Файл: Кочергин, А. И. Основы надежности металлорежущих станков и измерительных приборов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
|
|
Квантили распределения |
случайной |
величины / |
2 |
да |
||||||||||||||||||
ны в приложении 3, 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример. |
Наработка |
(в |
минутах) |
между |
последовательными |
|
от |
|||||||||||||||||
казами автоматической линии равна 20, 20, 5, 5, 5, |
5, |
15, |
15, |
5, |
20,40, |
|||||||||||||||||||
5, |
5, |
10, |
10, |
25, |
10, |
5, |
5, |
10, |
30, |
25, |
10, |
10, |
10, |
5, |
15, |
20, |
5, |
25, |
5, |
25, |
15, |
|||
15, |
15, |
20, |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Распределение наработки между отказами экспоненциальное. |
|
Т при |
||||||||||||||||||||||
|
|
Найти доверительный интервал |
для наработки |
на отказ |
||||||||||||||||||||
уровне значимости /?=0 ,1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Объем |
выборки |
п = 37, |
х=13,5 |
мин. |
При |
/7 = 0,10 и числе сте |
||||||||||||||||
пеней свободы 2n = 74 по приложениям 3,4 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X2 |
р |
=Х2о,05=95,1; |
х2 |
|
р = |
Х2о,95 = 55,2. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
{ ~ ~ 2 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (6 . |
2) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2-13,5-37 ^ |
|
х |
2-13,5-37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
95,1 |
|
< |
|
|
|
55 2 |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
10,4 < |
Т <17,9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интервальная оценка дисперсии а2. Доверительный интервал для о2 строится с помощью /^распределения. Если случайная величина X распределена нормально, двусторонняя доверительная оценка генеральной дис персии задается неравенством
/V |
9 |
fs* |
-J-1------- Х< |
о2 |
< 4 — . |
X , л _ |
|
X |
2 |
|
2 |
6. 9. Проверка статистических гипотез
Сравнение дисперсий. Пусть сделаны две выборки. Одна выборка из генеральной совокупности с дисперсией <Ti2 (дисперсия этой выборки Si2 имеет f\ = n\ — 1 степеней свободы); вторая — сделана из генеральной совокуп ности с дисперсией о22 и характеризуется выборочной дисперсией S22 при числе степеней свободы f2 = n2—1 . Необходимо выяснить, являются ли выборочные диспер
сии Si2 и s22оценками одной и той же |
генеральной дис |
|
персии при уровне значимости р. Выдвигается |
гипотеза |
|
о равенстве генеральных дисперсий: |
ст!2 = 0 2 2, |
которая |
называется нулевой гипотезой. |
|
|
115
Для проверки этой гипотезы применяется отношение
(6.3)
где si2 = max (s\2, s22).
Распределение величины F называется F-распрёделе- нием Фишера, квантили его приведены в приложении 5. В случае нулевой гипотезы
gi2 = G22 и F — si2:s22.
Если по смыслу эксперимента неравенство (712 <сг22не
выполняется, нулевая гипотеза отвергается |
при |
S\‘ |
|||
- р |
( / ь Ы - |
|
|
|
и g22> |
Если |
заранее неизвестно соотношение между ai2 |
||||
нулевая гипотеза отвергается при |
Si2 |
р |
(/ьМ- |
||
—2 ^ ^ |
|||||
|
|
S‘i |
1 2 |
|
при |
Пусть теперь надо сравнить к дисперсий |
(к'>2) |
||||
уровне значимости р. Сравнение |
осуществляется |
с по |
|||
мощью критерия Кохрана. При этом сравнивается отно шение
max(s2 i, s22,..., s2k)
(6.4)
'b’i2H-522-h-*-+‘s2ft
с квантилем Gj_pраспределения Кохрана (табл. 6 при ложения). Если G^>Gi_p. нулевая гипотеза отвергается.
Сравнение средних. Пусть взяты две выборки: Хи *2,..., х щ и уи //2 ,—, Уп2 из двух различных генераль
ных совокупностей с генеральными |
средними аи |
и |
|
дисперсиями oi2 и о22- |
Средние и дисперсии выборок: |
||
X Иу, Si2 и s22. |
генеральные |
совокупности |
рас |
Предположим, что |
|||
пределены нормально. |
В зависимости от соотношения |
||
между si2 и s22 возможны два случая. Первый из них ха рактеризуется тем, что Gi2 = (722 (это устанавливается по экспериментальным данным с помощью критерия Фише
ра). |
Тогда |
средневзвешенная дисперсия определяется |
||||
по формуле |
|
|
|
|
||
|
|
,2 _ |
(«1—И Sl2 + ( » 2—1) S22 |
(6 |
. 5) |
|
. . |
' • ' |
6 _ |
«1+ « 2— 2 |
|||
|
|
|||||
и имеет / = /ii+n 2—2 степеней свободы.
116
Н у л е в а я г и п о т е з а а \ = а 2 о т в е р г а е т с я , |
е с л и |
|
\ x — y \ > t |
р |
(6.6) |
п1 п2
при двустороннем критерии или |
|
|
l x - i i > / t 1_ps V /~_L + |
_L |
(6.7) |
П\ |
п2 |
|
при одностороннем критерии. Здесь используются кван тили распределения Стьюдента с / = п 1+ п 2—2 степенями свободы.
Во втором случае, когда о\2 ф о22, нулевая гипотеза отвергается при
с2. |
t 1— р |
+ -*- t |
|
L l |
1 |
||
~пх |
-f-./i |
п2 |
- |
х — у ! Г: |
|
|
( 6. 8) |
/£!l+ £!?
«1 ‘ 11-2
Здесь используются квантили распределения Стьюдента с !\ = п\ — 1 и / 2 = ^2 - - 1 степенями свободы.
Если в последнем неравенстве заменить 2Р на р, этот
двусторонний критерий превращается в односторонний.
Задачу о сравнении средних приходится решать при рассмотрении влияния конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на изменение показателей
надежности изделий. I
Проверка гипотез о виде распределений. Эта провер ка является одной из важных задач, возникающих при обработке результатов испытаний на надежность и из носостойкость. Эту задачу можно решать аналитически и графически. Здесь рассмотрим графический метод проверки гипотез с использованием вероятностной бума ги [7]. Графический метод позволяет избежать больших расчетов, но является приближенным.
Вероятностная бумага нормального распределения (нормальная бумага) изображена на рис. 6 . 13. На осп абсцисс откладывается время, на оси ординат — накоп-
ленные частоты. Правила пользования вероятностной бумагой рассмотрим на примере.
Пример. При обследовании 50 станков получены значения сроков службы т/до выхода за пределы норм точности. Сроки службы, выраженные в месяцах двухсменной работы, занесены в табл. 6 . 1 .
С помощью нормальной бумаги проверить гипотезу о нормальном распределении сроков службы и в случае, если эта гипотеза не будет отвергнута, оценить параметры распределения Т и о.
118
Табл. 6. 1. Данные о сроках службы станков до выхода за пределы норм точности
Срок |
службы |
Накопленная |
Срок службы |
Накопленная частота, |
в месяцах |
частота, |
в месяцах |
||
двухсменной |
v(V |
двухсменной |
v(V |
|
работы, xf- |
работы, т • |
|||
|
1 2 |
0 , 0 1 |
31 |
0,51 |
|
1 2 |
0,03 |
31 |
0,53 |
|
15 |
0,05 |
31 |
0,55 |
|
15 |
0,07 |
32 |
0,57 |
|
16 |
0,09 |
32 |
0,59 |
|
16 |
0 , 1 1 |
33 |
0,61 |
|
16 |
0,13 |
33 |
0,63 |
|
17 |
0,15 |
34 |
0,65 |
|
17 |
0,17 |
34 |
0,67 |
|
18 |
0,19 |
35 |
0,69 |
|
18 |
0 , 2 1 |
36 |
0,71 |
|
19 |
0,23 |
36 |
0 73 |
|
2 0 |
0V25 |
36 |
0,75 |
|
23 |
0,27 |
37 |
0,77 |
|
25 |
0,29 |
39 |
0,79 , |
|
25 |
0,31 |
39 |
0,81 |
|
25 |
0,33 |
40 |
0,83 |
|
27 |
0,35 |
40 |
0,85 |
' |
27 |
0,37 |
41 |
0,87 |
28 |
0,39 |
42 |
0,89 |
|
|
29 |
0,41 |
43 |
0,91 |
|
29 |
0,43 |
43 |
0,93 |
30 |
0,45 |
44 |
0,95 |
|
|
30 |
0,47 |
45 |
0,97 |
|
30 |
0,49 |
52 |
0,99 |
На бумаге |
нормального распределения |
обкладываем |
точки |
||
(т/, v(x/), при |
этом накопленные частоты v (х/ |
) можно вычислить |
|||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
= |
1—0,5 |
|
(6.9) |
|
|
|
— , |
|
||
где i — порядковый номер; |
|
|
|
|
|
N — общее число данных. |
|
|
|
ариф |
|
Для равных друг другу величин т/ откладываем среднее |
|||||
метическое частот, соответствующих |
одинаковым значениям т. Из |
||||
вестно, что на нормальной бумаге функция нормального распреде ления изображается прямой линией. Поэтому гипотеза о нормальном распределении не отвергается, когда экспериментальные точки хоро шо ложатся на прямую. В противном случае гипотезу о нормальном распределении следует отбросить.
1 1 9
Рис. 6. 14. Вероятностная бумага экспоненциального распределения
120