ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 0
Теория дифракции |
107 |
риала по отношению к падающей волне, налагаются усло вия В ----- 0 и А = А а при z --- —d. Амплитудные коэффи циенты в этом случае имеют вид
|
Ст -|-а; |
, |
|
(2.7.25) |
|
|
л ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
Ь = |
0+ + а< |
А |
и |
(2.7.26) |
|
СГ_— 0+ |
|
||
Дальнейшее рассмотрение дифракции Брэгга проведем для реальной фазовой решетки, а также для решетки, образованной периодическими слоями с потерями. В обоих случаях необходимо различать рассеяние вперед и назад.
Если периодические изменения показателя преломле ния имеют вещественные значения (фазовая решетка), то потери пренебрежимо малы и можно положить
а г = а8 = 0. |
(2.7.27) |
Из формулы (2.7.20) в этом случае получим |
|
о±= ± гр (случай прохождения), |
(2.7.28) |
где |
|
р = - 7М = . |
(2.7.29) |
V " iz »vsz |
|
Для случая прохождения (рассеянная волна возникает иа противоположной стороне слоя рассеивающего матери ала) из соотношений (2.7.21), (2.7.22), (2.7.25) и (2.7.26)
имеем
A (z) = |
/l0 cos р (z-j-d) |
для |
—d ^ z ^ d , |
(2.7.30) |
|
В (z)— — i ] |
/ ^ |
Ай$т р {z,-\-d) |
для |
—d^.z^Z.d. |
(2.7.31) |
г |
ksz |
|
|
|
|
Этот результат ясно показывает, как периодически проис ходит обмен мощностью между двумя волновыми процес сами. Если
2pd=(2ra+l)-J-, л = 0, 1, 2, .... |
(2.7.32) |
то вся мощность падающей волны переходит к рассеянной волне. Таким образом, мы получили результат, который не могли вывести из теории возмущений: дифракция Брэг
108 |
Глава 2 |
га может иметь '100%-ыую эффективность. Количество пере данной мощности зависит от силы связи и толщины слоя материала. При 2pd<^ 1 получаем
|
В (d)= - |
2id |
|
р40= - f |
A0cl. |
(2.7.33) |
|
Тогда |
амплитуда |
при |
z |
— cl |
согласуется с результатом |
||
(2.6.28), полученным |
методом |
теории |
возмущений. |
||||
В |
случае отражения |
(рассеянная |
волна |
возникает |
|||
на той же стороне, что и падающая волна), падающая и рас сеянная волны движутся в противоположных направлени ях. Это означает, что z-компонеиты их волновых векторов имеют противоположные знаки, т. е.
kizksz < 0 . |
(2.7.34) |
Параметр р в (2.7.29) теперь мнимый и удобнее написать
ст±= ± |р |. |
(2.7.35) |
Амплитуды поля находятся снова из соотношений (2.7.21) н (2.7.22). В этом случае с помощью формул (2.7.23) и (2.7.24) находим
^(г) = С11с{1Р21|(р | / )^о |
при |
— cZ<z<d (2.7.36) |
||
в а ) = ь / \ |
1 |
sh | р | (z— d) |
A0 при |
— d ^ z ^ d . (2.7.37) |
ch 2 | p |d |
||||
Для случая 2 |
| p | |
1 из формулы (2.7.37) при В (— d) |
||
получаем тот же результат (2.6.28), что и из теории возму щений. Следует отметить интересное различие между слу чаями отражения п прохождения воли. В случае прохож дения мощпость может осциллировать, т. е. переходить от одной волны к другой периодически. Полная передача мощности возможна при надлежащем выборе толщины рассеивающего материала. В случае отражения осцилля ции мощности между волнами отсутствуют. Полная пере дача мощности от падающей волны к рассеянной возможна, если рассеивающее вещество имеет достаточно большую толщину. Дальнейшее увелпчеппе толщины пе приводит к заметным дополнительным эффектам. Точный выбор толщины рассеивающего вещества в этом случае ие крити-
Теория дифракции |
109 |
чей. Если материал имеет достаточную толщину, всегда будет иметь место полная нередача мощности. Примером такого случая являются многослойные диэлектрические зеркала. В случае прохождения волны необходимо очень точно подбирать толщину материала, чтобы получить пол ное прохождение энергии.
Далее рассмотрим случай рассеивающего вещества с периодическими вариациями потерь (амплитудную ре шетку). Мы не можем теперь считать, что постоянная часть диэлектрических потерь обращается в нуль, посколь ку, для того чтобы в веществе не было усиления волны, мнимая часть показателя преломления (2.6.1) не должна становиться положительной.
Необходимо потребовать, чтобы |
|
|
|
/гг> |т)|, |
|
(2.7.38) |
|
где т| — мнимая величина, так что |
|
|
|
х2 < 0. |
|
(2.7.39) |
|
В случае прохождения воли имеем |
|
|
|
kiJf'Sz Т-> 0» |
|
(2.7.40) |
|
так что |
|
|
|
ст+= |
— а + у |
|
(2.7.41) |
и |
|
|
(2.7.42) |
<?_ = |
—а —у, |
|
|
где |
|
|
|
а = 4 - (аг+ а 8) |
|
(2.7.43) |
|
’= 4 У '' («г — а«)2+ ^ |
№ |
(2.7.44) |
|
bizh |
|||
Теперь получим амплитуды волн для случая прохождения через среду с периодическими варпацпямп потерь (для
— d ^ z ^ d)
A (z) = e -“(z+d) ^chy(z-)-d)— к‘9^а- sh у (z-|~<j) j Аа,
(2.7.45)
Б (z) = г/^ 4 ° «"e(I+d) sh у (z+ d). |
(2.7.46) |
но |
Глава 2 |
Этот результат существенно сложнее, чем в случае фазо вой решетки без потерь. Полный обмен мощностью, конеч но, не возможен, так как обе волны испытывают потери при прохождении через рассеивающую среду. В случае рассеивания вперед при нормальном падении, k sz — k iz, также имеем а ; = a s = а, так что из соотношений
(2.7.44), (2.7.11) и (2.7.14) получаем
,.==121 а, |
(2.7.47) |
н выражения для амплитуд волн упрощаются:
A (z) = |
ch [ у М |
a (z+d) J |
(2.7.48) |
и |
|
|
|
В (z) —A0e-a(z+d) sli lГ--i Hi |
a (z-f-d)Jj , |
(2.7.49) |
|
где — d ^ 3 ^ d.
Интересно заметить, что осцилляции обмена мощностью, которые имеют место при прохождении волн в фазовой решетке, не происходят в случае решетки с потерями (амплитудной решетки). Амплитуда рассеянной волны при z --- d равна
£(d) = /l0e -2“(,sh ( I l i a d ) . |
(2.7.50) |
Постоянные ц и /гг должны удовлетворять соотношению (2.7.38). Следовательно, иаилучшпм условием для такой решетки является равенство
|
I Л |
I = и*. |
(2.7.51) |
|
Тогда амплитуда волны, рассеянной вперед, равна |
||||
5(d) = |
i n |
0(e-“d- e - 3“d). |
(2.7.52) |
|
При |
2ad = |
Jn 3 |
(2.7.53) |
|
|
||||
амплитуда достигает |
максимума: |
|
||
•®шах { d ) |
3з/2 |
0,192Л0. |
(2.7.54) |
|