Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

NOTES

ON COBORDISM THEORY

by

Robert E. Stong

Princeton U niversity Press

and the University of Tokyo Press Princeton, New Jersey 1968

ПРЕДИСЛОВИЕ

ПЕРЕВОДЧИКА

Фундаментальные вопросы топологии — классификация глад­ ких многообразий, реализация циклов данного многообразия подмногообразиями — привели к возникновению понятия кобордизма. Коротко говоря, два замкнутых многообразия называются кобордантными, если их несвязное объединение является грани­ цей некоторого многообразия.

Важнейшим свойством кобордизма является то, что характе­ ристические числа кобордантных многообразий равны. Это позво­ ляет в ряде задач топологии, анализа и алгебраической геометрии сводить вопросы, относящиеся к произвольному многообразию, к вопросам, относящимся к его классу кобордизма. Например, доказательство теоремы Римана — Роха, данное Ф. Хирцебрухом, и первое доказательство теоремы М. Атья и И. Зингера об индексе эллиптических операторов оказались возможными во многом благодаря замечательной теореме Тома о том, что несвязное объединение некоторого числа экземпляров любого гладкого ориентированного многообразия либо является границей некото­ рого ориентированного многообразия, либо кобордантно объеди­ нению многообразий, представляющих собой произведение ком­ плексных проективных пространств.

Используя понятие кобордизма многообразий, можно ввести группу бордизмов клеточных комплексов и построить так назы­ ваемые теории бордизмов и двойственные к ним теории кобордизмов. Среди наиболее сильных результатов, полученных с по­ мощью теорий кобордизмов, отметим решение Сулливаном одной из классических проблем топологии, известной под названием «Hauptvermutung», и результаты Коннера и Флойда [3] по теории неподвижных точек периодических преобразований гладких мно­ гообразий.

В теории бордизмов и кобордизмов в настоящее время накоп­ лено большое количество результатов и методов, имеющих фунда­ ментальное значение для алгебраической топологии. Например, знаменитая спектрдльная последовательность Адамса, созданная для вычисления гомотопических групп сфер, оказалась действен­ ным средством в гомотопических задачах теории кобордизмов, а именно в задачах вычисления гомотопических групп так назы­ ваемых пространств Тома. В связи с этим уже давно назрела необходимость в учебнике по теории кобордизмов.

Предлагаемая читателю книга Стонга является по существу первым в мировой литературе учебником по теории кобордизмов. Книга представляет собой обработанные записи курса лекций, рассчитанного на слушателей, уже владеющих основными мето­ дами алгебраической топологии, например, в объеме книги Ху Сы-цзяна «Гомотопическая топология». Это позволяет авто­ ру опускать технически стандартные детали рассуждений, не затемняя ими основные идеи. Конечно, за это читателю придется «платить» намного большей, чем обычно, самостоятельной ра­ ботой.

Опираясь на известную теорему Понтрягина — Тома о го­ мотопической интерпретации классификационных задач теории кобордизмов, автор излагает решение этих задач методами гомо­ топической топологии.

В книге приведены подробные доказательства результатов гомологической алгебры, на которых основано описание струк­ туры колец когомологий пространств Тома как модулей над алгеброй Стинрода. Отметим, что, не желая, по-видимому, увели­ чивать объем книги, автор не выделил эти результаты в само­ стоятельную главу. Поэтому, хотя формально в каждой из послед­ них восьми глав излагается решение отдельной классификацион­ ной задачи теории кобордизмов, эти главы сложным образом переплетаются. Особого внимания заслуживает глава IV, в кото­ рой дана сводка результатов и обзор практически всех известных в настоящее время ситуаций, в которых возникают группы кобор­ дизмов.

Теории кобордизмов, построенные на классах гладких много­ образий, обладают большой геометричностью, что выгодно отли­ чает их от классических теорий гомологий и когомологий. Напри­

мер, в теории кобордизмов такое фундаментальное понятие, как двойственность Пуанкаре, в геометрической интерпретации высту­ пает на уровне тавтологии. Особенно большое внимание к геомет­ рическому содержанию теории кобордизмов было привлечено после выхода работы С. П. Новикова [6], во введении к которой говорится: «В процессе работы автору пришлось столкнуться с целым рядом новых и весьма заманчивых алгебраических и топо­ логических ситуаций, аналоги которых в классическом случае либо полностью отсутствуют, либо сильно вырождаются; многие из них пока глубоко не рассмотрены. Все это позволяет высказать надежду на перспективность этого круга идей и методов как

ческих связей и понятий».

Эта надежда в настоящее время превратилась в реальность, о чем свидетельствует, например, недавняя работа Квиллена [1], в которой дан новый метод вычисления кольца кобордизмов квазикомплексных многообразий методами собственно теории кобордизмов, основанный на открытой С. П. Новиковым и А. С. Ми­ щенко связи геометрии' теории кобордизмов с алгеброй теории формальных групп Ли.

Только в последнее время выявилась также тесная связь теории кобордизмов с алгебраической геометрией. Результат Милнора — Хирцебруха о том, что в классе кобордизмов любого квазикомплексного многообразия содернштся неособое проектив­ ное алгебраическое многообразие (см. гл. VII), получил объясне­ ние только благодаря формальной группе геометрических кобор­ дизмов. Результат о том, что все соотношения между числами Чжэня квазикомплексных многообразий следуют из теоремы Римана — Роха в форме Атья —Хирцебруха (см. гл. VII), также объясняется только благодаря этой формальной группе.

В русский перевод не включены два дополнения автора, в кото­ рых дан обзор элементарных фактов дифференциального исчисле­ ния и теории гладких многообразий, так как на русском языке существует достаточное число пособий по этому вопросу. Вместо этого помещено добавление переводчика, в котором излагаются новые методы теории кобордизмов.

В заключение отметим, что само понятие кобордизма как отно­ шения эквивалентности не является специфическим для теории многообразий, а имеет более широкое общематематическое значе­ ние. Мы надеемся, что перевод книги Стонга не только поможет начинающим топологам быстро войти в круг идей и методов этого современного раздела топологии, но и привлечет внимание к кобордизмам в широких кругах математиков.

В. М. Бухштабер

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ

АВТОРА

Эти заметки возникли в связи с курсом лекций для студентов старших курсов по теории кобордизмов, который я прочел по пред­ ложению Принстонского университета.

Несмотря на то что понятия кобордизма встречаются в самой ранней литературе по алгебраической топологии, до работы Тома 1954 г. было получено только небольшое число разрозненных результатов. С 1954 г. развитие этой области алгебраической топологии пошло удивительно быстрыми темпами, но по-прежнему имело вид не связанных единой темой публикаций. То обстоя­ тельство, что кобордизм представляет собой средство классифи­ кации, в определенной степени способствовало тому, что в основ­ ном изучались конкретные приложения и практически не разви­ валась собственно теория кобордизмов. В частности, до сих пор не было полного изложения фундаментальных результатов теории кобордизмов, и я надеюсь, что предлагаемые заметки смогут восполнить этот пробел.

Рассчитывая на подготовленного и способного к самостоятель­ ной исследовательской работе читателя, я не пытаюсь ограни­ читься здесь лишь элементарными идеями. В частности, предпо­ лагается, что читатель достаточно глубоко знает алгебраическую топологию, и поэтому теория кобордизмов рассматривается здесь как раздел приложений топологии. Отметим, что во многих слу­ чаях развитие теории происходило не таким образом, ибо идеи, навеянные кобордизмами, зачастую приводили к новым методам

всамой топологии.

Влекциях указаны основные источники большинства исполь­ зуемых идей. Но хотя изложение тщательно следует ведущим идеям этих источников, детали часто очень сильно изменены. Поэтому читателю может быть полезно обратиться к оригиналь­ ным статьям для знакомства с другими методами, которые также используются в теории кобордизмов. Например, спектральная последовательность Адамса, ставшая мощным вычислительным средством, позволившим определить некоторые группы кобордиз­ мов и облегчившим вычисления групп кобордизмов малых раз­

мерностей, совсем не используется здесь *).

В Тем ие менее читатель, знакомый со спектральной последователь­ ностью Адамса, встретится здесь с ее основными идеями. Мы рекомендуем сопоставить методы главы VII с методами работы Новикова [2].— Прим, перев.

Многие изложенные идеи принадлежат к типу «хорошо изве­ стных работающим в этой области, но неопубликованных»; несколь­ ко идей принадлежат лично мне.

Изложение построено в соответствии с моими собственными вкусами и в общих чертах может быть описано следующим обра­ зом. В теории кобордизмов существуют три центральные идеи:

1)определение групп кобордизмов,

2)сведение к гомотопической задаче,

3)установление инвариантов кобордизмов.

Этот материал охватывается в первых трех главах. Далее чи­ тателю придется погрузиться в специфику конкретных кобор­ дизмов. В четвертой главе приведен обзор литературы, а в ос­ тальных главах подробно рассмотрены наиболее важные конкрет­ ные примеры кобордизмов.

Я обязан многим за то, что они склонили меня к этой работе и развивали мои идеи в этом направлении. Особенно я благода­ рен Г. Брамфилу, П. Ландвеберу и Л. Смиту за многочислен­ ные советы при подготовке этих записей. Я обязан Принстон­ скому университету и Национальному научному фонду за фи­ нансовую поддержку.

Р. Стонг

ГЛАВА I ВВЕДЕНИЕ. КАТЕГОРИИ К0Б0РДИЗМ А

Для того чтобы указать место основного понятия теории кобордизмов в математической перспективе, напомним, что дифферен­ циальная топология занимается изучением категории гладких многообразий и дифференцируемых отображений главным образом относительно категории всех топологических пространств и их непрерывных отображений. В несколько менее научных терминах дифференциальная топология — это изучение гладких многооб­ разий специалистами по топологии всеми доступными им мето­ дами. Характерным является то, что при этом не приходится исследовать такие структуры, как, например, римановы метрики или связности, что отличает дифференциальную топологию от диф­ ференциальной геометрии.

Понятно, что основным вопросом здесь является классифи­ кация объектов с точностью до изоморфизма и определение эффек­ тивных и вычислимых инвариантов, различающих классы изомор­ физма. В случае категории гладких многообразий эта задача не разрешима, так как для любой конечно представленной группы S можно построить четырехмерное многообразие М (S ) с фунда­ ментальной группой S таким образом, что многообразия М (S) и М (Т) будут гомеоморфны тогда и только тогда, когда группы

образом, основываясь на отношении эквивалентности значительно более слабом, чем изоморфизм.

Говоря кратко, два многообразия без границы называются «кобордантными», если их несвязное объединение является гра­ ницей некоторого многообразия. Следует отметить, что каждое

рбычно ограничиваются рассмотрением только компактных мно­ гообразий.

Впервые описание этого отношения эквивалентности много­ образий встречается в работе Пуанкаре [1, § 5]. Его идея гомо­ логий фактически совпадает с современной идеей кобордизмов.