ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 0
Феррари, Вильсон и Ван-Дрист распространили метод Рей нольдса на турбулентный пограничный слой теплоизолированной пластины, обтекаемой сжимаемым потоком, и позже Ван-Дрист [251 ] обобщил этот метод для течения с теплообменом.
После ряда преобразований, упрощений и отбрасывания чле нов второго порядка малости основные уравнения обобщенного решения Ван-Дриста приобретают следующий вид.
Уравнения движения:
— ди , — ди . — ди д , —— ,
Р~дГ + Ри Ш + Рут^=: ж (-рм) +
+ |
[ Р х - (р«)'«'] |
I- |
Itу х — (Р»)'и']; |
(IV.35) |
|
- ди , — dv . — dv |
д . , |
. |
|
||
+ |
[Pj, — (ри)'и] + |
^ |
[Тед — (рн)V ]. |
(IV.36) |
|
Уравнение энергии
Р W (сгТ) + рй (Cpf) + pvjy {срТ) — -fr =
= |
|
+ - ^ [ - Ср( Й Т 7] - |
|
|
-(РЧ >'«'-|-; |
(IV.37) |
|
для установившегося |
движения: |
|
|
рй ^ |
+ pv Щ |
[— И)'и']; |
(IV.38) |
РМ-^(срТ) + ^ ^ |
г ( с /) = |
|
|
= ^ [ - С р Й Т ] - |
(р й х § • |
(IV.39) |
|
Дополнительные члены, появившиеся в уравнениях движения и энергии, представляющие собой производные от произведений турбулентных пульсаций скорости или температуры на пульсацию плотности или на пульсацию произведений плотности на скорость, а также произведений этих величин на производные скорости, были впоследствии названы кажущимися турбулентными напряже ниями и дополнительными присоединенными членами диссипатив ной функции.
107
Уравнения (IV.35)—(IV.37) в сочетании с уравнением нераз рывности являются исходной системой для определения осредненных величин, характеризующих турбулентное течение сжимае мого газа. Входящие в эту систему дополнительные члены, связан ные с возникновением кажущихся турбулентных напряжений и присоединенных членов диссипативной функции, делают эту си стему незамкнутой, и поэтому она не имеет рационального решения. Даже для такого простого случая, как обтекание плоской пластины, когда процессы движения и теплообмена описываются сравни тельно простыми уравнениями (IV.38) и (IV.39), незамкнутость системы сохраняется. Влияние сжимаемости сказывается в том, что кроме пульсаций скорости и давления, характерных для обте кания несжимаемым потоком, в уравнениях появляются члены, содержащие пульсации плотности, температуры и пульсации про изведения плотности на составляющие скорости. Эти величины содержатся как в уравнении движения, так и в уравнении энергии и делают принципиально неотделимыми тепловую и динамиче скую задачи.
Задача о турбулентном движении, таким образом, рациональ но не может быть решена до тех пор, пока не будет установлена связь между пульсационным и осредненным движениями. Для установления этой связи нужны дополнительные уравнения, определяющие статистические характеристики турбулентных пульсаций. Объем наших знаний о турбулентном движении на столько ограничен, что не позволяет в настоящее время устано вить эти уравнения точно, аналитически. В связи с этим при ре шении различных задач турбулентного обмена для замыкания основной системы дифференциальных уравнений широко исполь зуются различные эмпирические соотношения.
19. Современные представления о механизме турбулентного обмена
Невозможность получения замкнутой системы уравнений, определяющих процесс турбулентного обмена, при настоятель ной необходимости решения ряда практических задач, связан ных с турбулентным обтеканием, заставила исследователей про водить экспериментальное изучение процессов турбулентного обмена для конкретных частных задач и создавать полуэмпирические или эмпирические теории турбулентности, основанные на некоторых гипотезах и экспериментальном апробировании. Для задач турбулентного обтекания несжимаемым потоком при уме ренном теплообмене (T J T т 1) накоплен обширный эксперимен тальный материал, который позволил сформулировать основные представления и получить практически удобные расчетные фор мулы, удовлетворительно согласующиеся с экспериментами. Для потока сжимаемого газа такая возможность отсутствует из-за ограниченности имеющихся опытных данных.
108
Впервые гипотеза о связи сил кажущейся вязкости, вызван ных турбулентным перемешиванием, с осредненными скоростями была высказана в работе Т. В. Буссинеска, который предложил определять турбулентное касательное напряжение т формулой, аналогичной формуле для соответствующего напряжения в лами нарном потоке, т. е. предложил ввести понятие коэффициента турбулентного обмена А и коэффициента кажущейся турбулент ной вязкости:
Е = Л/р; |
(IV.40) |
, = / l f = p E f . |
(IV.41) |
Основным недостатком гипотезы Буссинеска является невоз можность непосредственно представить коэффициенты А и Е (как некоторые физические константы жидкости) не зависящими
от скорости, как |
это можно сделать с коэффициентами р и г . |
Л. Прандтль в |
1926 г. предложил ввести для определения тур |
булентного обмена понятие пути перемешивания I, представляю щего собой поперечное расстояние, на которое переместится ча стица жидкости, двигаясь со средней скоростью своего первона чального слоя, для-того, чтобы разность ее скорости и скорости соседнего слоя стала равной осредненной скорости продольной пульсации скорости первоначального слоя.
На основе этих представлений продольная пульсация скоро-
ти и' |
запишется |
в |
виде |
|
|
|
|
■Лди |
(IV.42) |
|
|
|
Т у ’ |
|
Предполагая, что величина поперечной пульсации v' имеет |
||||
тот же |
порядок, |
что |
и величина и', т. |
е. что v' *=* и' *=» |
Прандтль получает выражение для турбулентного касательного напряжения
т = u V = р/2( |
(IV.43) |
или, более правильно,
х = р/2 |
ди |
ди |
(IV.44) |
~ду |
~ду’ |
Сравнивая формулы (IV.41) и (IV.44), можно получить выра жения для коэффициента турбулентного обмена
А = рР |
du |
(IV.45) |
dy |
||
и кажущейся турбулентной вязкости |
|
|
Е — /2 |
du |
(IV.46) |
|
dy |
|
109
Преимущество формулы Прандтля перед формулой Буссинеска заключается в том, что из формулы (IV.44) можно непосред ственно получить квадратичный закон сопротивления, характер ный для турбулентного течения, и, следовательно, величина /, хотя и не является физической константой жидкости, не зависит от скорости потока, а является только функцией точки.
Однако недостатком формулы Прандтля является невозмож ность ее использования для расчета кажущейся турбулентной вязкости в точках максимума или минимума скорости, так как
при -0 - = 0 из формулы (IV.46) следует, что и Е = 0, что в дей
ствительности не имеет места.
Карман в 1930 г. предложил для определения длины пути перемешивания I ввести гипотезу о подобии побочных движений во всех точках поля скоростей, т. е. предложил считать, что они отличаются только масштабами времени и скорости. При таком представлении турбулентного движения для слоистого течения
[и = |
и (у) и v — 0] |
получается |
формула |
|
|
|
|
du |
|
|
|
/ = х |
dy |
(IV.47) |
|
|
\ |
d2u |
i ’ |
|
|
\ |
dy2 |
I |
где |
к — некоторая |
универсальная |
постоянная, определяемая |
|
опытным путем. |
выражение |
Из этого соотношения получается |
|
т = |
(IV.48) |
легко переходящее в формулу Прандтля (IV.44).
Для случая безградиентного плоскопараллельного течения
Прандтль предложил формулу |
|
/ = ху. |
(IV.49) |
Это допущение позволило решить до конца уравнение движе ния и определить универсальный осредненный профиль скорости для любого сечения турбулентного пограничного слоя в виде
-Г = Т 1п У + С, |
(IV.50) |
где |
__ |
Сравнение этой теории с обстоятельными экспериментами Никурадзе по определению профилей скорости при движении
по