Файл: Аполлов, Б. А. Курс гидрологических прогнозов учебник.pdf

соответствие между входом и выходом. При выборе операторов, преобразующих входные воздействия на водосбор и гидрограф стока, может широко использоваться информация о структуре опе­ раторов, извлекаемая нами из теории формирования стока. Таким образом, имеется класс задач, промежуточных между теми, кото­ рые решаются методами математической физики, и чисто иденти­ фикационными методами.

Следует отметить, что обобщение результатов, получаемых с по­ мощью методов идентификации, наряду с расширением наших зна­ ний в области процессов стока, будет одновременно способствовать построению математических моделей гидрологических процессов на основе методов математической физики.

В настоящее время при идентификации стали использоваться так называемые концептуальные (понятийные) модели, которые основываются на схематизации отдельных физических процессов и включают большое число параметров.

При построении математической модели методами идентифика­ ции необходимо стремиться к выбору некоторой оптимальной струк­ туры модели, которая, с одной стороны, достаточно хорошо схваты­ вает основные физические процессы, а с другой стороны, имеет ми­ нимальную сложность. Задача гидрологической теории в том, чтобы по возможности сузить класс, в котором задается общая структура модели, и таким образом упростить и сделать более надежными ме­ тоды определения параметров при переходе к конкретным водо­ сборам.

Поиск такого узкого класса привел к использованию моделей с сосредоточенными параметрами. При применении таких моделей отказываются от детализации процессов образования стока по пло­ щади и весь водосбор рассматривают как динамическую систему, преобразующую некоторые средние для водосбора входные времен­ ные функции, характеризующие воздействие гидрометеорологиче­ ских факторов на водосбор, в гидрограф в замыкающем створе. Рас­ смотрение водосбора как системы с распределенными параметрами, т. е. параметрами, учитывающими переменные условия формиро­ вания стока по площади, уже проводится в некоторых моделях фор­ мирования стока и приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Допустимая величина площади водосбора, для которого может строиться модель с сосредоточенными параметрами, лимитируется, с одной стороны, изменчивостью гидрометеорологических характе­ ристик и условий стока по площади, а с другой — расчетным интер­ валом времени, необходимым для обеспечения заданной точности расчета гидрографа. Здесь особенно важным было бы исследова­ ние статистических свойств полей осадков, инфильтрации, испаре­ ния и некоторых других факторов. Большое значение для построе­ ния моделей имело бы также исследование пространственной из­ менчивости таких /трудно определяемых характеристик водосбора, как коэффициенты фильтрации почво-грунтов, шероховатость по­ верхности и особенности микрорельефа.

222

§ 5. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПАВОДКА

В § 3 этой главы была рассмотрена генетическая формула стока

1

Qt = § (А -д ),_ ,г(Л - )d - .

О

Если кривая добегания r{t, т) не меняется со временем /, то по­ лучим

о

В теории динамических систем аналогичные соотношения полу­ чаются из несколько иных соображений.

Связь между входной величиной q (t) и выходной Q (і) для ли­ нейной динамической системы при помощи условных операторов А і II А 2 можно записать в виде

о, п Ьі — коэффициенты, не зависящие от q и Q, но могущие быть функциями времени t.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, при за­ данной функции q (t) равенство (27.V) представляет линейное диф­ ференциальное уравнение, которое при нулевых начальных усло­ виях можно выразить интегралом свертки [см. (21.V)]

О

123

Если коэффициенты а,- и Ьі постоянны, то (27.Ѵ) является диф­ ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и ре­ шение можно представить в виде интеграла Дюамеля

6

Уравнения (30.V) и (31.V) применяются в разных областях науки. Обычно функция r(t ) носит название функции влияния, или импульсной переходной функции. В гидрологии функцию r( t ) , как указывалось выше, называют кривой добегання стока. Иногда также используются термины «единичный паводок», «мгновенный единич­ ный паводок» и «кривая межизохронных площадей» (см. § 3 этой главы). Отметим, что

о

Таким образом, еще раз повторим, задача прогноза дождевых паводков сводится к определению осадков х, потерь стока р, кри­ вой добегания и решению уравнений (30.V) или (31.Ѵ).

Способы вычисления слоя осадков, выпадающих на поверхность бассейна, излагаются в курсах гидрологии и поэтому здесь на них не останавливаемся. Перейдем к рассмотрению методов определе­ ния кривых добегання и потерь стока.

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ ДОБЕГАНИЯ СТОКА

Предложено несколько методов определения кривой добегания стока.

О б щи й метод. Форма кривой неизвестна. Решение задачи является весьма трудным. Ряд исследователей пытались ее решить путем замены интеграла Д ю а м е л я суммой, например, по методу прямоугольников

Q i ~ ( h р)\ г 1,

Q2= ( / z— р )2г, —f-(/z — р ) х г2,

124

Однако оказывается, что при решении системы уже третья или четвертая ордината нередко становятся отрицательными, что выз­ вано плохой обусловленностью данной системы.

Было предложение использовать метод наименьших квадратов, позволяющий повысить обусловленность системы (33.V). Однако п при этом результаты получались малоудовлетворительными. Не­ которое улучшение результатов было получено Л. С. Кучментом па основе применения теории решения некорректных задач.

Достаточно эффективным оказалось использование методов оптимизации. Однако их применение может приводить к сущест­ венно различным результатам в зависимости от принятия того или иного критерия качества. Опыт показал, что обычно наиболее

где Q„ и Qp соответственно наблюденные и рассчитанные расходы воды

О п р е д е л е н и е к р и в о й д о б е г а н и я , к о г д а и з в е с т н о

может быть принята и в качестве кривой добегания стока со всего бассейна, где т и п — эмпирические параметры.

Как мы уже знаем, кривая добегания стока г{1) обычно явля­ ется одномодальиой (см. рис. 43) и имеет плавные очертания.

125

Не ординаты раины нулю при / = 0 и / = Тціаі<с, а наибольшая орди-

Для определения параметров т и п созданы специальные элек­ тронные моделирующие машины Г1Р-27 п ПР-43 (см. гл. Ill, рис. 31), которые позволяют быстро, в течение нескольких минут,

(формулы для остальных моментов имеют аналогичный вид). Для кривой добегания в виде (38.Ѵ) формулы (42.Ѵ) дают:

Кривую добегания можно представить также в виде ряда

126