует при суммировании в (8.5.17) ограничиться одной элементарной ячейкой обратной решетки. В качестве ее обычно выбирают первую зону Бриллюэна [30].

Как и при рассмотрении магнонов в континуальной модели, примем периодические граничные условия на поверхностях па­ раллелепипеда с объемом V = Іх1212■Тогда допустимые значения к будут по-прежнему определяться условиями (8.4.7), т. е. обра­ зовывать в к-пространстве решетку с периодами 2п!1г, 2п/12 и 2Jt/Zg (рис. 8.5.1). Однако теперь, в отличие от^континуальной мо­ дели, при суммировании по узлам этой решетки мы должны ограни­ читься объемом первой зоны Бриллюэна. Число узлов решетки допустимых значений к в элементарной ячейке обратной решет­ ки, в частности, в первой зоне Бриллюэна равно числу узлов пря­ мой решетки в объеме периодичности V [30]. И если выбрать па­ раллелепипед периодичности так, чтобы его объем был равен объ­ ему рассматриваемого кристалла, то число членов в (8.5.17) будет равно числу N узлов в кристалле. В частности, если прямая ре­

шетка — простая кубическая с постоянной а, то

 

N

(8.5.20)

В дальнейшем (как и раньше) мы будем считать Ж оператором плотности энергии, так что объем периодичности будет кубом с ребром 1 см, а N — числом спинов в 1 с м 3 ( N = 1/а3).

Легко проверить, что выражения (8.5.17) и (8.5.18) являются следствием друг друга с учетом соотношения «ортогональности»

-fir 2

е*(k~k,) Г/ =

Д (к — к'),

(8.5.21)

t

 

 

 

 

_ і _ 2

* (ГГ ГГ ) =

д ^

^

( 8 . 5 . 2 2 )

*) Свойства обратной решетки хорошо изложены, например, в [32] (см. также [34]).

Смотрите также файлы