ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 103
Скачиваний: 0
Если |
0 — начальный |
объект |
категории |
%, то |
постоянный |
||
функтор |
Ф: SI |
А |
0 |
является начальным |
объектом |
||
категории |
Fun (21, Щ. Пусть |
F, |
G: 21 -*■ сё |
— некоторые функ |
|||
торы; определим |
функтор |
Н : 21 |
<в, полагая для любого А 6 21 |
||||
объект Н (Л) равным сумме объектов F (.А) и G (Л). Пусть (jF)A =
= |
Р (-4) “*■Н (П) |
и (J'G ) A |
= 7G(A): G (И) |
H (4) — мор |
физмы, |
представляющие |
объект |
Н (А) в виде |
суммы F (4) + |
+ G фі). Тогда ]р и jG определяют естественные преобразования,
представляющие |
функтор И |
в виде суммы функторов F и G. |
|||
Определим |
функтор |
д: Fun (21, Чё) ->■ Fun (21, Щ, положив |
|||
д (F) = д о F: К->• dF (X). |
Положив ip:d o F ^ -F , определим есте |
||||
ственное |
преобразование |
і: д |
1, значение которого на любом |
||
объекте |
А категории 21 |
есть |
iF(A): д (F (А)) |
F (А). |
|
Тогда тройка (Fun (21, %), |
д, і) является категорией кобор |
дизма. |
|
З а м е ч а н и е . Многие |
стандартные примеры категорий |
кобордизма можно описать при помощи второй конструкции.
Пусть |
|
21 |
— категория, состоящая из одного объекта А, морфизмы |
|||||
которого |
образуют конечную группу G = Мар (А, А). Функтор |
|||||||
F: 21 |
->- 3) задается выбором многообразия X |
= F (А) и гомомор |
||||||
физма |
G — Мар (X , X). Так как группа G конечна, то индуциро |
|||||||
ванное |
отображение G X X -»- X представляет собой гладкое дей |
|||||||
ствие |
группы G на многообразии X. Таким образом, полугруппа |
|||||||
Q(Fun |
(21, 3 ), |
д, і) изоморфна |
группе |
неориентированных |
||||
кобордизмов |
действий группы G на гладких |
многообразиях без |
||||||
ограничения |
на |
стационарные |
подгруппы |
точек (см. Коннер |
||||
и Флойд |
[3], |
§ |
21). |
|
|
|||
Относительные |
кобордизмы |
|
|
|||||
Для |
|
изучения связи между двумя категориями кобордизма |
||||||
удобно |
иметь полугруппу «относительных кобордизмов». В гео |
|||||||
метрической ситуации это становится возможным благодаря тому, что, объединяя два многообразия с общей границей вдоль этой границы, мы получаем замкнутое многообразие. В категорной ситуации существует способ заменять пару объектов с общей гра ницей некоторой парой замкнутых объектов. Для этого нам потре буется идея конструкции группы Гротендика.
Напомним, что для каждой категории SF с конечными сумма ми, совокупность классов изоморфных объектов которой образует множество, можно следующим образом определить группу Гро тендика К {3) категории FU. Рассмотрим совокупность пар (X, X') объектов категории SÜ. Пара (X , X') называется эквивалентной
паре (К, У ), если существует объект А |
(Е-2Г, такрйу'что-Х ^ |
2— 01024 |
' ос. п'гбпмчна*?г |
учно-техніічоскал |
|
|
биолио.юка С СС Р |
ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНОГО З А Л А
+ А SË X' + У + A. Множество классов эквивалентности нар (X, X') объектов категории Я ’ вместе с операцией, индуцирован ной суммой объектов в Я \ является абелевой группой и называет
ся группой Гротендика К (Я~) категории Я’. |
|
коборднзма, |
|||||||
Пусть |
(î?, |
д, і) и {%’, д', |
і') |
— две категории |
|||||
F: T -V H-' |
— |
аддитивный функтор |
и t: d'F ^ |
Fd — естественная |
|||||
эквивалентность аддитивных функторов, такая, что |
для |
любого |
|||||||
А 6 Т коммутативна следующая |
диаграмма: |
|
|
|
|||||
|
|
d'F (А) |
|
|
F (ЗА) |
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
/ . |
|
|
|
|
|
|
lF{ А ) \ |
|
|
С'-У |
|
|
|
|
|
|
F |
( |
А ) |
|
|
|
|
|
Рассмотрим категорию if/5, объектами |
которой |
являются |
тройки |
||||||
(X , Y, /), где X в ??', Y б (Г, объект Y |
замкнут и/: д'Х |
FY — |
|||||||
изоморфизм. Множеством морфизмов Map ((AT, У, /), (X ' , У', /'))
объектов (X, У. /) и (X', У', /') |
является множество пар мор |
физмов (ср, ф) 6 Map (X, X') X Мар |
(У, У'), таких, что диаграмма |
д'Х |
FY |
Ѳ '(р |
Гф |
/' |
ХУ' |
<9'Х' |
коммутативна. Тогда в категории & определена конечная сумма объектов и имеется малая подкатегория сР0== {(X, У, /), X 6
У G |
|
такая, что каждый объект |
из еР |
изоморфен некоторому |
||
объекту |
из |
cPо- |
сУ пар |
(х , У), а; = (X, У, /), |
||
Рассмотрим теперь совокупность |
||||||
У = |
(X', |
У', /'), объектов из категории |
таких, |
что У ^ У'. |
||
Пара |
(а;, |
У) |
называется эквивалентной паре (г/, г/') |
(обозначение |
||
(,X, У) ~ (г/, у')), если существуют объекты и и к в категории ёТ, такие, что х + и = у + ѵ и У + и = ÿ' + к. Множество классов эквивалентности <ÿ7(~) образует тогда абелеву группу относи тельно операции, индуцированной суммой объектов в категории f/5.
Существует гомоморфизм
ß: X г а - ^ / ( ~ ) ,
переводящий пару (X, Х ')впару((Х , 0 ,/) , (X', 0 ,/')), где '(féi — подкатегория замкнутых объектов в %', 0 —начальный объект
в?? и ;, /' — единственные изоморфизмы начальных объектов. Если существует гомоморфизм
а: Л ( ~ ) X га/(<?;Х («') + Х*Х («с1)),
композиция которого с гомоморфизмом ß совпадает с факторгомоморфизмом группы К ('ë'éi), то можно определить полугруппу относительных кобордизмов следующим образом.
Объекты (X, Y, /) и (X Y' , /') категории SP называются кобордаитными (обозначение (X, Y, /) = (X', Y ', /')), если существуют объекты U и U' категории '<?, такие, что Y + dU si Y ' -f- d û ' и
a{(X + FU, Y + d U , |
f+ tU ), (X ’ + F U Y ' + dU', f + tU')) = 0. |
||
Используя тот факт, что a — гомоморфизм, легко проверить, |
|||
что это отношение |
= является отношением |
эквивалентности. |
|
Полугруппой относительных кобордизмов Q (F, |
t, а) |
называется |
|
множество классов |
эквивалентности относительио = |
объектов |
|
категории Н вместе с операцией, индуцированной суммой объек тов в аР.
Имеют место гомоморфизмы
такие, что треугольник |
|
щ г , |
д \ ï) |
/ |
|
, / х |
|
как легко видеть, имеет период 2 (т. |
е. ді = iF* = F^d = 0). |
Для того чтобы выяснить связь между гомоморфизмом а и со единением двух многообразий вдоль их общей границы, рассмотрим объекты (X, Y, /) категории бРкак многообразия, на границе кото рых фиксирована некоторая дополнительная структура. Для
пары ((X, |
Y, /), (X', |
Y ', /')) |
6 6Р выберем изоморфизм g: Y Y ' |
||
и обозначим через а |
(х, |
х’) |
класс эквивалентности многообразия |
||
XU а (— X'), где |
—X' |
есть многообразие X' с противоположной |
|||
структурой |
(т. е. |
с |
противоположной ориентацией) и границы |
||
многообразий X и X' |
отождествлены при помощи отображения |
||||
k = / ' -1 F (g)f. Этот класс не зависит от выбора изоморфизма g, ибо если g' —другой изоморфизм, то мы дюжем приклеить дптого-
образие X ' X / к (XUA ( - Х ')) X /L |[± (X (JA- (— X'))] X I, так. что разность двух представителей будет кобордантна многообра
зию XU л" ( — X), |
где к" = |
/ -1 F (g“V ) /• |
Отождествляя в X X / |
||||
подімногообразпя |
дХ X 0 |
и |
дХ X 1 |
при |
подіощи |
отображения |
|
/с", |
діы получаеді |
кобордизді |
между |
многообразиеді |
X (Jft' С— X) |
||
и |
многообразием |
дХ X /, |
|
у которого отождествлены дХ X 0 |
|||
ri дХ X 1 при помощи отображения к". Используя отображение
/: дХ —>- FY, |
можно построить |
изоморфизм |
между последним |
|
многообразием |
и образом при F многообразия Y X |
I, у которого |
||
отождествлены |
подмногообразия |
Y X 0 и Y |
X 1 |
при помощи |
отображения g~rg' . Следовательно, а (х , х') не зависит от выбора отображения g.
Используя указанный выше гомоморфизм а, предположим, что
(X , Y, /) = |
Y |
(X', Y \ |
/'). Можно |
найти такой |
кобордизм V мно |
||||||||
гообразий |
и Y ' , дѴ = Y — Y ', |
что |
многообразие |
Z|J |
( — F) U |
||||||||
[J ( — X') |
кобордантно |
замкнутому |
многообразию |
D |
с допол |
||||||||
нительной |
структурой. |
Тогда |
можно найти |
и |
кобордизм |
U = |
|||||||
= V + D, |
dU = Y |
— |
F ', |
многообразий |
Y |
Y ' , такой, |
что |
||||||
многообразие |
X[J ( — E/)U( — X') |
является |
граничным. |
Но |
это |
||||||||
есть обычное геометрическое описание |
кобордизма многообразий |
||||||||||||
с границей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Пусть |
Ч£ — подкатегория |
категории |
4S', |
|||||||||
состоящая только из начальных объектов, и пусть F — вложение. Тогда гомоморфизм ß является эпиморфизмом и однозначно опре деляет гомоморфизм а. Полугруппа относительных кобордизмов совпадает в этом случае с полугруппой кобордизмов категории ÎT.