Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

для механической системы с вращательным перемещением — уравнение, тождественное (IV.4),

Если величинам, стоящим в правых частях уравнений (IV. 16)— (IV. 19), приписать смысл «обобщенной силы» Gt, а переменным х, хА, Q, ф в левых частях — смысл «обобщенной координаты» gp то эти уравнения сводятся к уравнениям Лагранжа

(»= 1, 2, . . ., k\ m = 1, 2, . . ., n),

где n — число степеней свободы системы; k — число обобщенных координат. Поскольку операция дифференцирования по времени сама по себе независима, то, переходя к операторной форме записи, заменяя d/dt символом р, уравнения, подобные (IV. 16)—(IV. 19), для систем с п степенями свободы можно записать в виде

к

Ё (тт1рг t=I \

Если обозначить

miP “Ь ^miP~\~ Cmi )

то для обобщенных сил, действующих в системе, имеем:

Коэффициенты преобразования t,ml могут быть интерпретированы как эквивалентная обобщенная жесткость. Являясь по составу

132

символическими, они не могут служить для вычисления энергии системы, но их с успехом применяют для нахождения сил по задан­ ным обобщенным координатам. Так как над оператором р можно производить алгебраические действия, то обобщенную силу можно представить в виде

здесь Z,'mk имеет смысл эквивалентного операторного сопротивления,

преобразования между скоростью процесса и силой, вызывающей данный процесс, поскольку в понятии сопротивления одновременно находят отражение как свойства действующих сил, так и свойства «сопротивляющейся» системы.

Таким образом, наиболее общее определение сопротивления системы в операторной форме сводится к следующим отношениям:

Из уравнения (IV.20) легко получаются значения сопротивления для любой системы на любых режимах. В частности, заменяя р произведением /со (где / — мнимое число), получаем выражение для комплексного сопротивления (т. е. сопротивления при гармониче­ ском колебательном процессе в системе). Для рассмотренных выше четырех систем комплексные сопротивления и их модули получаются непосредственно из уравнений (IV. 16)—(IV. 19) в следующем виде:

При определенной частоте мнимые составляющие комплексных сопротивлений обращаются в нуль; такая частота называется резо­ нансной. При этой частоте отношение скорости обобщенной коорди­ наты к величине амплитуды обобщенной силы будет максимальным,

133

Сопоставление рассмотренных выражений для различных по физической природе систем позволяет обосновать аналогию между характерными параметрами систем. Сводка аналогов параметров систем представлена в табл. 17.

Т а б л и ц а 17

Сводка аналогов параметров систем (прямая аналогия)

Уравнение (IV. 18) для электрической цепи описывает последо­ вательное соединение, причем заряд или ток является общим для всех элементов цепи. Уравнения (IV. 16) и (IV. 17) применимы к па­ раллельной конфигурации механических цепей, для которой пере­ мещения или скорости являются общими (рис. 30). Этот тип аналогии получил название прямой аналогии. Он оказывается особенно по­ лезен в таких смешанных цепях, где заряд или генерируемое напря-

134

жение прямо пропорциональны силе. Очевидное неудобство прямой аналогии состоит в необходимости переводить механические парал­ лельные конфигурации в электрические последовательные цепи или наоборот. При необходимости от этого структурного перевода можно избавиться, если использовать другую аналогию между механиче­ скими и электрическими системами.

Поскольку всякая аналогия между качественно различными явлениями вытекает из формального сходства математического описа­ ния, то возможен достаточно произвольный выбор обобщенных сил

икоординат. Так, например, аналогия между механической системой

слинейным перемещением и электрической системой, не искажающая

Рис. 30. Механическая система с линейным перемещением и ее элек­ трические аналоги

конфигурации цепей, получается, если в качестве обобщенных сил использовать F и /, а в качестве обобщенных координат — ско­ рость v и напряжение U. В этом случае уравнения (IV. 16) и (IV. 18) приобретают вид:

И имеет место обратная электромеханическая аналогия:

Обе цепи в этом случае имеют параллельную конфигурацию (рис. 30), однако серьезный недостаток такой аналогии заключается

135