Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

ОГЛАВЛЕНИЕ

Невозможность некоторых алгорифмов, связанных с конструк­ тивными действительными числами

§1. Некоторые алгорифмические проблемы, связанные с от­ ношениями равенства и порядка на конструктивном кон­

§2. Некоторые критерии интегрируемости. Интегрируемость равномерно непрерывных функций. Интегрируемость мо­

Конструктивные метрические пространства

§1. Конструктивные метрические пространства. Основные определения, некоторые примеры. Пополнение кон­

§3. Теорема о выборе перечислимого покрытия. Усиленная форма теоремы непрерывности. Некоторые контрприме­

Посвящается Андрею Андреевичу Маркову

к его семидесятилетию

ОТ АВТОРА

В основу настоящей книги положен специальный курс, читавшийся автором на механико-математическом факультете Московского университета. Излагаемый ма­ териал не предполагает почти никаких предваритель­ ных знаний и вполне доступен читателю, владеющему стандартным курсом математического анализа. Более подробная характеристика книги приведена в п. 9 вве­ дения.

Автор глубоко благодарен своим учителям А. А. Мар­ кову и Н. М. Нагорному, без многолетнего плодотвор­ ного общения с которыми эта книга не могла бы быть написана.

ного Совета по комплексной проблеме «Кибернетика» академика А. И. Берга и сотрудников Совета Б. В. Би­

ВВЕДЕНИЕ*)

1.Как известно, к началу 20-го века, благодаря ра­ ботам Коши, Больцано, Вейерштрасса, Кантора, Дедекинда и Мерэ, математический анализ получил свое

для теоретико-множественного стиля мышления: 1) до­ пущение такой далеко идущей абстракции, как абстрак­ ция актуальной бесконечности, позволяющей рассмат­ ривать «завершенные» бесконечные совокупности одновременно существующих объектов; 2) свободное применение при рассуждениях о бесконечных совокуп­ ностях обычных правил традиционной логики — в част­ ности, допускается неограниченное применение закона исключенного третьего.

Теоретико-множественные методы позволили перейти от расплывчатых «динамических» концепций старого анализа бесконечно малых к строгой «статической» системе понятий современной теории пределов. Стано­ вящийся, развивающийся натуральный ряд заме­ нился представлением о совокупности всех натуральных чисел, связываемый с бесконечно малой процесс свел­ ся к понятию функции, в свою очередь трактуемому

нок отражает личную точку зрения автора, ответственность за ко­ торую полностью ложится на него одного. Сжатый обзор основных методологических установок конструктивного направления в мате­

очевидным ограничениям (в функциональном множестве не должно быть двух разных пар с одинаковой первой компонентой). Реальная или кажущаяся естественность и обозримость вводимых таким образом понятий, удоб­ ство обращения с ними, доставляемое использованием привычных логических средств, в значительной мере стимулировали развитие математического анализа и создавали ощущение предельной строгости его построе­

рия множеств была потрясена обнаруженными на ее

эти парадоксы и не относились непосредственно к ана­

ресное обсуждение парадокса Ришара можно найти в книге Б о р е л я [1; стр. 162])), все же ситуации, харак­ терные для появления парадоксов, обнаруживались уже в такой начальной области анализа, как теория дей­ ствительных чисел. Это и чрезвычайно большая свобода образования понятий (например, континуум по Дедекинду есть множество всех множеств рациональных чисел, подчиненных некоторым достаточно слабым огра­ ничениям), и использование непредикативных опреде­ лений, когда некоторые объекты определяются в терми­ нах множеств, которым они сами должны принадлежать (именно такой характер носит, например, определение точных границ числовых множеств).

С другой стороны, независимо от проблемы парадок­ сов, не прекращалась восходящая к Гауссу и Кронекеру критика изначальной принципиальной приемлемости основных теоретико-множественных установок. С осо­ бенно острой и последовательной критикой выступил Брауэр. Критика эта (к которой затем присоединился и занимавший вначале особую позицию Г. Вейль) сопро­ вождалась развитием оригинальной программы построе­ ния математики, известной ныне под названием «интуи-

ционизм» (или «неоинтуиционизм»). Брауэр и его по­ следователи энергично возражали как против веры в

интуиционизма предметом исследования математики яв­ ляются умственные построения, рассматриваемые как таковые «безотносительно к таким вопросам о природе

Математические утверждения суть информации о вы­ полненных построениях. Обращение с умственными по­ строениями требует особой логики, не принимающей, в частности, в сколько-нибудь полном объеме закона

шенное, целиком предъявленное для рассмотрения мно­ жество натуральных чисел должно было уступить место потенциально бесконечному натуральному ряду, беско­ нечному в своем развитии, в возможности построения все новых и новых натуральных чисел; континуум из плохо отвечающего геометрической интуиции конгломе­ рата отдельных точек превратился в своего рода «среду становления», обеспечивающую возможность неограни­ ченного развития путем актов выбора свободно становя­ щейся последовательности измельчающихся рациональ­ ных интервалов. Однако, хотя интуитивная ясность и является, согласно позиции интуиционистов, главным и единственным критерием математической истинности, именно этому критерию, по мнению многих математи­ ков, часто не удовлетворяли как философские посылки,

теорию континуума как революционную и «полумисти­ ческую») * ) .

*) Для подробного ознакомления с философией и математи­ ческой практикой интуиционизма можно обратиться к цитированной