ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
12 Uрсдисловис
оптических волокон и методах передачи света с помощью гауссовых пучков. Эту книгу я рассматриваю как учебное пособие по курсу оптики. В. настоящее время оптика ие является дисциплиной, изучаемой на всех технических факультетах. Но быстро растущий интерес к оптической связи и блестящие перспективы использования света в качестве носителя информации позволяют надеяться, что курс оптики войдет в программу всех технических факультетов. Эта книга должпа восполнить пробел в учеб никах по технической оптике.
Книга начинается с введения в волновую оптику, явля ющуюся основой при изучении передачи света. Введение довольно краткое, так как этот вопрос рассматривается во многих книгах по оптике и электромагнетизму. Во второй главе излагается скалярная теория дифракции, необходимая для понимания работы линзовых волноводов. Особое внимание уделяется приложению этой теории к анализу прохождения света через апертуры, к дифрак ционным решеткам и дифракции Брэгга.
Геометрическая оптика рассматривается как предель ный случай волновой оптики, поэтому мы начинаем ее рассмотрение с вывода уравнения луча из уравнения эйконала, которое в свою очередь получается из скаляр ного волнового уравнения. Затем строится лучевая теория из принципа Ферма в формулировке Гамильтона. Такой подход особенно удобен для выявления связи между луче вой оптикой и волновой оптикой при использовании квантования в лучевой теории. Оригинальным является использование при рассмотрении геометрической оптики теоремы Лиувилля, взятой из статистической механики.
На основании свойств тонких линз проводится анализ работы линзового волновода и обсуждаются его свойства с точки зрения волновой и лучевой оптики. Рассматри ваются статистические смещения линзы, а также аналогия между линзовыми волноводами и резонаторами лазеров.
Анализ линзовых волноводов естественным образом связан с гауссовыми пучками. Распространение этих пучков в свободном пространстве и трансформация их при прохождении через линзы исследуются в шестой главе. Седьмая глава посвящена вопросам распространения света в среде с квадратичным изменением показателя пре-
Предисловие |
13 |
ломлешш и опять-таки относится к гауссовым пучкам
илинзовым волноводам.
Востальных трех главах книги рассматриваются ди электрические волноводы и оптические волокна. Основное внимание уделяется нормальным модам в диэлектрических
волноводах. Изучаются как |
направляемые моды, |
так |
и моды излучения. Развитая |
теория используется |
для |
исследования излучения и преобразования типов |
волн |
|
из-за несовершенства диэлектрического волновода. |
Рас |
|
сматривается влияние систематических и случайных иска жений диаметра сердцевины оптического волокна, а также радиационные потери, обусловленные изгибом.
В последней главе излагается теория связанных ди электрических волноводов. Выводится уравнение связан ных волн. Выражения для коэффициентов связи являются достаточно общими и справедливы для любых диэлектри ческих волноводов, выполненных из материала с потеря ми. Эта теория используется для анализа перекрестной связи между двумя параллельными оптическими волокнами.
Материал книги в значительной мере новый и в дру гих книгах ранее не рассматривался. Однако данная книга не исчерпывает всех сторон рассматриваемой про блемы: для этого потребовался бы больший объем изложе ния. Как отмечалось выше, на отбор материала и глубину изложения оказали влияние интересы и опыт автора,
атакже ограничения, связанные с объемом книги.
Д. М а р к у з е
1
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
1.1. ВВЕДЕНИЕ
Свет представляет собой электромагнитное явление. По этому оптика должна быть просто разделом электро динамики. Но историческим причинам все же оптика обычно рассматривается как самостоятельный предмет, поскольку световые явления изучались задолго до того, как была установлена электромагнитная природа света. Существенным обстоятельством является то, что мы ощу щаем свет глазами, тогда как электромагнитные колеба ния частот, отличных от оптических, могут обнаруживать ся только с помощью специальных устройств.
Другой особенностью света является очень короткая длина волны, что позволяет использовать методы прибли женного анализа. На более длинных волнах это сделать нельзя. В связи с этим в оптике используются два различ ных метода приближения. Волновая оптика непосредствен но основывается на уравнениях Максвелла, тогда как лучевая оптика использует малость длины волны света для упрощения многих задач, связанных с распростране нием света. Лучевая оптика во многих отношениях подоб на мехаипке материальной точки, а волновая оптика близ ка к квантовой теории световых лучей. Этот вопрос будет подробно рассмотрен в главе, посвященной геометриче
ской |
оптике. |
главе запишем уравнения |
Максвелла |
В |
настоящей |
||
и выведем из них волновое уравнение. Затем |
применим |
||
эти |
уравнения |
для решения некоторых характерных |
|
н важных задач. Эти задачи волновой оптики выбраны так, чтобы облегчить понимание последующих глав. Волновая оптика является обширным и хорошо разрабо танным разделом оптики и излагается во многих учебни ках 11J. Поэтому мы не будем стремиться к полному изло-
Волновая оптица |
15 |
жецшо волновой оптики, а ограничимся рассмотрением здесь основных свойств отражения и иреломления света на границе между двумя диэлектрическими средами и в следующей главе обсудим основные задачи дифракции.
1.2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Уравнения Максвелла подробно рассмотрены в ряде учебников по электромагнетизму (см., например, [2] и [3]), поэтому здесь достаточно лишь сформулировать их. Вектор напряженности электрического поля Е н век тор электрической индукции D связаны с вектором напря женности магнитного ноля Н и вектором индукции В следующими уравнениями *):
V x H = ^ - |
(1.2.1) |
и |
|
V X E = - ^ . |
(1-2.2) |
Член с током в первом уравнении Максвелла (1.2.1) опу щен, так как возбуждение света чрезвычайно редко опи сывают посредством токов.
Электрические векторы связаны друг с другом. В об щем случае эта связь может оказаться весьма сложной, например тензорного или даже нелинейного характера. Однако для многих практически интересных случаев
можно предполагать простое |
линейное |
соотношение |
D = |
еЕ, |
(1.2.3) |
которое справедливо для линейной изотропной среды. Константа е есть диэлектрическая проницаемость. Отно шение е/е0, где е0 — проницаемость вакуума, называют относительной диэлектрической проницаемостью. Связь между Н и В задается аналогичным соотношением
В = pH. |
(1.2.4) |
Величина р известна как магнитная проницаемость; у не магнитных материалов ее величина очень близка к про ницаемости вакуума р0.
*) Оператор V является вектором с компонентами д/дх,
О/ву, dldz.
16 |
Глава 1 |
При отсутствии электрических зарядов вектор D удо влетворяет уравнению
V-D = 0. |
(1.2.5) |
Вектор же магнитной индукции всегда удовлетворяет уравнению
У-В = 0 |
(1.2.6) |
независимо от наличия или отсутствия электрических заря дов.
Уравнения (1.2.1)—(1.2.6) полностью описывают элек тромагнитное поле в линейной изотропной среде при от сутствии токов и свободных зарядов.
Очень важным является вектор плотности потока мощ ности
S = Е х Н, |
(1.2.7) |
который называется также вектором Пойнтинга. Он опи сывает поток электромагнитной мощности в пространстве. Для того чтобы получить мощность, проходящую через поверхность А с внешним единичным вектором нормали п в каждой точке, нужно поверхностный инте грал
P = j S - n d /[ . |
(1.2.8) |
л |
|
Под световыми лучами во многих случаях можно понимать линии в пространстве, вдоль которых узким пучком рас пространяется электромагнитная энергия света.
Мы в основном будем иметь дело с монохроматически ми полями, совершающими колебания с одной определен ной частотой /. В этом случае удобно воспользоваться обозначениями, при которых компоненты электрического и магнитного полей могут быть выражены соотношениями следующего вида:
|
|
F(x, у , z, i) = Re[G(x ,y, |
г)еш ], |
(1.2.9) |
|
где круговая |
частота со определена |
как |
|
||
|
|
со = |
2л/, |
|
(1.2.10) |
a G (х , у, |
z) — комплексная функция вещественных пере |
||||
менных х, |
у, |
z. Символ Re [ |
] означает, что берется ве |
||
Волновал оптика |
17 |
щественная часть от выражения в скобках. Мы всегда будем опускать символ Re[ ] в уравнениях, даже если они должны быть интерпретированы как (1.2.9), подразу мевая при этом, что только вещественная часть величины имеет физический смысл. Таким образом, будем просто писать
F(x, г/, z, i) —G (х, у, г)еш . |
(1.2.11) |
С помощью такой комплексной записи вектор Пойнтинга (1.2.7) представится в виде
S = l( E x H * ) . |
(1.2.12) |
Звездочка означает комплексно сопряженную величину. Множитель 1/2 появляется в (1.2.12) при вычислении среднего по времени значения вектора Пойнтинга, на что указывает черточка сверху. Вещественная часть от выражения (1.2.12) представляет собой физический сред ний во времени вектор потока мощности.
■1.3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Из уравнений Максвелла многими способами можно получать уравнения, удобные для тех или иных конкрет ных приложений. Например, подставим величину (1.2.4) в уравнение (1.2.2) и возьмем ротор от этого уравнения. В результате получим
V x ( V x E ) = - p ^ - ( V X H). |
(1.3.1) |
При выводе уравнения (1.3.1) мы предположили, что ве личина р не зависит от координат. Подстановка (1.2.1) и (1.2.3) в (1.3.1) приводит к уравнению, содержащему только вектор Е:
V X (V X E)-j-ep ^ F = 0- |
(1-3.2) |
Это уравнение справедливо и в том случае, если е изме няется в пространстве. Ввиду того что оператор V х V х не очень удобен для применения, целесообразно восполь зоваться векторным тождеством
v X (v X Е) = |
v (V |
|
|
2—087 |
* |
научно-текнпчесеая |
|
|
♦ |
бьблмоте |
О- С1- |
1 к
18 |
Глава 1 |
которое справедливо в декартовой системе координат. Использование соотношений (1.2.3) и (1.2.5) дает возмож ность переписать уравнение (1.3.2) в следующем виде:
^ E + v ( E . ^ i ) = £, . ^ . |
(1.3.4) |
В частном случае, когда величина е постояииа в простран стве, градиент е обращается в нуль и уравнение (1.3.4) принимает вид волнового уравнения
т 2 Е = еи - ж - |
t1-3-5) |
Волновое уравнение (1.3.5) справедливо для каждой декартовой компоненты вектора электрического поля, т. е. каждая его декартова компонента удовлетворяет скалярному волновому уравнению
* ч = 4 - ^<5*2 |
(1.3.6) |
где величина
- 1/2 |
(1.3.7) |
|
имеет физический смысл скорости света в среде с диэлек трической проницаемостью е/е0.
Волновое уравнение (1.3.6) приближенно удовлетворя ется для каждой компоненты вектора электрического поля даже в случае, когда е изменяется в пространстве, при условии, что ее изменения незначительны на расстоянии порядка длины волпы света. К этому мы еще вернемся
несколько |
позже. |
|
понять, если |
Смысл |
волнового уравнения легко |
||
учесть, что любая функция вида |
|
|
|
|
Ф = / (*— -7 |
П,Г) |
(1.3.8) |
есть решение этого уравнения при условии, что существует вторая производная от /. Компоненты вектора г являются координатами точки наблюдения поля; п — единичный вектор. В решении (1.3.8) волнового уравнения (1.3.6) скорость v не должна зависеть от частоты.
Решеиие (1.3.8) волнового уравнения представляет собой плоские волны,-, распространяющиеся в простраи-