Файл: Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие.pdf

формы (неограниченная пластина, неограниченный и полуог-

раниченный цилиндр, цилиндр конечных размеров и д р .).

Эти решения во многих случаях могут быть использованы

для решения прикладных задач, возникающих в ядерной

энергетике.

Для аналитического описания процесса нестационарной

теплопроводности необходимо использовать дифференциаль­

ное уравнение теплопроводности и задать условия одно­

значности.

124

Рассмотрим тело с внутренними источниками тепла

Дифференциальное уравнение теплопроводности для этого

случая запишется в виде

Физические параметры тела при аналитическом решении задач нестационарной теплопроводности обычно принима­ ются не зависящими от температуры. Граничные условия могут быть заданы различными способами.

125

2. Граничные условия второго рода - задается плот­ ность теплового потока для каждой точки на поверхно­ сти тела как функция времени

%<?) - Д (?)■

3. Граничные условия третьего рода - задается темпе­ ратура окружающей среды t и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Гранич­ ные условия третьего рода обычно характеризуют закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой и для упрощения задаются в виде за­ кона Ньютона

где п - нормаль к поверхности тела|

найти зависимость между температурой, временем и коор­ динатами.

Уравнение (4 .1 ) при постоянных физических парамет­ рах твердого тела является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными.

Решение этого уравнения может быть найдено методом разделения переменных или же операционным методом.

126

Рассмотрим общий прием решения дифференциального уравнения теплопроводности для твердого изотропного те ла при наличии внутренних источников тепла. Для упроще ния будем рассматривать одномерный поток тепла. Диффе­ ренциальное уравнение теплопроводности для рассматрива емого случая запишется в виде

Обозначим:

О©

L[Ux'T^^tfxtfe^cCi = T(*s);

производных по координатам равно производным от изо­ бражения, т .е . получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно изображения

$ T ( x , S ) - t ( x , 0 ) = а * ~ £ ж й ^ +

127

иди

. Для решения уравнения (4 .3 ) можно также во­ спользоваться повторным преобразованием Лапласа отно­

экспериментов в критериях подобия, можно результаты одиночных опытов распространить на группы подобных явлений. Критерии подобия при этом имеют смысл обоб­ щенных координат. Для получения критериев подобия, ха­ рактеризующих процесс нестационарного теплообмена в твердом теле, необходимо использовать дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности.

Покажем это на примере твердого тела без внутрен­ них источников тепла при задании граничных условий

128

Вводя множители подобного преобразования и сравнивая две подобные меаду собой системы, из уравнений (4 .4) и (4 .б) соответственно находим:

ности) характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими свойствами и разме­

твердом теле и условиями теплоотдачи на его поверхно­ сти. Этот критерий является мерой отношения внутрен­ него и внешнего термических сопротивлений.

Таким образом, критериальное уравнение, характери­ зующее процесс нестационарной теплопроводности в твер­ дом теле без внутренних источников тепла, для рассма­ триваемой задачи запишется в виде

в - f(Fo,Bi),