ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
С л е д с т в и е (Квиллен [1]). Пустъ X — связный конечный клеточный комплекс. Если X может бытъ вложен в квазикомплекс ное многообразие М размерности т, то 0,и-модулъ U,t (X ) порож ден элементами размерности не больше т и даже строго мень ше т, если многообразие М не компактно. В частности, размер ность образующих Qa-модуля £7* (X ) не больше, чем 2 dim X.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Регулярная замкнутая окрестностькомплекса X в квазикомплексиом многообразии М является квазпкомплексным многообразием N (см., например, Спивак [1]). Так как N гомотоннческн эквивалентно X, то £7* (X) si £7* (N). По двойственности Пуанкаре — Лефшеца (см. стр. 44) имеет место изоморфизм Qu-модулей £7* (N ) SÉ £7m_* (N, dN). По теореме 6.6 размерность образующих Qu-модуля £7* (N, dN) неотрицательна и даже строго больше нуля, если комплекс N/dN связей. Сопостав ляя эти факты, получаем доказательство первой части следствия. (Заметим, что если многообразие М не компактно, то комплекс N/dN связен.) Для любого комплекса X, как известно, в качестве
М можно взять евклидово пространство /?2Г+1, где |
г = dim X. |
||
Следовательно, |
размерность |
образующих Qu-модуля £7„ (X) |
|
не может быть больше 2г. я |
|
|
|
§ 7. Неориентированные коборднзмы |
|
||
Кольцо Q0 является Ж2-модулем, а формальная |
группа гео |
||
метрических неориентированных кобордпзмов F (х, у) удовлетво |
|||
ряет условию F |
(х, х) = 0 (см. § |
3). |
|
Рассмотрим гомоморфизм %: А 2—>- Q0, такой, что %[F2\ (х, у) = = F (х, у), где F2 (х , у) — формальная группа над кольцом А 2, универсальная для формальных групп F (х, у), удовлетворяющих
условию F (х, х) |
= 0 (см. |
§ |
1). |
О с н о в н а я |
т е о р е м а |
(Квиллен [1*]). 1) Гомоморфизм % |
|
является изоморфизмом. |
|
|
|
2) Пустъ g2 (X) — логарифм формальной группы А 2 и ф2 (х) — |
|||
такой ряд, что |
g2 (ф2 (а;)) |
= |
х. Тогда мультипликативное пре |
образование |
ф2: О* ( |
) -»- Н* ( ; А 2), |
|
|
|||
значение которого на каноническом образующем IOJ Ç О1 (RP°°) задается рядом ф2 (х), является изоморфизмом для всех конечных клеточных комплексов.
Доказательство утверждения 1) практически дословно повто ряет доказательство следствия 6.10.
Вывод формулы для степеней Стинрода в 0*-теории проще, чем в комплексном случае, и опирается на то, что для вещественно-
го векторного расслоения £ - у Y отображение Т \ — (RP2n+1 U *)Д
/\Т \ -+■ Т^2 (га) (см. § 5) |
разлагается в |
композицию ТІ, ->• |
|
-у T (d*lz (п)) - у Т \г (га), |
где расслоение |
(га) |
i?P2,l+1 х F |
изоморфно расслоению £ + |
Z® £. Использование |
степеней Стин- |
|
рода в О*-теории для доказательства эпиморфности отображения %
по схеме, данной в § 6, опирается на то, что для |
любого конечного |
|
комплекса X имеет |
место изоморфизм |
О* (RPn X I ) s |
ЗЁ О* (X) [ш1]/ш[1+1 = 0. |
(Доказательство этого изоморфизма — |
|
простое следствие ТіЗО-ориентируемости вещественных расслое ний и не использует информации об алгебраической структуре
кольца Йо-)
Формальная группа F2 (х , у) над кольцом А 2 сильно изоморфна
группе X + у . Поэтому, |
согласно теореме 3.2, |
из существования |
||||
мультипликативного преобразования t : |
О * |
( ) |
- у Н* ( ; Z2) сле |
|||
дует |
существование |
мультипликативного |
преобразования |
|||
ф2: О* ( ) —у Н* ( ; |
Az), |
описанного в |
формулировке теоремы. |
|||
Таким |
образом, |
%[F2\ (х, у) = F (х, |
у) |
и |
ф2,* [X] (х, у) = |
|
= F2 (X, у). Следовательно, гомоморфизм я[)2,*х совпадает с тож дественным отображением, и из эпиморфности гомоморфизма %
следует, что %— изоморфизм. Отождествляя |
кольца А 2 и Йо, |
получаем, что преобразование ф2 дляХ=точка |
является изомор |
физмом, следовательно, это преобразование является изоморфиз мом для всех конечных клеточных комплексов, в
В качестве следствия теоремы получим новое доказательство теоремы Милнора [11] (зм. стр. 132).
С л е д с т в и е . Кольцо im (йу —у й0) совпадает с подколъцом в й 0, порожденным квадратами элементов.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим мультипликативное пре образование ѵ: U* ( ) -у О* ( ), соответствующее Т В О -ориента ции комплексных расслоений. Как показано в параграфе «Соот
ношения между полями», для канонического расслоения I -> RP°° имеет место формула ѵсг (cl) = wL(Z)2, где с — гомоморфизм комплексификации. Пусть
F (х, |
у) = X + |
У + |
2«;. я У |
€ &и [(s, |
Ï/Î1 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
F' |
(х, |
у) = X + |
у + |
2«î. і^ У |
€ й0 [[х, |
г/]] |
|
—• формальные |
группы геометрических |
кобордизмов в |
U*- и |
||||
0*-теориях |
соответственно. Для расслоения lx ® Z2 |
RP00 х |
|||||
X RP°° выполняются следующие равенства: |
|
||||||
Сі (с {k ® |
ZJ) |
— сі (сZi ® с |
cZ2) = Cj. (cZj) -f |
Ci (ci2) + |
|||
|
|
|
|
+ |
л |
|
ci (сг^ |
V (CiC (Zi® Z2))= |
Wi (Zi ® Z2)2= |
ги,(Zj)2 I-U>1 (Z2)2+ y, |
{U)11 Wi (Z2)23' |
||||
■vF(ci (cZi), |
ci (cZ2)) = V* [F] (vc, (cZj), |
vc, (cZ2)) - |
|
|
|||
|
|
= Щ (h)2 + w>i |
(Z2) 4 - |
S |
v (o .i, j) Ші (Zj)2i u?j (Z2)2L |
||
Такны образом, v (a;, ;-) = ajfj. Используя теперь тот факт, что элементы а;, и a'it ,• порождают кольца п Q0 соответственно, получаем доказательство следствия, н
ЛИТЕРАТУРА
Адамс (Adams J. F.)
[11 Quillen’s work on formal group law and complex cobordisra, University of Chicago, Lecture Notes Ser., 1970.
Броккер, Дик (Brocher T., Dieck T.)
[1] Kobordismentheorie, Berlin, Springer, 1970.
Бухштабер B. M.
[1]Характер Чжэня — Дольда в кобордпзмах, 1, Машем, сб. 83 (125)
(1970), 575—595.
[2]Классификация двузначных формальных групп, УМП, 28, вып. 3
(1973), 173— 174.
Бухгатабер В. М., Новиков С. П.
[1]Формальные группы, степенные системы п операторы Адамса, Машем, сб., 84 (126) (1971), 116-153.
Бухштабер В. М., Мищенко А. С., Новиков С. П.
[1]Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической тополо гии, У М Н , 26, вып. 2 (158) (1971), 131—154.
Днк (Dieck Т.)
[1]Steenrod-Operationen in Kobordism-Theorien, Math. Z., 107 (1968),
380-401.
Каруби (Karoubi M.)
[1]Cobordisme et groupes formels (d’apres D. Quillen et T. tom Dieck), Lect. Notes Math., 1973, 317, 141 —165.
Квиллен (Quillen D.)
[1]On the formal group law of unoriented and complex cobordism theory, Bull. Amer. Math. Soc., 75:6 (1969), 1293 —1298.
Копиер, Смит (Conner P. Е., Smith L.)
[1]On the complex bordism of finite complexes, I.1I.E.S. Journal of Mathematics, 37 (1969), 117—221.
Лазар (Lazard M.)
[1]Sur les groupes de Lie formels à un paramètre, Bull. Soc. Math. Fran ce, 83 (1955), 251—274.
Хонда (Honda .)
[1]Formal groups and zeta-l'unctions, Osaka Journal of Math., 5, № 2 (1968), 199—213. [Перевод в сб. Математика, 13:6 (1969), 3—17.)