Файл: Бирюков, Б. В. Кибернетика и методология науки.pdf

дующим развитием было снято квантовой механикой с ее дуализмом «волна — квант».

Наука XX в. принесла с собой фундаментальное обо­ снование относительности противопоставления — взаимоза­ висимости прерывного и непрерывного. Результаты совре­ менной физики показывают, что понятия дискретного и непрерывного, противоположные друг другу на уровне одних физических теорий, при одном подходе и т. п., ста­ новятся не противоречащими друг другу — более того, до­ полняющими одно другое — в других теориях или при иных теоретических подходах. Аналогичную ситуацию мы наблюдаем и в математике, где идея непрерывности вошла в области, долгое время бывшие ареной чисто «дискрет­ ных» трактовок, например в алгебру (теория непрерыв­ ных групп и др.). Тесная взаимосвязь на фоне (относи­ тельной) противоположности дискретного и непрерывного наиболее, пожалуй, ярко проявилась в той «дискретиза­ ции» математического анализа, которая была осуществлена начиная с 60-х годов XIX в., когда под него была подведе­ на база арифметики натуральных чисел.

По-видимому, следует признать убедительность сле­ дующего тезиса: реальный мир и «непрерывен», и «ди­ скретен», а применяемые на разных уровнях его позна­ ния, при различных способах описания его закономерно­ стей понятия прерывного и непрерывного суть (прежде всего математические) абстракции (идеализации). Это следует особенно отметить потому, что в связи с развити­ ем кибернетики, подчеркнувшей значение «дискретностного» подхода (см. ниже), иногда возникает тенденция одно­ сторонне понимать дискретное как идеализацию «реально непрерывного»; на деле непрерывность тоже есть идеали­

ванный характер данного понятия): это, так сказать, ов­ ладение мыслью человека идеалом «однородности», «рав­ ноправия» всех точек пространства, изотропности прост­ ранства-времени. Тезис об идеализированном характере представлений о дискретном и непрерывном, представ­ ляющийся оправданным всем сказанным выше, получает новое подтверждение в развитии кибернетики.

Мы начали этот параграф с упоминания ведущего зна­ чения в кибернетике идеи дискретности. Однако в перво­ начальном изложении Н. Винера математический аппарат

91

кибернетики был преимущественно аппаратом «непрерывностной» математики. Эту сторону дела отмечает А. Бёркс, когда пишет о различии установок Винера и другого созда­ теля кибернетики — Дж. фон Неймана. «В кибернетике (Н. Винера.— Б. Б.) основное значение придается следя­ щим системам и непрерывной математике (анализу), а в теории автоматов (фон Неймана. — Б. Б.) основную роль играют цифровые вычислительные машины и дискретная математика (комбинаторика и логика). Это отличие каса­ ется, однако, только подходов и акцентов. Винер понимал важность цифровых вычислительных машин для киберне­ тики, а фон Нейман хотел расширить сферу теории авто­ матов, чтобы включить в нее непрерывные механизмы»

(А. Бёркс, 1971, стр. 7—8).

Исторически случилось так, что хотя общий «киберне­ тический тон» был задан Винером, математический аппа­ рат новой науки больше использовал «дискретные схемы»

вдухе работ Неймана. Во всяком случае фактом является то, что развитие кибернетики и связанных с нею наук стимулировало активную разработку многочисленных от­ раслей «дискретной» («конечной») іматематики (прежде всего теории конечных автоматов). Это было обусловлено,

вчастности, тем, что современная наука, техника, эконо­ мика и т. д. выдвигают все большее количество задач, при

решении которых целесообразнее использовать «дискрет­ ный» аппарат. Так обстоит, например, дело при моделиро­ вании любых (в том числе и «типично непрерывных») процессов на электронных цифровых машинах, являю­ щихся материально-техническими реализациями дискрет­ ного подхода.

Представление о дискретности процессов управления и строения систем управления является в настоящее вре­ мя одним из ведущих принципов кибернетики. Преоблада­ ние в кибернетике дискретного подхода единодушно отме­ чается исследователями 35, которые указывают на его обу­ словленность развитием электронных цифровых машин — этих преобразователей дискретно представленной инфор­ мации. Именно в рамках дискретного подхода широкое применение и развитие в кибернетике получили теоретико­

35 В сборнике «Кибернетика, мышление, жизнь» (М., 1964) об этом говорят А. А. Ляпунов и С. В. Яблонский (1964, стр. 69); об этом же пишут А. Н. Колмогоров (1963), И. М. Яглом (1963) и др.

92

вероятностные, алгебраические, теоретико-множественные, логические методы. Дискретный подход позволил приме­ нить в кибернетике широкий круг средств: линейную ал­ гебру и теорию структур («решеток»), алгебру логики и логику предикатов, методы теории операций и теории игр и др. Эти области математики получили значительный импульс своему развитию в связи с решением задач ки­ бернетики.

Разработка дискретных методов анализа и синтеза ки­ бернетических систем идет во многих направлениях (тео­ рия схем релейного действия и теория конечных автома­ тов, «операторные» методы переработки информации и составления логических схем программ, теория графов и т. п.). При этом следует иметь в виду, что распространен­ ность и плодотворность дискретного подхода в кибернети­

ции, огрублению процессов функционирования реальных устройств и систем, о чем мы уж говорили. Таковы абст­ ракции квантовых сигналов, дискретных шагов изменения времени, дискретных элементов задержки (вместо непре­ рывного хода запаздывания) и т. д.

В качестве конкретной иллюстрации идущей от кибер­ нетики «дискретизации» приведем пример приложения идей статистической теории информации к изучению био­ геоценозов. В. Д. Александрова следующим образом ха­ рактеризует возникающую здесь ситуацию. Она отмечает, что статистический подход к понятию информации оказы­ вается связанным с определенными условиями, предпо­ лагающимися выполненными, когда происходит выявле­ ние информации, поступающей в биогеоценоз и перераба­ тываемой в нем. Так, для определения количества инфор­ мации естественно постулируется дискретный ряд собы­ тий. В качестве носителей информации, поступающей на «вход» биогеоценоза, рассматриваются ноток вещества и энергии, вливающийся в биогеоценоз и перерабатываемый в нем, а также стимулы, которые создаются при измене­ нии условий среды биогеоценоза. Большинство этих явле­ ний не имеет, так сказать, «дискретной природы», и изме­ нение их происходит скорее «непрерывно»; при «инфор­ мационной» трактовке эти непрерывные изменения «при­ водятся» к дискретному виду. «Это можно сделать

93

выделением градиентов в пределах амплитуды изменений интересующей нас величины. Разбивка на градиенты име­ ет не условное, а принципиальное, существенное значение, так как она должна выражать те пределы изменения ве­ личины интересующего нас фактора, которые влекут пре­ образования, имеющие существенное значение в регуля­

базируются на соответствующих научных результатах, на плодотворности теорий, построенных с их использова­ нием, и их прикладном эффекте. В качестве примера мож­ но привести прикладную теорию алгоритмов. Анализ ин­ формационных процессов, функционирования систем уп­ равления во многом базируется, как известно, на методе алгоритмического описания процессов. При алгоритмиза­ ции информационный процесс расчленяется на конечную дискретную последовательность следующих друг за другом

ной цели. Доказанная всем развитием кибернетики эффек­ тивность методов теории алгоритмов является свидетель­ ством плодотворности лежащего в основе этих методов представления об элементарных дискретных актах перера­ ботки информации — шагах применения алгоритма.

А. А. Ляпунов и С. В. Яблонский говорят о кибернети­ ке, что она «в основе своей дискретна. Это накладывает свой отпечаток на все ситуации в кибернетике, отражается на всей проблематике соотношения дискретных и непре­ рывных методов в современной математике. В связи с этим одновременно с возникновением и развитием кибернетики стала интенсивно развиваться и дискретная математика» (А. А. Ляпунов, С. В. Яблопский, 1964, стр. 69). Однако, отмечая широкое распространение взгляда, что киберне­ тика в своей основе имеет представление о дискретности, эти авторы указывают на то, что это не исключает ис­ пользования в кибернетике и классического аппарата, ос­ нованного на идее непрерывности. А. А. Марков, рассмат­ ривая процесс функционирования причинной сети во вре­ мени, разделенном на такты (в дискретном времени), включает в кибернетику (наряду с дискретными) систе­ мы с непрерывным временем и непрерывным прострапст-

94

bo m , рассматривая их как находящиеся «на пределе» ки­ бернетики. Таким образом, в кибернетике, при преоблада­ нии дискретного подхода, применяются и идеи, связанные с непрерывностью.

Применяя некоторый конкретный аппарат, содержа­ щий абстракции, типичные для дискретного подхода, к ре­ альным системам управления, приходится, однако, всегда учитывать, в какой мере этот аппарат огрубляет действи­ тельное положение вещей. Правда, это огрубление может быть в принципе снято дальнейшим развитием дискретно­ го аппарата. «Не существует состоятельных аргументов в пользу принципиальной ограниченности возможностей ди­

процессы. Но следует иметь в виду фактические трудности создания чисто дискретных моделей высокосложных си­ стем управления, связанные, в частности, с необходимостью оперировать с функциями от весьма большого числа ар­ гументов. При описании функционирования сложных си­ стем управления (примерами таких систем могут служить многие биологические системы) представления о дискрет­ ности их структуры и о дискретном, по тактам, характере их работы во времени зачастую весьма сильно ограничива­ ют возможности исследователя. Потребность большего приближения теории к реальным объектам и процессам, задачи преодоления указанных трудностей требуют во многих случаях дополнения дискретного принципа прин­ ципом «непрерывностным».

Это тяготение в сторону «непрерывностных» методов отчетливо выразил Дж. фон Нейман (1960, 1971). Как от­ мечает А. Бёркс (1971), в своих исследованиях по теории автоматов Нейман шел от дискретного к непрерывному. Разрабатывая дискретные модели самовоспроизведения ав­ томатов, он надеялся построить и аналогичные «непрерывностные» модели. Он считал, что «математика в теории автоматов должна начинаться с математической логики и двигаться в сторопу анализа, теории вероятностен и термо­ динамики» (А. Бёркс, 1971а, стр. 48). Даже развитие ма­ тематической логики — области, которая в ее нынешнем виде относится к дискретной части математики и в значи­ тельной степени носит комбинаторпый характер, — долж-

95

по, по мысли Неймана, привести к теориям, значительно более аналитическим. «В самом деле, имеются многочис­ ленные признаки, дающие основание полагать, что эта но­ вая концепция формальной логики будет все более сбли­ жаться с другой дисциплиной, в прошлом мало связанной с логикой. Эта дисциплина — термодинамика, главным об­ разом в том виде, который опа приняла после Больцмана. Термодинамика является той частью теоретической физи­ ки, которая в некоторых из своих аспектов наиболее близ­ ка теории обработки и измерения информации. Ее средст­ ва, конечно, являются в гораздо большей степени аналити­ ческими, нежели комбинаторными...— Все это еще раз под­ черкивает ... вывод о том, что необходима детальная мате­ матическая теория автоматов и информации, которой в большей степени были бы присущи аналитические мето­ ды» (Дж. фон Нейман, 1960, стр. 81—82).

Это было сказано фон Нейманом в 1948 г. (и опублико­ вано в 1951 г). В какой мере за истекшие 20 с лишним лет реализовался заключенный в них прогноз?

Усилия но введению «непрерывности» шли по многим направлениям. Например, абстрактная теория логических сетей (конечных автоматов) в целях приложений допол­ няется разработкой различных вариантов теории «реаль­ ных» логических сетей, учитывающих те или иные осо­ бенности их элементов, связанных со свойством непрерыв­ ности; в других случаях релейные устройства сочетаются с агрегатами непрерывного действия и т. д. Сформулиро­ ванная фон Нейманом, в связи с рассмотрением высоко­ сложных систем, идея об отказе или ослаблении, в том или ином направлении, требования дискретности привела к разработке моделей управляющих систем, трактуемых в виде сплошных непрерывных сред; в этом же направле­ нии шел ход мыслей М. Л. Цетлина, начавшего работы в области так называемых континуальных моделей управля­ ющих систем (И. М. Гельфанд и М. А. Цетлин, 1960; см. также: М. Л. Цетлин, 1969).

В целом задача, поставленная Дж. фон Нейманом (и М. Л. Цетлиным), оказалась чрезвычайно трудной для ре­ ализации. В чем можно видеть источник этой трудности? Как представляется, он заключен в двух обстоятельствах. Первое из них носит «внутриматематический» (кореня­ щийся в специфике развития математических средств ки­ бернетики) характер, второе же имеет более общую приро-

96

ду и касается оценки существа сверхсложных систем типа биологических и «теологических» — систем, носящих ра­ зум.

Обратимся к «івнутриматематической» ситуации. Вклад кибернетики в динамику непрерывного и прерывного в ма­ тематике (если иметь в виду фактическое развитие, а не прогнозы вроде предвидений фон Неймана) реально состо­ ял в «форсировании» дискретной математики. «Прерыв­ ные» части кибернетика постепенно «ввела» во многие «цитадели» непрерывности. Так, наряду с топологией — в известном смысле «наукой о непрерывном», поскольку в ней исследуются свойства множеств («топологических пространств»), сохраняющиеся при любых их непрерыв­ ных деформациях,— развилась ее «дискретная ветвь» в виде теории графов.

Развитию тенденции «дискретизации» математики спо­ собствовали интуиционизм и особенно конструктивное на­ правление. В рамках этих направлений были разработа­ ны интуиционистские и конструктивные аналоги ряда по­ нятий классической математики, связанных с идеей не­ прерывности; таковыми были, например, интуиционист­ ский «континуум» Э. Л. Я. Брауэра, а затем аналог конти­ нуума в конструктивном анализе, описываемый средства­ ми теории рекурсивных функций (см., например, Р. Л. Гудстейн, 1970) или теории нормальных алгорифмов (школа А. А. Маркова и Н. А. Шанина; конструктивный математи­ ческий анализ в этом стиле изложен в книге: Б. А. Кушнер, 1973); конструктивный континуум с позиций клас­ сической (неинтуиционистской и пекопструктивистской) математики оказывается при этом «не совсем континуу­ мом»—уже потому, что он счетен. Однако — и это одно из выражений выявленной исследованиями по основаниям математики диалектики дискретного и непрерывного — в «счетном» и «атомистическом» континуумах «конструкти­ вистов» каждая конструктивная функция непрерывна; с другой стороны, хотя конструктивный континуум с «клас­ сических» позиций счетен, эффективный пересчет его не­ возможен (см. упоминавшуюся выше статью Ю. А. Гасте­ ва в т. 4 «Философской энциклопедии», стр. 363, а также «Введение» в книге Б. А. Кушнера, 1973).

При обсуждении вопроса о математических основаниях кибернетики между «конструктивистами» и «классиками» иногда возникают дискуссии о целесообразности примене­