Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

ние электропроводной бумаги позволяет существенно упростить технику моделирования задач и саму конструкцию прибора. Вследствие электронной проводимости бумаги можно работать на постоянном токе, что упрощает измерительную схему и позво­ ляет получать более точные, чем на электролитах, результаты измерений. Эти модели непрерывно совершенствуются, и класс решаемых на них задач расширяется. Модели из электропровод­ ной бумаги применяются, в частности, для моделирования дву­ мерных температурных полей различных деталей паровых и га­

личными физическим константами, т. е. трудность учета неодно­ родности материала (это общий недостаток всех моделей из сплошных однородных проводников). Изготовление многослойной модели существенно усложняет моделирование и ликвидирует основное преимущество этого метода — простоту. В таких случаях, когда необходимо учесть неоднородность материала, лучше исполь­ зовать устройства, где непрерывный проводник заменен схемой из проводящих элементов.

Методика моделирования на электропроводной бумаге при граничных условиях первого — четвертого рода, техника изго­ товления моделей, описание схем и инструкция по эксплуатации серийных интеграторов типа ЭГДА содержатся в книге П. Ф. Фильчакова и В. И. Панчишина.

Подробная библиография работ, в которых используется этот метод моделирования, содержится во многих обзорах по методам моделирования, в частности в [90].

Для решения широкого круга задач применяются различные комбинированные модели, в частности состоящие из элементов сеточных моделей и сплошных сред. В качестве последних может применяться любая сплошная среда — электролит, электропровод­ ная бумага и др. С помощью таких комбинированных моделей можно более точно задать форму тела и условия теплообмена на его границах, сократив при этом объем вычислений. На комбини­ рованных моделях можно решать как стационарные, так и неста­ ционарные задачи [90].

Для решения сложных проблем энергетики, в частности для определения оптимальных условий переходных процессов в тур­ бомашинах, эффективно создание и использование аналого-цифро­ вых комплексов.

50. Решение задач теплопроводности вероятностными методами

О принципиальной возможности решать дифференциальные и разностные уравнения теплопроводности вероятностными метог

313

представляла теоретический интерес, но практически мало ис­ пользовалась. Широкое развитие и практическое применение эти методы получили в связи с исключительными возможностями, которые дают ЭВМ.

Рассмотрим метод статистических испытаний, известный в ли­ тературе также как метод Монте-Карло [17]. Свойства этого ме­ тода делают его особенно удобным для создания алгоритмов, хорошо приспособленных к реализации на цифровых вычисли­ тельных машинах.

Идея метода статистических испытаний состоит в решении различных задач вычислительной математики путем построения для каждой задачи случайного процесса с параметрами, равными искомым величинам этой задачи. При этом приближенное опре­ деление этих величин происходит путем наблюдения за случай­ ным процессом и вычисления его статистических характеристик, приближенно равных искомым параметрам. Основное в этом методе — совокупность приемов, позволяющих переходить от реальной вычислительной задачи к удобно реализуемому в вычи­ слительной машине случайному процессу с конечным числом состояний и дискретным временем. Таким образом, вместо решения аналитической задачи моделируется случайный процесс и для приближенного решения данной аналитической задачи исполь­ зуются статистические оценки вероятностей.

Неверно мнение, на наш взгляд, что метод статистических испытаний может с успехом применяться только к задачам, ве­ роятностным по своей природе, для исследования случайных процессов. Разумеется, для таких задач его использование наи­ более логично и эффективно, и в настоящее время наибольшие успехи в применении этих методов достигнуты именно в этой области. Однако метод Монте-Карло может эффективно приме­ няться и к задачам, которые в своей постановке не связаны с тео­ рией вероятностей, в частности к краевым задачам для эллипти­ ческих и параболических уравнений, к которым относится и урав­ нение теплопроводности. Моделирование случайных процессов в этом случае оказывается очень удобным методом для нахожде­ ния решений дифференциальных уравнений в частных производ­ ных. Привлекательность и перспективность этого нового подхода выявляются в исследовании наиболее трудных задач теплопро­ водности — многомерных задач и задач с произвольно меняющи­ мися граничными условиями, которые могут содержать произ­ водные от температуры в направлении нормали к поверхности [160], т. е. в тех случаях, когда невозможно аналитическое ин­ тегрирование. И если до недавнего времени метод статистических испытаний считали применимым только для задач, описываемых линейными дифференциальными уравнениями и линейными гра­ ничными условиями, то в настоящее время он уже используется для решения нелинейных задач второго рода, т. е. при нелиней­ ных граничных условиях [195, 242]. Вполне естественно ожидать

314

появления вероятностных схем, связанных с нелинейными урав­ нениями первого рода (нелинейно само дифференциальное урав­ нение).

Рассмотрим основной принцип метода Монте-Карло и пока­ жем, почему случайное блуждание может служить моделью для описания процесса теилопроводности.

Сначала рассмотрим задачу стационарной теплопроводности, затем более сложный случай — задачу нестационарной тепло­ проводности.

Пусть требуется найти функцию t (х , у, т) внутри некоторой плоской области G, удовлетворяющую уравне­ нию Лапласа

сетки. Так как вероятность попадания частицы в каждую из четырех точек равна V4, то по теореме сложения вероятностей вероятность достижения частицей точки (х, у) на квадратной сетке можно представить равенством

Конечно-разностное уравнение (VIII.42), определяющее тем­ пературу во внутренней точке (х, у) области, по форме одинаково

315

с уравнением (VI 11.44), описывающим вероятность нахождения частицы в точке. (х, у) в процессе ее случайного блуждания. На этом основана возможность использования такого типа блужда­ ния в качестве модели для описания процесса теплопроводности.

Интересно отметить, что когда связь между краевыми задачами и случайными процессами была обнаружена впервые, то основной интерес вызвала возможность применить методы теории диффе­ ренциальных уравнений к исследованию случайных процессов. В методе Монте-Карло, наоборот, моделирование случайных процессов используется для нахождения решений дифференциаль­ ных уравнений.

Для определения температуры в точке (х , у) в этой точке при­ водится в движение случайно блуждающая частица, которая начинает блуждать от одной узловой точки к другой. Какое-то время она может блуждать взад и вперед вдоль одного отрезка. История блуждания такой частицы является цепью Маркова, в которой вероятность последующего события не зависит от ве­ роятностей предыдущих событий. Блуждание частицы продол­ жается до тех пор, пока она не достигнет некоторой границы. При достижении частицей узловой точки на границе блуждание прекращается и записывается известная в этой граничной точке температура £гр1. Затем из точки (х, у) выпускается вторая ча­ стица и т. д. Если через /гр f обозначить температуру в конце t-го блуждания, то решение для t (х , у) по методу Монте-Карло выражается в виде суммы

где п — общее число блужданий.

Таким образом, температура внутренней точки (х, у) опреде­ ляется осреднением п температур граничных точек, достигнутых беспорядочно блуждающими частицами. Принятие решения о пре­ кращении вычислений зависит от того, как меняется величина температуры относительно среднего из предварительно найден­ ных величин.

Рассмотрим теперь нестационарную двумерную задачу тепло­ проводности, описываемую при отсутствии источников тепла уравнением

(VIII.46)

В конечных разностях это уравнение имеет следующий вид:

4^ г [ * ( * + 1, У, т) — 2t(x, у, т) -\- t ( x -— 1, у, т)] +

+ 4 1* (*. У + т) — 2t(x, У, т)-И (х , у — 1, х)] =

t (х. У, X - f 1) — t {х, у, х)

(VIII.47)

316

Если приращения расстояний Ах, Ау и времени Ат выбрать такими, чтобы

то уравнение (VIII.47) запишется следующим образом:

Чх, у, T + I ) = j [ f ( X + l , у, т) + *(х— 1, у, т) +

+ *(*. У + 1, *) + *(*, у — 1, Т)]. (VIII.49)

Вероятностная интерпретация этого уравнения подобна той, которая соответствовала уравнению (VIII.42), а именно: частица, находящаяся в точке (х , у), имеет равную вероятность перейти в любую из четырех окружающих точек. Поэтому вероятность ее нахождения в точке (х, у, т + 1) должна составлять V4 от ве­ роятности нахождения в окружающих точках на предыдущем шаге:

Р(х, у, т + 1 ) = -^[Р(.г + 1, у, т) + Р(дг— 1, у, т) +

для определения вероятности нахождения частицы в некоторой точке аналогично по форме уравнению в конечных разностях (VIII.49), определяющему температуру тела в этой точке.

Подобно тому как это было сделано для стационарной задачи, можно описать применение способа случайного блуждания для определения нестационарного поля температур.

В точке (х, у) в момент времени лАт приводится в движение ча­ стица, которая отправляется в путь по узловым точкам в соот­ ветствии с получаемыми случайными числами. Обозначим через т накопленное число шагов в процессе блуждания. Если частица достигла граничной точки, когда п — т > 0 , то записывается температура этой точки в момент времени (k — т) Ат. Если же частица при k — т = 0 находится еще внутри тела, то записы­ вается начальная температура той точки, в которой справедливо равенство k — т = 0. Величины, которые записаны для каждой из п частиц, начавших случайное блуждание в точке (л:, у) в мо­ мент времени &Ат, суммируются. После деления суммы на п по­ лучается решение для температуры.

Размер сетки следует выбирать так, чтобы случайным обра­ зом блуждающие частицы достигли границы за приемлемое время, но чтобы число узловых точек было достаточным для правиль­ ного представления о распределении температуры.

317