Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

ЛАЧХ представляет собой ломаную линию, образован­ ную: отрезком прямой, параллельной оси абсцисс и про­

Логарифмическую фазо-частотную характеристику можно также аппроксимировать в виде ломаной линии.

При(о=0составляющая ЛФЧХ срі(ш)=—arctgТзСО=0.

При со = 0 ,1 /7 ’зфі('со) = —arctg0,1 = —6°.

Рис. 3-17. Асимптотические логарифмические частотные характеристики колебательного звена при Т1/Г2> 2 .

При <в = 10/Тз фіі(со)=—arctg 10= —84°, а при io= oo Фх(со)=—90°. Следовательно, на участке частот О ^со ^

^10/Г з равен двум декадам, то на нем фі(ш) можно ап­ проксимировать в виде прямой с наклоном — АЪ°/дек.

Таким же образом можно аппроксимировать состав­ ляющую ЛФЧХ ф2(со)=—arctg74tt> в интервалах частот

0<©<0,1/7Ѵ ОД/Гі ^ со^Ю /Г і; IO /T ^ Ö—►оо.

137

Так как ЛФЧХ приближенно' выражается в виде суМ-

функция соединения (3-63) при Ті/Т2>2 и 0,1/7’з<10/Г4 может быть приближенно представлена в виде ломаной

Ю /^^со^ДО/Тз — прямая с наклоном — 45 °/дек\ (и^ОД/Г4 — прямая фі(со) =0;

д) Частотные характеристики дифференцирующего звена

Частотные характеристики идеального дифференци­ рующего звена с передаточной функцией (2-43) имеют вид:

Амплитудно-фазовая характеристика дифференциру­ ющего звена совпадает с положительной мнимой полу­ осью (рис. 3-18,а).

При всех частотах выходные колебания опережают по фазе входные колебания на угол 90°, так как фазо­ частотная характеристика

138

лых частотах (ю-О) сигнал через звено не проходит (рис. 3-18,6).

Скачкообразное единичное изменение входной вели­ чины вызывает мгновенное изменение выходной величи­ ны от 0 до оо и мгновенный спад ее от оо до 0.

Логарифмируя W (а) в выражении (3-66), получаем:

L(<B)=201gÄ+201g£o. (3-67)

Логарифмическая амплитудно-частотная характери­ стика дифференцирующего звена представляет собой прямую (рис. 3-19,а) с наклоном +20 дб/дек, ордината которой при ш=1 равна 20 lg А.

Рис. 3-19. Логарифмические частотные харак­ теристики дифференцирующего звена.

Фазо-частотная характеристика звена в полулогариф­ мическом масштабе в соответствии с (3-66) представ­ лена на рис. 3-19,6.

е) Частотные характеристики запаздывающего звена

В соответствии с формулой (2-44) передаточной функ­

ции звена W (р) — е~р' частотные характеристики запаз­ дывающего звена имеют вид:

W (/со) = е~,т = COS ют — / sin сот;

Так как АЧХ такого звена равна единице и не зави­ сит от частоты, а ФЧХ пропорциональна частоте с коэф­ фициентом пропорциональности, равным т, то АФХ пред­ ставляет собой окружность единичного радиуса с цент­ ром в начале координат (рис. 3-20,а).

139

При со = 0 вектор АФХ совпадает с положительной вещественной полуосью и конец его расположен в точке (1,/OJ.

При увеличении частоты конец вектора АФХ повора­ чивается по окружности по часовой стрелке, так как ФЧХ отрицательна.

При бесконечном увеличении частоты вектор W(ju>) бесчисленное число раз поворачивается вокруг начала координат.

При его повороте на 360° он займет первона­ чальное положение. Так как приращение фазы при этом будет равно—2л, то <р(со)=—сот=—2л. Следова­ тельно, в исходное положение вектор АФХ вернется при

диться в точке (—1, /0).

Таким образом, запаздывающее звено на выходе вос­ производит входные колебания без искажений по форме, но с отставанием по фазе. Это отставание тем больше, чем больше запаздывание звена и чем больше частота входных колебаний.

140

представляет собой прямую, совпадающую с осью абс­ цисс. Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится по выражению ср(со) = —т(га) в полулогарифми­ ческом масштабе.

3-5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОЕДИНЕНИЙ И СИСТЕМ

а) Частотные характеристики соединений и разомкнутых систем

Разомкнутая система представляется как последова­ тельное соединение нескольких звеньев. Представляя АФХ каждого звена в тригонометрической форме (3-31), с учетом (2-45) получим выражение АФХ разомкнутой системы в виде

W (/ш) = W, (<o)Wa(*)...Wn (a)é/ [ч>. ( <■>) + '<?з (“ ) + ... + <р„ («)]

Если частотные характеристики звеньев заданы гра­ фически, то для получения значения АЧХ системы при какой-либо частоте необходимо перемножить величины АЧХ звеньев, соответствующих этой частоте, или модули векторов АФХ звеньев на этих частотах.

Фазо-частотная характеристика системы получается простым суммированием соответствующих ординат ФЧХ звеньев. Вектор АФХ системы для данной частоты будет равен по модулю значению АЧХ системы на этой часто­

вектора АФХ W(ja) системы, состоящей из двух после­ довательных звеньев с передаточными функциями

Wi(ja>) и W2(ja) на частоте сщ.

144

На этой частоте имеем:

W(o)[) = Wi(cöi) Wz(ai);

Ф(иі) ='фі(/®0+ф2('сйі>);

W (hi) = Wi(jm)W2(m).

Так как определение АЧХ системы требуется выпол­ нить для всех значащих частот, то это связано с боль­ шими трудностями. По этой причине такой метод графи-

Рис. 3-21. Построение АФХ системы по АФХ двух последовательно соединенных звеньев.

ческого построения АЧХ системы в инженерной практи­ ке применяется редко. В этом отношении большое преимущество имеют ЛАЧХ.

Логарифмируя выражение (3-72) и выражая величи­

Следовательно, ЛАЧХ системы в этом случае будет равна сумме ЛАЧХ отдельных звеньев

і = 1

что существенно упрощает все инженерные расчеты. Логарифмическая фазо-частотная характеристика

разомкнутой системы в соответствии с (3-71) также равна сумме ФЧХ отдельных звеньев

142

Ьсли известны аналитические передаточные функций звеньев, то по ним с помощью выражений (2-45) и (2-47) можно найти передаточную функцию соединения или системы. Заменяя комплексную переменную р на

143