ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
Вещественная и мнимая частотные характеристики
и (D) = k i b T^ + J ) |
и V (<D)E S (--д= Гп) fet0. (3-93) |
7 > 2+ 1 |
7 > а+1 |
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характери стики звена имеют вид:
|
V |
rfo +1 |
(3-94) |
|
|
||
|
|
|
* |
cp(co) = |
arclg |
■ |
(3-95) |
Амплитудно-фазовую характеристику |
можно пред |
||
ставить также в виде |
явной |
функции У(со) =f(U(to)), |
|
используя равенства (3-93).
Сложив квадраты вещественной и мнимой частотных характеристик, получим:
' |
[ |
|
(7-y +l)’ |
|
J |
|
( Г ^ + 1) + (Г^со<+7>*) |
_ |
^(^(Da+[1) |
||||
= k2 |
(т у + і)* |
|
|
+ 1 |
||
|
|
|
||||
Прибавив к правой и левой частям этого выражения ела- |
||||||
k2 (Т |
-\- T ) 2 |
и одновременно прибавив и вычтя из |
||||
гаемое---- k и ^—— |
||||||
47-н |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правой части равенства отношение k2- J - , получим: |
||||||
|
|
|
|
|
* к |
|
|
U2(D) + |
V2(D)■ |
k*(Tu + T R)2 |
|
||
|
|
АТІ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= £2 |
|
|
(П, + Тя)> |
|
||
т у + |
Ти |
+ |
АТІ |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
150
* |
/ 7' |
1 |
\ |
и приведя к общему äriâ- |
|||
Обозначив — f - я |
Y—- j = a |
||||||
менателю суммы в квадратных скобках, находим: |
|
|
|||||
Ѵ » |
+ £/2 (ш) -\-a2 = |
k2 ~ТЯ(Т’д«2 + 1) + Тл ( 7 - у + |
1) |
+ |
|||
|
|
|
|
|
г,, (Г*«’ +1) |
|
|
|
|
г2 + 2Г,Гд+ г2 -4 Г 4Гв |
|
|
|||
|
|
|
|
47-2 |
|
|
|
Приняв, Ч Т 0 - 4 - Д , —— = ./?, |
получим: |
|
|
||||
|
* |
*П |
|
|
|
||
|
|
V2(u>)-f-£/2 (ш) + а2 = |
|
|
|||
|
k>~ ( П ^ д ^ + Ш |
Т ’и + Н.) |
2д(у(ш ) - j- ff2. |
|
|||
|
7Я( Г Ѵ+ І ) |
' |
|
|
|||
Окончательно |
находим: |
|
|
|
|||
|
|
y 2( c o ) + [ t / ( c o ) ~ а]2=і/?2. |
(3 -96) |
||||
Следовательно, АФХ имеет вид окружности, центр которой расположен на вещественной положительной полуоси в точке (а, /0). Радиус окружности равен ff.
Рис. 3-27. Амплитудно-фазовые частотные характери стики интегро-дифференцирующего звена.
а~~тл>тп- б - г д<ги.
Амплитудно-фазовые характеристики для двух раз личных соотношений постоянных времени Тя и Та пред ставлены на рис. 3-27.
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характери стики звена построены на рис. 3-28.
151
При малых частотах (со~О) входньіх колебаний йіі- тегро-дифференцирующее звено ведет себя как усили тельное с коэффициентом усиления k\ при этом колеба ния проходят через звено без искажений по фазе, так как ф(м) =»0.
При больших частотах входных колебаний (со— *оо) звено также ведет себя как усилительное, но с коэффи циентом усиления, равным kTR/Tn. При этом ФЧХ также стремится к нулю.
Рис. 3-28. Амплитудно-частотные (а) и фазо-частот ные (б) характеристики интегро-дифференцирующе- го звена.
При средних частотах выходные колебания или опе
режают |
входные колебания (при 7'Д> Г П), или |
отстают |
от них (при 7'д<Ги). |
звено по |
|
При |
интегро-дифференцирующее |
|
своим свойствам приближается к дифференцирующему звену. Если при этом k стремится к нулю, а Тд — к бес конечности, но так, чтобы произведение k f K было конеч ной постоянной величиной, получаем реальное диффе ренцирующее звено (см. рис. 3-25).
При Гд<С?\і интегро-дифференцирующее звено по своим свойствам приближается или к интегрирующему, или к апериодическому звену.
Если Гд=0, а k и Ти стремятся к бесконечности, но при этом отношение А/Г„ является конечной постоянной величиной, то звено превращается в интегрирующее. Если же при 7Д=0 величины k и Т„ конечны, получаем апериодическое звено (см. рис. 3-10).
152
При ТЛ=ТИ интегро-дифференцирующее звено пре вращается в усилительное с коэффициентом усиления k. При этом на всех частотах сигнал проходит через звено без фазовых искажений. Физически это можно объяс нить тем, что дифференцирующая составляющая дает опережение выходной величины по отношению к вход ной. Интегрирующая же составляющая, наоборот, соз дает отставание выходной величины от входной. При ра венстве этих составляющих они взаимно уравновеши ваются и результирующее воздействие их на фазу выходного сигнала равно нулю.
Рис. 3-29. Логарифмические частотные характеристики интегроднфференцирующего звена.
а — ЛАЧХ при Г„>ГД; б — ЛАЧХ при ГД>Г„; а - ЛФЧХ при ГП>ГД (нижняя кривая) и ГД>ГП (верхние кривые).
Логарифмируя выражения (3-94), получим логариф мическую ФЧХ звена:
L (со) - 20 lg k + 20 lg Ѵ 7 У + Т '1—[20 l g / 7 > * + l . (3-97)
Из этого выражения следует, что вид аппроксимиро ванной ЛАЧХ звена зависит от соотношения постоянных времени Тд и Г„.
При Тп> Т л в интервале между сопрягающими часто тами соі=1/7'п и №2=1/7^ асимптота определяется отрез ком прямой с наклоном —20 дб/дек (рис. 3-29,а).
При Тл> Т п сопрягающие частоты будут соі= 1/7'д и а асимптота в этом диапазоне частот опреде-
1Р
ляется отрезком прямой с наклоном +20 дб/дек (рис. 3-29,6). В интервале низких частот O -C a^w i ЛАЧХ аппроксимируется прямой 201g k, а в интервале высоких частот coi^cü— >-оо — прямой 201g(7\/rit) . На рис. 3-29,в приведена рассчитанная по выражению (3-95) ЛФЧХ при Тц>Т^, а также даны аппроксимированные ЛАЧХ как при Г „ > Т д , так и при 7'Д>7'ІІ.
При последовательном соединении двух интегро-диф- ференцирующих звеньев получаем также интегро-диф-
ференцирующее звено с передаточной функцией |
(2-59). |
||||
Амплитудно-частотная характеристика звена |
|
||||
№(/ш) = 6 (1 + |
/саГД1) (1 |
+ |
' ц й Т да) "1 |
(3-98) |
|
(1 + |
/ш7’П1) (1 + |
/соГна) |
|
||
Логарифмическая амплитудно-частотная характери |
|||||
стика |
|
|
|
|
|
L (СО) = 20 lg k + 20 lg ] / Г 2д/ + |
1 |
+ |
20 lg Ѵ т \ у + 1 - |
||
- 2 0 1 g ] / Та2 і + |
1 - |
20 lg Y |
T l r + 1 • |
(3-99) |
|
Фазо-частотная характеристика звена |
|
||||
Ф (со) =arctgco7'Hi+ arctgco7’R2— |
|
||||
—arctg соГці—arctg соГи2. |
(3-100) |
||||
Частотные характеристики комбинированного интег- ро-дифференцирующего звена, представленного RC- цепью, изображенной на рис. 2-24,а, приведены на рис. 3-30.
ЙО/ й/ / W wo woo moo
б)
Рис. 3-30. Амплитудно-фазовая (а) и логарифмические частотные (б) характеристики комбинированного интер- ро-дифференцирующего звена.
154