Файл: Кочергин, А. И. Основы надежности металлорежущих станков и измерительных приборов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
словлено, во-первых, тем, что форма направляющих в значительной степени определяет точность обработки, а во-вторых, увеличение нагрузки может приводить к из менению эпюры износа в связи с изменениями перекосов, площадей соприкосновения деталей, условий смазки.
Часто при испытаниях нагрузка изменяется по опре деленной программе. При этом может воспроизводиться полный спектр эксплуатационных нагрузок или некото рое приближение к нему. Применение программирован ного режима приближает результаты испытаний к ре зультатам эксплуатации и во многих случаях уменьшает время испытаний.
6.7. О статистических методах обработки наблюдений
Входе испытаний или эксплуатационных наблюдений исследователь получает выборку л:ь х2,..., хп объема п.
Элементы выборки могут представлять собой числа от казов изделия на определенном интервале времени, ве личины линейного износа за определенное время, значе ния наработки до первого отказа, значения времени восстановления изделия и т. д.
Методы математической статистики позволяют по свойствам выборки сделать выводы о свойствах гене ральной совокупности [35]. Одной из задач математи ческой статистики является оценка параметров распре деления генеральной совокупности. Кратко опишем ре шение этой задачи. По выборке можно определить так называемые точечные оценки параметров распределения.
Например, х и s2, вычисленные по формулам (1.1) и ( 1 . 2 ), являются точечными оценками математическою ожидания а и дисперсии а2 генеральной совокупности.
Располагая точечной оценкой а0 , ничего нельзя ска зать о точности, с которой произведена оценка соответ ствующего параметра а генеральной совокупности. По этому наряду с точечной оценкой а 0применяется довери
тельный интервал (а 0 - -t)\,«0+ 6 2 ), в котором |
с высокой |
|
вероятностью 1 -р будет находиться истинное |
значение |
|
параметра а генеральной совокупности. |
Число р явля |
|
ется наибольшим значением вероятностей, |
при которых |
|
событие считается практически невозможным, и называ ется уровнем значимости. Величина 1—р называется
доверительной вероятностью.
Обозначим отклонение выборочного параметра а0 от ill
исследуемого генерального |
а через Ли. |
Пусть f(x). n |
|||||
F ( x ) |
есть плотность |
и функция распределения слу |
|||||
чайной |
величины |
Да, |
a 6 — некоторое |
| |
положительное |
||
число. Обозначим вероятность того, что |
Д а I не превос |
||||||
ходит 6, |
через Р ( |
I Да | < б ) . |
Имеем |
|
|
||
Р 11 Д а |< 8 ) = Р 11 а — а„ | < о | = Р | а „ - 6 < г /. < а „ + 6 ) ; |
|||||||
■ |
Р { а „ — 6 < а ^ а « + б ) = -jОf(x)dx = |
F ( b ) — F ( - b ) . |
|||||
Таким образом, располагая f (х) или F (х), -легко вычис лить вероятность неравенства
«о—б а < (70 +б.
При оценке надежности часто решается обратная задача: по заданной вероятности р определяют дове рительные границы. Обычно решение этой задачи имеет вид
|
|
4fi(v |
, ) 4 < a < ^ ( v |
_р_). |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
где |
р |
4J'i и х^ 2 — некоторые функции; |
|||
v |
и v |
р |
— симметричные |
квантили распре- |
|
1 |
д- |
|
1 ЬТ" |
деления некоторой случайной |
|
•• |
|
|
|
||
|
|
|
|
величины v; |
|
а— оцениваемый параметр распределения гене ральной совокупности.
'Квантилем vp случайной величины v, имеющей функ цию распределения F(x), называется такое значение
случайной величины v, при котором р ( v < v p ) =р. Дру гими словами, vp есть решение уравнения F( vp■)■= /?. Квантиль vp называется р-\00%-ным квантилем. Кван
тили того или иного распределения находятся по стати стическим таблицам.
Другая важная задача математической статистики состоит в проверке статистических гипотез. Статисти ческой гипотезой называется некоторое предположение о значениях генеральных статистических характеристик или о неизвестном распределении F(x) той или иной величины. По данным выборки вычисляются некоторые статистические показатели, называемые критериями
112
fipoeepKu. Пользуясь этими критериями, исследователь устанавливает, соответствуют ли экспериментальные данные выдвинутой гипотезе. По результатам проверки гипотеза может быть либо отвергнута, либо не отвер гнута.
Гипотеза называется параметрической, если функция распределения F (х) задана отдельными параметрами и строится относительно этих параметров. Выдвигаются также гипотезы другого вида, основой которых не яв ляются допущения о конкретном виде распределения. Эти гипотезы называются непараметрическими. С их по мощью проверяется наличие предполагаемой функции распределения.
6. 8. Статистическая оценка параметров распределения
Интервальная оценка среднего значения. В резуль тате изучения ^надежности изделия получили ряд незави
симых наблюдений |
случайной |
величины Х:хи х2,..., хп . |
По формулам (1.1) |
и (1.2) |
вычислены выборочное |
среднее л* и выборочная дисперсия s2. Требуется найти интервальную оценку генерального среднего а при уров
не значимости Iр. |
^ |
» • • • , |
Если наблюдаемая случайная величина X имеет нор |
||
мальное распределение, оценка генерального среднего а определяется выражением:
|
х - 4 = |
р ч < а ч< * + 4 = t |
„ , |
(6 . 1 ) |
|
|
\ |
п |
У п |
{~ ~ Т |
|
где j |
п — объем выборки; |
(распределения |
|||
t |
'р — |
квантиль /-распределения |
|||
1 ~ |
~ 2 ~ |
Стыодента), взятый для f= ti—1 степеней |
|||
|
|
||||
|
|
свободы. |
|
|
|
Как известно, |
величина / задается выражением |
|
|||
s
Распределение величины t зависит от числа степеней свободы, свойственного дисперсии s2. Квантили распре деления Стыодента приведены в приложении 2 .
113
Пример. Проведены наблюдения за 20 станками и получены сле дующие величины их срока службы (в месяцах двухсменной работы) до выхода за пределы норм точности: 20, 21, 21, 15, 18, 20, 24, 19, 23, 22, 16, 19, 23, 21, 20, 24, 21, 26, 22, 25.
Найти интервальную оценку генерального среднего а срока служ бы станков при условии, что срок службы подчиняется нормальному распределению. Принять уровень значимости р=0,10.
Точечная оценка среднего срока службы
* = -jr L /= 2 5 -(2 0 + 2 1 + ...+ 2 5 )= 2 1 ;
точечная оценка дисперсии
S2= |
•— .v)2= j^”[(20— 21 )2+ (21— 21 )2+...+ (25— 21 )2] — 7,4; |
||||
выборочное среднее квадратическое отклонение |
|||||
|
|
|
s = K s ?=2,7. |
|
|
|
При /7 = 0 ,10 и числе степеней |
свободы f= n —1= 19 по табл. 2 |
|||
приложения имеем t |
f |
=to 9 5 = 1,73. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Получаем оценку: |
|
|
|
|
|
2,7 |
•1,73 < я |
< 2 1 + |
2,7 |
|
|
21— |
|
1,73, |
||
|
V 20 |
|
|
У 20 |
|
или приближенно 2 0 |
< а < 2 2 . |
|
может оказаться оши |
||
|
Так как р= 0,10, |
полученное неравенство |
|||
бочным не более чем в 1 0 |
случаях из 1 0 0 . |
|
|||
Если случайная величина X распределена экспонен циально, доверительный интервал для ее среднего зна чения определяется по формуле
|
|
|
|
2 хп |
<а < Т2 |
2 хп |
|
(6. 2) |
|
|
|
|
|
Х2п |
Р_ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
где |
2 |
2 |
Р |
— квантили |
распределения |
х2 (распре |
|||
х р . X |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
деления |
Пирсона) |
с 2 |
п степенями |
||
|
|
|
|
свободы. |
хг,--, |
х п через х2 °бо- |
|||
|
Для выборки с элементами |
||||||||
значается сумма |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2— у ( xi |
х \ 2 — fs2 |
|
|
||
где |
f — n— |
1 |
число степеней свободы. |
|
|
||||
114