Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

ной постановке эксперимента получаются частные эмпирические соотношения, справедливые только для данной конкретной обста­ новки эксперимента в исследованном диапазоне изменения парамет­ ров. Кроме того, проведение надежных экспериментов в натурных условиях, как правило, оказывается невозможным, и приходится заменять их исследованиями на модели. При этом важно проводить моделирование таким образом, чтобы полученные на модели зако­ номерности имели обобщенный характер и их можно было бы рас­ пространить как на моделируемый образец, так и на целую группу подобных агрегатов.

Условия правильной постановки экспериментальных исследо­ ваний (в том числе и численного эксперимента), определяющие возможность получения обобщенных зависимостей, так же как и правила моделирования, устанавливаются теорией подобия и тео­ рией размерности.

Сущность теории подобия заключается в утверждении, что при изучении какого-либо явления не следует рассматривать в отдель­ ности влияние на процесс всех физических переменных, эти пере­ менные взаимосвязаны, и закономерности развития процесса опре­ деляются некоторыми устойчивыми комплексами, составленными из этих переменных. Такие комплексы выступают как обобщенные координаты процесса, причем одинаковые их численные значения могут достигаться многообразными путями за счет изменения вхо­ дящих в комплекс физических величин. Соотношения между та­ кими обобщенными координатами и выражают общие закономер­ ности, характерные для изучаемого явления. Теория подобия позволяет установить обобщенные координаты процесса, зави­ симость между которыми нужно находить при экспериментальном или численном исследованиях, для того чтобы полученные при этом зависимости были универсальными для изучаемого класса явлений.

7. Условия подобия

Каждый конкретный рассматриваемый рабочий процесс может быть отнесен к определенному классу явлений, описываемых не­ которой системой дифференциальных уравнений. Из этого широ­ кого класса данное конкретное явление выделяется, как известно, граничными и начальными условиями задачи. В связи с этим усло­ виями подобия будут тождественность уравнений и подобие усло­ вий однозначности (подобие граничных и начальных условий и геометрическое подобие). Два физических явления называются подобными, если для каждого из них значения любой переменной в сходственных пространственно-временных точках отличаются друг от друга на постоянный множитель. Для подобных явлений решения системы дифференциальных уравнений, определяющих процесс, должны быть подобны, т. е. каждое решение должно по­ лучаться из другого путем умножения каждой из величин, входя­

40

щих в решение, на постоянный множитель. Такое преобразование называется подобным.

Условия, определяющие возможность выполнения подобных преобразований решения при неизменности основных уравнений, сводятся по существу к условиям инвариантности уравнений [35]. Рассмотрим эту задачу применительно к полученным выше

ственно-временных точках должны выполняться условия:

Подставим эти соотношения в уравнения (VII), (IX), (X), причем уравнения напишем для второго процесса:

Как видно, полученная система уравнений для второго про­ цесса будет отличаться от соответствующей системы для первого процесса только коэффициентами, составленными из множителей /. Очевидно, для тождественности систем уравнений необходимо, чтобы в системе (II. 1), написанной для второго процесса, все эти коэффициенты сократились, т. е. условием подобия для рассма­ триваемого случая будет требование:

41

Подставляя вместо коэффициентов / отношение размерных ве­ личин, легко получить из соотношений (II.2) и (II.3), что для вы­ полнения требований подобия необходимо сохранить неизмен­ ность следующих комплексов:

Таким образом, условием инвариантности уравнений, или условием подобия, является условие равенства единице отношений типа Яу, или неизменность комплексов типа /Су.

Из этого анализа очевидно, что в целях соблюдения условий подобия невозможно произвольно задавать все мцожители по­ добного преобразования /. Ограничение накладывается требова­ нием соблюдения условий П,- = 1.

Можно показать, что число степеней свободы преобразования, т. е. количество произвольно выбираемых множителей преобразо­ вания /, определяется как разность п — г, где п — общее число множителей f (общее число переменных в уравнении); г — общее число комплексов Лу, получаемых из уравнения (число членов уравнения без одного) [35 ].

Для различных задач, описываемых различными системами уравнений, могут быть получены различные безразмерные ком­ плексы К/. Эти комплексы получили название критериев подобия. Каждому из критериев подобия присвоено обозначение и название, соответствующее имени известного ученого.

Поскольку каждый из критериев, как было показано выше, получается в результате сопоставления комплексов, составленных из множителей преобразования / двух членов дифференциального уравнения, то он отражает влияние на рассматриваемый процесс соотношения определенных воздействий, которым соответствуют сопоставляемые члены уравнения, и поэтому критерии подобия имеют глубокий физический смысл.

При рассмотрении любого процесса следует различать физи­ ческие переменные и параметры, задаваемые независимо (т. е. входящие в так называемые условия однозначности), и переменные и параметры, являющиеся функцией рассматриваемого процесса. Сопоставляя различные комплексы, составленные из множителей преобразования, при анализе уравнения, описывающего процесс, всегда можно подобрать их так, чтобы выделить критерии подо­ бия, состоящие только из величин, относящихся к первой группе.

В теории подобия показывается, что критерии подобия, со­ ставленные из величин второй группы, являются однозначными

42

функциями критериев, составленных из величин первой группы, называемых определяющими критериями [34, 35]. Тогда для обес­ печения подобия явлений достаточно задать неизменность опреде­ ляющих критериев, неизменность остальных будет выполняться при этом автоматически, как следствие подобия.

Таким образом, условия подобия двух явлений, описываемых одними и теми же уравнениями, сводятся к требованиям одинако­ вости определяющих критериев и подобия условий однозначности (теорема Гухмана—Кирпичева).

Очевидно, соотношения (функциональные зависимости) не­ определяющих и определяющих критериев в подобных процессах должны быть одинаковыми, т. е. критерии практически являются обобщенными координатами процесса.

Рассмотрим основные критерии подобия, получающиеся из соответствующих дифференциальных уравнений, описывающих процессы теплообмена в условиях, характерных для проточной

потоком сжимаемого газа при наличии значительной разности температур потока Т и стенки Tw характерными являются сле­ дующие критерии:

1) критерий Рейнольдса 1

R = ul/v,

характеризующий соотношение сил инерции и сил трения; 2) критерий (или число) Маха (иногда называется также чи­

слом Маевского)

М = и/а,

характеризующий отношение скорости течения к скорости звука, которая соответствует скорости распространения малых возму­ щений, т. е. характеризующий влияние сжимаемости потока на изучаемый процесс;

3) критерий Пекле

равный отношению плотности теплового потока, переносимого движущейся жидкостью, к плотности кондуктивного теплового потока в слое толщиной I, т. е. характеризующий соотношение конвективного и кондуктивного переноса тепла;

4) критерий Прандтля

Рг = via,

характеризующий соотношение переноса количества движения посредством внутреннего трения и переноса тепла за счет теплопро­ водности, т. е. характеризующий соотношение скоростных и тем­ пературных полей;

1 Часто обозначается символом Re.

43