Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

важно, что для несжимаемого потока тепловая и динамическая за­ дачи полностью разделяются, т. е. в уравнении (1.44) мы имеем дело только с характеристиками динамического пограничного слоя, а в уравнении (1.52) — с характеристиками теплового по­ граничного слоя.

Вследствие этого для определения сопротивления не нужно рассчитывать тепловой слой, а для расчета теплоотдачи не нужно рассматривать слой динамический, как это имело место в общем случае обтекания сжимаемым газом. Это обстоятельство весьма упрощает расчеты.

В связи с этим появился целый ряд работ, в которых иссле­ дователи пытались вводить различные новые переменные или пара­ метры, которые позволяли бы так или иначе сводить сложные урав­ нения к упрощенным.

Наиболее широкое распространение получили преобразования Дородницына—Стюартсона.

А. А. Дородницын предложил в 1942 г. [42] преобразование координат, которое учитывает влияние сжимаемости и в то же время позволяет придать уравнениям для обтекания сжимаемым потоком форму, близкую к уравнениям пограничного слоя для обтекания несжимаемым потоком. Было предложено вместо обыч­ ных переменных х и у ввести в основную систему уравнений новые переменные:

6 = (1.53)

Здесь ро и ро — значения р и р соответственно в адиабатно и изоэнтропно заторможенном внешнем потоке.

Введем новые переменные в уравнения (VII), (IX), (X), учи­ тывая, что

д _ д£ д

. дг± _3___р_ _д___,

_д_ .

дх

дх

дх дт]

р*

дх дт) ’

д _

_р_ _д_

(1.54)

 

~ д у ~

Ро *1 '

 

Рассмотрим случай, когда на внешней границе пограничного слоя течение изоэнтропное. Тогда, очевидно, будет иметь место соотношение

ft

p = p o (l-« S ) *- 1 .

(1-55)

Здесь

U

а 0

^2Г0 '

34

Соответственно из (1.55), используя (1.54),

можно получить

fe+i

( l _ a g ) - P ^ - ^ - .

(1.56)

- ^ ( l - a g ) * - 1 p0t/ - g - =

Поскольку внутри пограничного

слоя

— 0, что

следует

из уравнения (VIII), то, очевидно, соотношение (1.55) будет спра­ ведливо в любой точке пограничного слоя.

Нетрудно получить также выражения, связывающие значения в любой точке внутри пограничного слоя со значениями на внеш­ ней его границе, для следующих параметров:

_Р

Р

Т о

Ро

Ро

Т

(1.57)

(l-ag)*/**-11

(1.58)

И м

О

Л

 

t * \

-\п

(1.59)

‘ ■ -“ ’ - К т т - ' М ' + т

 

Ро

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

. а,- ~

=

 

(1.60)

 

V 2«о

У 2срТ'0

 

 

Используя полученные соотношения, можно переменные Дород­ ницына представить в виде:

| = J ( i _ ag)*-1 dx-

h = ( i

g)A-l l

___________ ^ -----------------

(1.61)

— ®о)

 

Если ввести

эти переменные в уравнение (VII) и

поделить

все члены уравнения на комплекс рр/р0, то можно получить урав­ нение движения в виде

3'

36

Если ввести

обозначение

 

 

 

 

____и____дп ,

 

 

и,

(1.63)

 

k

дх

-I"

 

 

(! -

‘А*-1

1 -— а 2 +

 

 

 

 

«о)

 

 

 

 

 

 

то можно представить уравнение (1.62) в виде

 

 

 

ди

, ~

ди

 

 

U

dl ^

 

Ж

 

1— об

 

 

+

v0 ЙГ)

 

 

II

п—1

ди

 

1-

“* + № - 1) ( 1 - 1

$

 

ждЧ-

(164)

Аналогичным образом вводя переменные Дородницына в урав­ нение (IX), можно получить следующий вид уравнения нераз­ рывности:

 

 

 

 

 

 

ди

.

d v

~

 

 

 

 

(1.65)

 

 

 

 

 

 

Ж

+

aTf

и'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

dUu

 

.

dUv

 

 

 

 

 

 

dU

~

ди

 

 

д\

 

1

5ri

 

= y(t + ^)+“ а Г + и ^ Г

 

( 1.66)

Используя уравнение

(1.65)

и учитывая, что

dU

= 0 , равенство

(1.66) можно

свести

 

к

выражению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dUu .

dUv

ди =

0.

 

 

 

(1.67)

 

 

 

 

 

ag '

Зт)

 

д1

 

 

 

 

 

Аналогично

можно

получить

 

 

 

 

 

 

ди2

 

дт

2и

.

~

ди

dv

 

ди ,

~

ди

(1.68)

ag +

"ЗтГ

 

 

 

U-3— =

и -==- + V

ай

 

 

 

 

 

ац

 

ag

1

 

Если ввести соотношение (1.68) в уравнение (1.64), то

(1.69)

Вычитая из уравнения (1.67) уравнение (1.69) и производя преобразования, аналогичные преобразованиям в п. 3, можно получить интегральное соотношение импульсов в переменных Дородницына:

 

u't 5** I 2

2

 

 

 

 

db** .

0

6*

То

г w

(1.70)

" 5 Г +

и

1— «8

1— d)

Т w

p0U2

 

36

Здесь

6*‘ = f l g r ( ' —

(1.71)

о

о

Введя переменные Дородницына в уравнение (X), разделив все члены уравнения на рр / р 0 и использовав выражение (1.63), получим уравнение энергии в виде

х U -

1—

дТ* . ~ дТ*

и —S.— v -з— =

д% 1 дт)

г,кЦк-\)

0 -« 8 )

1д

*ап X

Рг(1-«8)

[ > + ( Р г - | ) * ] [ . (1.72)

Используя уравнение сплошности (1.65), можно получить соотношения:

диТ0

WTо

*(*+£) +

~W~. +

ап

 

дТп

~ дТп

 

dTn

(1.73)

•Ь и- д% + и-an

 

d \ '

 

диТ* , dvT* ю

( ди ,

до

\

,

дТ* ,

г д г + ~ * г = т 1 а г + ^ г ; + и ж +

, ~

дТ*

дТ*

. ~ дТ*

(1.74)

+ " - * г = “ - а г + и ^ г -

 

Подставим соотношение (1.74) в уравнение (1.72):

диТ*

dvT*

 

 

 

ап

X

 

ап

 

 

 

 

 

Pr (1 — ай)*

1

 

(1 —

11

л

г

 

 

и2 -|

х U--------- /Г

N/----- Г + (Р [-

' )

г

(1.75)

1~ “ ’ + ( ^ - , ) ( ' - ^ ) ^ 1

 

 

"J

Далее, вычитая почленно из уравнения (1.73) уравнение (1.75) и интегрируя результат по т] в пределах теплового пограничного слоя, получим интегральное соотношение энергии для изоэнтропного течения в виде

аб

+ £

Ul_ I _ Ч _ \ _

то

Я

(1.76)

4

+ t ' J ~

tw

pcput;

37

Здесь

б

в

Сравнение уравнений (1.70) и (1.76) с уравнениями (1.44) и (1.52) показывает, что введение переменных Дородницына позво­ ляет разделить переменные теплового и динамического слоя, и сами уравнения становятся аналогичными уравнениям для об­ текания несжимаемым газом.

Использование координат Дородницына позволяет производить расчеты теплоотдачи и сопротивления при сверхзвуковых ско­ ростях без необходимости дополнительного учета влияния сжи­ маемости при числах М ^ 2,5 [118].

Преобразование координат, которое предложил в 1949 г. Стюартсон [243], является некоторой модификацией преобразо­ вания Дородницына, позволяющей превратить уравнение движе­ ния для течения сжимаемого потока в уравнение, полностью тождественное уравнению пограничного слоя для несжимаемого потока. Подробно этот метод проанализирован, например, в [118], здесь останавливаться на нем нет необходимости, потому что задачи теплообмена в турбомашинах не выходят за пределы, ограничивающие применимость переменных Дородницына.

| | Г Л А В А

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

6. Основные представления

Система дифференциальных уравнений, полученных в гл. I, как уже говорилось, является весьма сложной, и к настоящему времени аналитические ее решения получены только для ряда частных случаев.

Невозможность аналитического решения задачи в полном объеме способствует созданию приближенных решений, основан­ ных на введении гипотез, упрощающих либо постановку задачи, либо процесс ее решения. Полученные результаты, естественно, или будут приближенными, или дадут частные соотношения, справедливые в узком диапазоне изменения определяющих пара­ метров; в некоторых случаях такие решения могут привести и к совершенно неправильным результатам. Во всех случаях такое решение требует экспериментального апробирования.

В последнее время в связи с развитием машинной вычислитель­ ной техники широкое распространение получили численные ме­ тоды решения задач, причем успехи, достигнутые в этой области, таковы, что сейчас практически любая сколь угодно сложная задача может быть решена численно с любой заданной степенью точности. В результате такого решения может быть получен боль­ шой численный материал, на основе которого могут быть построены и некоторые аналитические соотношения между отдельными вели­ чинами, однако эти соотношения будут иметь частный характер (типа эмпирических соотношений) и не смогут вскрыть общих закономерностей и внутренних связей между определяющими пара­ метрами (особенно при большом числе переменных), характерными для данной задачи [35]. В этом существенное отличие численного решения от аналитического.

Экспериментальные исследования, которые широко приме­ няются для задач, не имеющих аналитического решения, в неко­ торых случаях являются единственным способом получить не­ обходимые количественные соотношения, характеризующие рас­ сматриваемую задачу. При правильной постановке эксперимента удается получить количественные соотношения, которые можно распространять на широкий круг подобных задач; при неправиль­

39

Смотрите также файлы