Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

Взяв полусумму и полуразиость уравнений (9), получим

Если первое из уравнении (II) умножить на е±,1І), а второе — на eTy't’, то их пра­ вые части уже не содержат двух знаков в показателе степени. Составляя раз­ ности соответствующих уравнений при верхних и нижних знаках и используя формулу Эйлера, получаем:

В соответствии с формулой разности квадратов условие (14) соблюдается при выполнений одного из двух частных условий:

Уравнения (19), (20) — это дисперсионные уравнения двух независимых типов волн, которые могут распространяться в ленточном ультразвуковом волно­ воде. Они связывают постоянную распространения а этих волн вдоль оси х с частотой со, входящей в выражения (3), (4) для постоянных ßj и ßt-

Чтобы выяснить различие этих типов волн, вычислим для каждого из них отношение AixJAix2 согласно уравнению (12)

торой продольные смещения составляющих однородных плоских волн арифме­ тически суммируются на оси волновода у = 0, а сдвиговые •— компенсируются на этой оси. В местах продольного сжатия при этом имеет место вспучивание, а в местах растяжения — сужение колеблющегося звукопровода.

Уравнение (20), в свою очередь, соответствует преимущественно сдвиговой, и з г и б н о й неоднородной волне, для которой на оси у = 0 максимальна сдвиговая компонента, а продольная компонента скомпенсирована.

Рассмотренные продольная и изгпбная волны содержат (но не на оси у) от­ личную от нуля продольную компоненту S/K. Наряду с этими волнами в лен­ точном ультразвуковом волноводе могут распространяться и чисто с д в н г о - в ы е в о л н ы , вообще не содержащие продольной компоненты S;^. Эти волны являются, таким образом, строго поперечными волнами. Они описываются соот­ ношением (2) при условии, что Аті = А1г° и Атг = Asz°, где z°— орт, парал­ лельный поверхностям раздела и нормальный волновому вектору. Граничным условием на поверхностях раздела у — ±d/2 является равенство нулю сдвигаю­ щего механического напряжения вдоль поверхности раздела

Рис. 1.8.10. Преимущественно продольная("(о) и изгибная (б) волны ленточного звукопровода.

В соответствии с (2) и (21) получим

Аг е~ '’t’—Л2 е,11) = 0,

(22)

Ліе ^ - Л 2е - ^ = 0,

где, по-прежнему, ч|) = ßTd/2. Из условия совместности уравнений (22) имеем

аналогичное дисперсионному уравнению радиоволновода в виде системы двух идеально проводящих параллельных плоскостей.

145

вание представлено в нормированных единицах: за единицу принято запаздывание /rp0 однородной сдвиговой волны в бесконечной среде

6) f *

Рис. 1.S.11. Зависимости группового запаздывания от частоты продольных, из» гибных (а) и поперечных (б) волн ленточного звукопровода.

на пути, равном длине ультразвукового волновода. Частота также вы­ ражена в нормированных единицах. За единицу принята частота fd — = vx/d, для которой поперек пластины укладывается ровно одна дли­

вых изгибных и двух первых продольных волн. На рис. 1.8.11, б пред­ ставлены аналогичные кривые для двух первых поперечных—сдвиговых волн (одна из них недиспергирующая). Для ряда других волн прояв­

ляется эффект критических частот. К последним относится, напри­ мер, частота / = 0,5 fd (для второй изгибной и первой диспергиру­ ющей сдвиговой волны). На частотах, заметно ниже критической, коле­ бания быстро затухают по длине волновода, поскольку величина ja в (1), (2) становится вещественной.

Наиболее протяженным участком частот линейной дисперсии груп­ пового запаздывания обладает первая продольная волна (рис. 1.8.11, а). Большая протяженность этого участка связана с изменением структу­ ры распространяющихся волн в зависимости от частоты.

На низких частотах поперечный размер пластины много меньше длины сдвиговой волны, растягивающие и сжимающие усилия равно­ мерно распределены по сечению пластины. Одновременно с продоль­ ными деформациями (растяжением и сжатием) имеют место попереч­ ные (сужения и вспучивания) как при статистическом растяжении и сжатии. Поскольку эффект запаздывания не сказывается, не возникают поперечные напряжения, скорость распространения определяется мо­ дулем Юнга Е (Е, > Е > Et) и выше скорости распространения сдви­ говых колебаний.

По мере сближения поперечного размера пластины и длины сдви­ говой волны поперечные деформации происходят с запаздыванием по фазе, что приводит к образованию сдвиговых напряжений и сдвиговой волны. При определенных значениях 0,5fd < f <. fd наблюдается яв­ ление резонанса в поперечном сечении пластины. Это приводит к умень­ шению групповой скорости колебаний по сравнению не только с про­ дольной, но и сдвиговой волной.

На высоких частотах сдвиговые колебания оказываются в противо­ фазе с продольными в толще пластины и вся совокупность колебаний распространяется в виде поверхностных релеевских волн.

В отличие от групповой ѵгр фазовая скорость цф первой продоль­ ной волны с ростом частоты изменяется (убывает) м о н о т о н н о . Соотношение фазового и группового запаздывания описывается гра­ фиками (см. рис. 1.5.12); в импульсной характеристике для рабочего типа колебаний наблюдаются биения (см. рис. 1.5.14). Они устраняют­ ся с помощью полосовых фильтров, выделяющих рабочую область частот.

Однако и в пределах рабочей области наряду с первым продольным видом колебаний могут распространяться другие (первый и второй изгибные, нулевой и первый сдвиговые и т. д.) виды колебаний. Их подавление достигается за счет правильного выбора элементов связи. Так, возбуждая продольную ультразвуковую волну н о р м а л ь н о й оси волновода пьезокерамической пластиной, колеблющейся по тол­ щине под действием электрического поля, устраняют возбуждение сдви­ говых колебаний. Поскольку перекос пластины вызывает изгибные колебания с отличной от рабочего типа скоростью распространения, ее симметрируют.

Поперечное сечение волновода наряду с толщиной характеризует­ ся своей шириной. Условия распространения первой продольной вол­ ны в волноводе бесконечной и ограниченной ширины b существенно не различаются, если b > Ы.

Несмотря на заметную протяженность линейного участка диспер­ сионной кривой первого продольного типа колебаний (рис. 1.8.11, а), она обычно недостаточна для получения надлежащих сжатий. Для рас­ ширения линейного участка используется ступенчатое или плавное изменение толщины d ультразвукового волновода; при ступенчатом изменении переходы скругляются, чтобы уменьшить нежелательные отражения. Зависимость группового запаздывания от частоты для сту­ пенчатого волновода определяется по формуле

где i — номер; lt — длина; dt — толщина участка волновода; ѵх — скорость распространения сдвиговых колебаний; cp {JdJv^ = = tTр j/z'ppo — отношение групповых запаздываний продольных колеба-

Рис. 1.8.12. Сжатый импульс в звукопроводе со ступенчатым профилем.

ний в пластине и сдвиговых в бесконечной среде. Значения /г подбира­ ются, исходя из требуемого приближения (25) к заданной функции, например, линейной в определенном числе точек fk (k = 1, ..., п) согласно установленному критерию (квадратичному, минимаксному и т. п.) [76].

Полосковые ультразвуковые волноводы изготовляются из алюми­ ния и стали, обеспечивая сжатие радиоимпульсов длительностью от десятка до нескольких сотен микросекунд, близкое к теоретическому. Пример сжатого в 300 раз радиоимпульса, с 200 до 0,7 мкс, показан на рис. 1.8.12.

Наряду с лентами (полосками), ультразвуковые волноводы выпол­ няют в виде к р у г л ы х с п л о ш н ы х п р о в о д о в или т р у б . Здесь также могут распространяться продольные, изгибные и попе­ речные сдвиговые (крутильные) волны различного порядка. Продоль­ ные волны в круглых звукопроводах обладают на низких частотах слабой дисперсией, как и в случае, показанном на рис. 1.8.11, а. Имен­ но они использовались в качестве недиспергирующих в экспериментах § 1.7.1 при магнитострикционном возбуждении и съеме (по мере утол­ щения звукопровода наблюдался и дисперсионный участок кривой). Крутильные колебания нулевого порядка, аналогичные сдвиговым ну-