Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

Наконец, когда i= -^ -

Из последних трех уравнений видно, что ошибка еа может быть положительной только для наборов <; а ха 2. . . a t > с преоблада­

Воспользовавшись выражением (3.14), уравнение ошибки пре­ образования еп для «множественного» ПКВ представим в виде

наибольшее число членов с одинаковым знаком. Учитывая способ разбиения множества G на подмножества Gt, максимальную по­ грешность с положительным знаком для «множественного» ПКВ

Замечая, что члены выражения в квадратных скобках образуют геометрическую прогрессию, после необходимых преобразований получаем

Таким образом, ошибка преобразования превышает значение погрешности установки вероятностей входных последовательностей.

Несколько отличающиеся результаты получаются в случае реализации ПКВ на основе ФАЛ (ЗЛЗ). В [71] показано, что в этом случае

enm ax^-f 8 ( 1 + у )

при А = 0,1010101. . .

Для определения возможных методических ошибок, которые могут появиться при работе ПКВ вследствие неидеальности входя­

88

Стохастический вход ПКВ будем рассматривать как случай­ ную величину X {х х, х 2, ■. ., xt}. Покажем, как влияет на точ­ ность преобразования наличие функциональной линейной зави­ симости вида Xi = Xj, которая может встречаться при использова­ нии в качестве цифрового шума псевдослучайных двоичных после­

и, следовательно, все переменные, входящие в (3.15), статисти­ чески независимы, так как не содержат линейно зависимых эле­ ментов.

2. Пусть г < г и / < г. Тогда выражение (3.15), которое пере­ пишем в виде

будет включать полную группу линейно-зависимых элементов. Заменяя в (3.16) х{ на Xj сократим, таким образом, на одну

Итак, при наличии линейной зависимости между последователь­ ностями возникают методические ошибки преобразования, которые могут превышать допустимые пределы, хотя в частных случаях результат может быть и точным.

Как показывает анализ, величина ошибки зависит как от значе­ ний входной переменной А , так и от номеров стохастических разрядов, связанных линейной зависимостью. В общем случае ошибка больше, если зависимыми оказываются старшие разряды из набора X . Отсюда следует, что необходимо исключать такого

13. Способы функционального преобразования

Классификационные принципы построения стохастических функциональных преобразователей (СФП) во многом совпадают с принципами классификации аналоговых функциональных пре­ образователей. Существующие методы воспроизведения нелинейных

89

зависимостей прежде всего можно разделить на способы «точ­ ного» или непрерывного воспроизведения и приближенного, когда требуемая характеристика реализуется с методической ошибкой. Практически все СФП являются устройствами прибли­ женного действия, обладающими кроме методических ошибок квантования по уровню ошибками метода приближения функции, и поэтому могут быть названы стохастическими аппроксиматорами.

Как правило, исходные функциональные зависимости предва­ рительно преобразуются в форму, удобную для их реализации на СФП. Эти преобразования в большинстве случаев сводятся к ап­ проксимации заданных функций более простыми функциями: степенными рядами, многочленными приближениями, ступенча­ тыми кривыми, кусочно-линейными линиями, итерационными функциями и т. д.

Полиномиальное представление функций. Представление функ­ ции ср (X) в виде ряда

ф(Х) = ф(а) + (Х — а) *J£ L + .. . + (Х — а)п ф(”},(а)■+ . . .

называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при а = 0 разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена

При аналитическом задании функции ф (X) коэффициенты ряда могут быть легко вычислены, а сама функция заменяется суммой конечного числа членов ряда (обычно три-четыре члена) с наперед заданной точностью.

Большое количество элементарных функций может быть разло­ жено в сходящиеся ряды Тейлора или Маклорена. Удобный для практических приложений признак разложимости описывается так [12]: если функция ф (X) имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная D, что при лю­ бых X и п

i Ф(п> (X) |C D ,

то функция разлагается в ряд Тейлора.

В тех случаях, когда функция задана графиком или таблицей, чаще всего используют методы приближения нелинейных функций интерполяционными многочленами [24]. Существуют методы по­ строения интерполяционных многочленов, точно воспроизводящих значения функции в узлах интерполяции. Однако, при большом числе п точек функции (в этом случае будет получаться много­ член степени п — 1) сильно усложняются дальнейшие вычисли­ тельные операции.

Поэтому обычно отыскивается многочлен степени более низкой, чем п — 1 , достаточно хорошо аппроксимирующий функцию

90

Ф (X). Причем в ряде случаев можно допускать, чтобы отдельные

Наиболее удобная форма этого требования состоит в том, чтобы

Отсюда ясно, как следует ставить задачу об отыскании много­ члена / (X), дающего наилучшее приближение в среднем. Для этого требуется найти такой многочлен данной степени т, чтобы величина е была наименьшей.

Для выполнения этого условия достаточно, чтобы частные про­ изводные е по каждому из неизвестных коэффициентов много­ члена

/ (X) = с0-f- сгХ + с2Х 2+ с3Х 3+ . . . -Т стХт

были равны нулю. Получаемая система из т уравнений позволяет определить каждый из искомых коэффициентов. Интерполяционные многочлены реализуются в СтВМ с помощью преобразователей ФПВВ.

Кусочно-линейная аппроксимация. Метод кусочно-линейной аппроксимации заключается в воспроизведении функции ф (X) отрезками прямых линий. Обычно выбирают 8—12 участков ап­ проксимации. При этом погрешность преобразования зависит как от числа участков аппроксимации и наклона линий в каждом интервале разбиения, так и от способа реализации угловых коэффи­ циентов в СФП.

Итерационные процессы. Мы уже отмечали трудности реализа­

Начальное значение У0 произвольно и выбирается по возможности близким к искомому значению Y. Процесс итерации продол­ жается до тех пор, пока в пределах заданной точности е два

91