Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

В рассмотренном выше методе определения температуры поло­ жения узловых точек сетки и размер шага заранее фиксированы. В связи с этим метод Монте-Карло с фиксированным случайным блужданием, так же как и конечно-разностный метод, сталки­ вается с трудностью, связанной со сложностью границ, в задачах, содержащих в граничных условиях производные в направлении нормали. В случае тел сложной конфигурации линии сетки не выходят на границу под прямыми углами, поэтому представление граничных условий с производными в направлении нормали ста­ новится весьма приближенным.

Эти трудности устраняются при использовании идеи так назы­ ваемого плавающего случайного блуждания [27, 160, 195].

Температура в точке (х, у), являющейся центром круга ра­ диуса г, может быть точно выражена через температуру t (г, со)

= const, т. е. для элементарной дуги с/со вероятность dF не за­ висит от со. Следовательно, для случайно блуждающей частицы, находящейся в данный момент в центре круга и готовой к своему следующему шагу, каждое положение на окружности с угловой координатной со является равновероятным.

Допустим, что случайно блуждающая частица после i шагов находится в некоторой точке (х,-, yt). Строим окружность с цен­ тром в точке (xlt yt) и радиусом г,-, равным кратчайшему расстоя­ нию от точки (xt, yt) до границы (рис. 128, б). Так как существует равная вероятность достижения частицей любой точки окружно­ сти, то все случайные блуждания внутри круга можно исключить, поместив частицу на окружности в некоторой произвольно вы­ бранной точке (х4+1, г/1+1), координаты которой равны

Следующий шаг случайного блуждания выполняется с по­ мощью окружности с центром в точке (xi+1, у1+1) и радиусом г1+1, равным кратчайшему расстоянию от нового центра до границы, и т. д. Процесс можно повторять до тех пор, пока ча­ стица не окажется вблизи границы. Ни положение центра, ни величина шага случайного блуждания заранее не фиксированы, а изменяются в соответствии с выбором в процессе блуждания. Поэтому эти величины называются плавающими. При использо­ вании плавающего случайного блуждания исчезают трудности

318

к границе, движется по нормали к ней. Кроме того, сокращается время вычислений без уменьшения точности.

Остановимся кратко на вопросах оценки точности и времени решения задач по методу Монте-Карло.

В вычислительной практике оценить погрешность сложного расчета по теоретической формуле почти никогда не удается. О точности сложных расчетов судят по разным дополнительным соображениям: по сопоставлению результатов, полученных раз­ личными методами; по просчету модельных задач, точные решения которых известны; по сопоставлению результатов, полученных при разных сетках, и т. п.

При вычислении методом Монте-Карло строгая оценка погреш­ ности невозможна. Однако все указанные дополнительные сообра­ жения сохраняют силу. И в этом смысле метод Монте-Карло мало отличается от классических вычислительных методов, а за­ частую.имеет даже преимущество перед ними, так как даже в очень сложных расчетах нередко удается получить статистическую оценку погрешности.

Поскольку решения, получаемые методом Монте-Карло, являются средними из ряда отдельных испытаний, то уточнение этих решений может быть достигнуто увеличением числа испы­

случайная величина. Поэтому сумма этих величин приближенно равна математическому ожиданию величины v, умноженной на п, т. е. время решения задачи равно

Tpeui~ftn(£v). (VIII.54)

Доказано, что Ev — г2 (г — радиус области G). Вообще го­ воря, время решения задачи имеет порядок треш ;=* wr2/e2 (е — требуемая точность решения). Существенно, что это справедливо при любой размерности решетки, т. е. для любого числа незави­ симых переменных, от которых зависит искомая функция.

Машинное время решения задач по методу Монте-Карло зави­ сит от возможностей машины и в большой мере от выбора рацио­ нального алгоритма счета и, следовательно, от опытности и изо­ бретательности программиста.

319

Метод Монте-Карло обладает рядом особенностей, благодаря которым является особенно удобным для реализации на ЭВМ. Основными из этих особенностей являются следующие:

1) сравнительная простота и однородность последовательно­ сти операций;

2) использование сравнительно малого числа промежуточных результатов (при решении нужно помнить только величины х,

У, х 0, у (,)■

3) точность результата, позволяющая оперировать с числами малой разрядности.

На этих особенностях основана идея создания простых специа­

320

зывает трудности при хранении значений функции t в оперативной памяти машины и требует большого количества обращений к внеш­ ней памяти. Это приводит к большой потере машинного времени, а при решении многомерных задач вообще быстро выводит за пределы возможностей машинной памяти (оперативной и внешней) современных универсальных цифровых машин.

В методе Монте-Карло каждая точка сетки является просто местом, где произошло некоторое событие в цепи Маркова, по­ этому каждую частицу, проходящую через промежуточную узло­ вую точку, можно рассматривать как частицу, история которой началась в этой точке. В связи с этим, используя информацию, содержащуюся в таких предысториях, можно быстро построить полное распределение температуры во всей области без расчета температуры для каждой внутренней точки в отдельности. При этом время, затрачиваемое на определение одного значения тем­ пературы, не зависит от количества переменных в задаче. Это свойство метода приобретает особую практическую ценность, когда требуется определить температуру в отдельных характер­ ных точках сложного многомерного тела. Независимость вычисле­ ния температуры в одном узле от размерности решетки, т. е. приспособленность к решению многомерных задач, — основная особенность метода Монте-Карло.

Выше отмечалось, что при решении задач конечно-разностными методами возникают определенные трудности при аппроксимации сложных криволинейных границ. При решении же методом МонтеКарло этих трудностей нет. Время прогона программы МонтеКарло'очень слабо зависит от формы границ. Почти одинаково решаются задачи для тела со сложной границей и для такого простого, например, тела, как диск. Влияние небольшого изме­ нения границ на внутренние температуры можно определить обры­ ванием или продлением отдельных историй.

Точность результатов, полученных методом Монте-Карло, можно увеличить, рассматривая большее число историй (ограни­ чения здесь накладываются только имеющимся машинным вре­ менем). Это не всегда верно при использовании других методов конечных разностей из-за ошибок, возникающих вследствие от­ брасывания членов, и проблем сходимости.

Краевые задачи для эллиптических и параболических уравне­ ний, описывающие, в частности, процессы переноса тепла в эле­ ментах турбомашин, являются одной из перспективных областей применения рассмотренного метода.

21 Л. М. Зысина-Моложен и др