ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
Предельный переход к (2) условимся проводить только в оконча тельных результатах. В начале расчета число координат ѵ многомер ных векторов считаем к о н е ч н ы Nt. Это позволяет вводить плотнос ти вероятности случайных реализаций ѵ-мерных векторов р(и):
р (щ, и2, ..., иѵ) dui du2 ...duv = p (и) du.
Обозначение du используется здесь для э л е м е н т а о б ъ е м а ѵ-мерного пространства. При условиях, что действуют один процесс
С, два процесса В, |
С, |
три |
процесса |
А, В, |
С, |
будут вводиться |
|||
соответствующие у с л о в н ы е |
п л о т н о с т и |
в е р о я т н о с т и |
|||||||
рс (и), |
рве (и), Равс (и), |
используемые |
при оценке качества |
стати |
|||||
стических решений. |
|
|
|
|
|
|
т о л ь |
||
В соответствии с § 1.1.1 считаем, что принимаются решения |
|||||||||
к о |
о |
н а л и ч и и |
и л и о т с у т с т в и и |
сигнала, а вид реше |
|||||
ния |
о д н о з н а ч н о |
определяется принимаемым |
колебанием и (t) |
||||||
(ідвухальтернативные детерминированные решения). |
|
|
|||||||
Работу решающей системы опишем решающей функцией системы Ми), равной е д и н и ц е, если принимается решение об обнаруже нии объекта, и н у л ю, если его считают необнаруженным.
Вероятность обнаружения объекта (правильного или ложного) определяется как интеграл от произведения вида h (и) р (и) по все му ѵ-мерному пространству и. Условная вероятность правильного обнаружения процесса (объекта) А вычисляется в предположении, что действуют процессы А, В, С:
D a = 5 h (и) р а в с (u) du. |
(3) |
(й ) |
|
Условная вероятность лооіеного обнаружения |
(ложной тревоги) опре |
деляется в предположении, что действуют процессы В и С без А: |
|
Fa = $ !г (и) рве (и) du. |
(4) |
(») |
|
Для произвольной решающей функции системы h (и) можно най ти средний риск решений [(3), § 1.1.1]. Полагая ущерб из-за приня тия правильных решений равным нулю а н = 0 и заменяя Р 10 = FA, Ро1 = 1 — Da , получаем
Q = “ ю роFa + «ох Pi (1 —Da)-
Минимум среднего риска Q соответствует максимуму
Dy |
-10Fa = J |
M u) Р а в с |
( и) -Z„ |
р ве (и)du, |
|
(u> |
Рве (“) |
|
|
|
|
|
|
|
где l0 = сцоРо/OoiPi. Этот |
максимум |
можно |
обеспечить, распре |
|
деляя значения 1 |
и 0 функции /г (и) таким образом, чтобы |
|||
§ U.2. |
13 |
Jl (и) ^опт |
1, |
если / ( u ) > /0, |
(5) |
|
О, |
если /( u ) < /0. |
|||
|
|
|||
Здесь |
|
|
|
|
1{u) = Pa b c {u)IPbc (u) |
( 6) |
|||
— так называемое отношение правдоподобия.
Следовательно, критерий Da — IqFa = max будет выполнен, если: 1) решение о наличии сигнала принимается, когда отношение правдо
подобия I (и) ^ |
/0; |
2) |
в противном случае принимается |
решение об |
||||
отсутствии сигнала. |
|
|
|
|
зависит от ф у и к ц и и |
и (/), т. е. |
||
Отношение |
правдоподобия |
|||||||
является функционалом. |
В рассматриваемых далее случаях |
|||||||
|
|
|
|
|
I (и) |
= L (2), |
(7) |
|
где L (2) — м о н о т о н н о |
н а р а с т а ю щ а я функция величины |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 = |
2 (н), |
(8) |
которая является более простым, чем I (и) функционалом (частным |
||||||||
функционалом |
правдоподобия). |
так, чтобы L (г0) = /0- |
|
|||||
Введем з н а ч е н и е |
2 = |
20 |
Как и /0, оно |
|||||
характеризует |
порог, |
превышение которого ведет к решению о на |
||||||
личии сигнала. Условие (5) |
заменяется тогда эквивалентным |
|||||||
|
|
|
|
|
|
fl, |
если z (u )> z 0t |
|
|
|
Лопт(ч) (о, |
если 2 ( и ) < 20. |
(9) |
||||
Для величины z можно ввести плотность вероятности р (гф В силу |
||||||||
детерминированной монотонной зависимости (8) имеем |
|
|||||||
|
|
р (2) dz — р (u) du. |
(10) |
|||||
Далее, согласно (6), |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L (г) = равс (и)/рвс (и), |
(11) |
||||
поэтому в соответствии с (10) |
|
|
|
|||||
|
|
|
L{z) |
|
Ѵ'авс |
(12) |
||
Заменяя в силу |
(10) |
|
и (12) |
|
|
|
||
|
|
Равс (u) du = L (г) pßC(г) dz |
|
|||||
и используя (3) |
и (9), |
получаем |
|
|
||||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
Д4 = $ L(2)pßc(2)d2. |
(13) |
|||||
|
|
|
|
|
Zo |
|
|
|
14 |
§ 1. 12. |
Аналогично, из (4), (9), (10) находим
со
р л = $ Н с (z) dz- |
(14) |
Zo |
|
Выражения (13), (14), сводящиеся к интегралам по одной скаляр ной переменной, проще аналогичных (3), (4). Чем меньше входящая в них величина z0, тем больше каждая из условных вероятностей Da и Fa - Величину z0 обычно выбирают так, чтобы условная вероят ность ложной тревоги н е п р е в ы ш а л а м а к с и м а л ь н о д о п у с т и м о й .
Общие алгоритмы оптимального обнаружения (5) или (9) и выра жения (13), (14) для показателей его качества будут применяться далее в предположении, что шум С — стационарный нормальный случайный процесс с равномерной спектральной плотностью — белый гауссов шум. На него налагаются процессы А, В, соответствующие разреша емым сигналам.
При любой конечной полосе частот Я шумового процесса С дискре ты Котельникова и (^) этого процесса независимы и имеют нормаль ное распределение с нулевым математическим ожиданием (средним
значением) М [ц(^)] = и (/,) = 0. Плотности вероятности многомер
ного вектора и и его координатных составляющих щ = и (A) Y АЧ опи сываются выражениями
рс (и) = П jo, (uf), |
(15) |
;= 1 |
|
Pi{Ui) — {2nuf)~0,5 exp ( —uj/2ut), |
(16) |
где uj — дисперсия координатной составляющей |
|
u f =йҢТ[)/2П. |
(17) |
В силу стационарности и эргодичности шумового процесса дисперсии (17) одинаковы. Все они пропорциональны спектральной плотности мощности шума, т. е. его средней мощности, приходящейся на единич ную полосу частот спектрального распределения в области / > 0, выделяемой на единичном сопротивлении,
|
Я 0 = ^ ) / Я . |
|
(18) |
|
Выражение плотности вероятности многомерного вектора и |
||
шумового процесса С в соответствии с (1) и (15)—(18) |
приводится к виду |
||
|
рс (и) = (лЯ 0)-° ■5v exp (—и2/Я о). |
(19) |
|
|
Плотность вероятности с у м м ы д в у х |
п р о ц е с с о в |
В |
и |
С |
|
|
|
u = Ub + Uc |
|
(20) |
§ |
1.1.2. |
|
15 |
определяется как композиция законов распределения
Рвс(и)=Д |
pc(u — uß)dP{uB). |
(21) |
‘ ( " в ) |
|
|
Здесь dP (iiß) —элемент вероятности реализации вектора ив |
в эле |
|
менте объема ѵ-мерного пространства, (iiß) — область, в которой реа
лизуются значения Uß. Аналогично, при наличии т р е х |
аддитивных |
|
процессов А, В, С |
|
|
Равс (и) = |
\ р в с { и — «л) dP (ил). |
(22) |
|
(илг |
|
Входящие в (19), а значит в (21), (22), скалярные произведения мно гомерных векторов используем далее в предельной форме (2). При этом
ограничимся рассмотрением |
высокочастотных колебаний |
|
||
|
u(0 = Re[J7(0e,2"M l> |
(23) |
||
комплексные амплитуды которых U (/) медленно меняются во времени |
||||
по сравнению с е'2л?°*. Используем очевидное тождество для |
комп |
|||
лексных чисел а |
= R ea + |
/'Im а, |
b — Re b + j\mb: |
|
|
[Re(a6*) + Re(aö)] = Re a-Re 6. |
(24) |
||
Сводя в соответствии с (23) |
подынтегральное выражение (2) |
к пра |
||
вой части равенства (24), преобразуем (2) в: |
|
|||
|
03 |
|
со |
|
uv = ——Re |
\ ü ( t ) V*(t)dt-\~ — |
Re § U(t) V(t)ei^°<dt. |
(25) |
|
2 |
|
2 |
_ !X3 |
|
В найденном выражении (25) можно пренебречь вторым интегра лом в силу быстрых осцилляций = cos (4nf0f) ф- /'sin (4nf0t) по сравнению с произведением U (t) V (t). Тогда получаем выраже ние для скалярного произведения
|
uv « — |
Re |
Г U(t) И* (0 dt. |
(26) |
|
|
2 |
|
J |
|
|
|
|
— со |
|
|
|
Приближенное равенство (26) |
при |
f0-> оо становится точным. В этом |
|||
смысле оно широко используется в 1-й и 2-й частях книги. |
ф а з ы на |
||||
Для |
учета п р о и з в о л ь н о й |
н а ч а л ь н о й |
|||
ряду с |
каким-нибудь колебанием |
(23), принимаемым за |
исходное, |
||
достаточно ввести сдвинутое по фазе на 90° колебание uj_ (t), называ емое квадратурным исходному. Для этого колебания введем комплек сную амплитуду
|
Ux (l) = U ( t ) z - M 2 |
|
(27) |
и многомерный вектор |
их . С к а л я р н о е |
п р о и з в е д е н и е |
|
многомерных векторов |
д в у х к в а д р а т у р н ы х |
к о л е б а - |
|
16 |
|
|
§ 1.1.2. |
н и й |
тождественно о б р а щ а е т с я |
в |
н у л ь . Действительно, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
замечая, |
что величина Н — \ \U(t)\2 dt |
является |
вещественной, |
||||||||
из |
(26), |
(27) |
получаем |
—со |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
uu_l = |
Re (/Я)/2 = |
0. |
|
(28) |
||
для |
Из |
(26), |
(27) |
следуют |
и |
другие алгебраические |
соотношения |
||||
многомерных векторов: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Uj_ V_l = UV, |
|
|
(29) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Ui = |
u2, |
|
|
(30) |
|
|
|
|
|
|
UVX = —Ux V. |
|
|
(31) |
||
|
Из |
(26), (27) |
далее следует |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
uv—/uvj_« |
|
Г U{t) V* (t) dt. |
(32) |
|||
|
Если |
ввести |
комплексную |
амплитуду вида |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
W (0 = — V{t) |
$ U(s) V*(s)ds, |
(33) |
||||
то в соответствии с (32) определяемое ею колебание |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
w(t) = Re[V(/) (uv—/uvj_)e'2lt^ ' ] == |
|
|||||
|
|
|
|
|
= (uv)y(0 + ( u v jö x (0 |
(34) |
|||||
описывается |
многомерным |
вектором |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
w = V (uv) + Vj_(uvx ). |
(35) |
|||||
Векторной записи (35), в свою очередь, соответствует равносильная
ей комплексная (33). |
с о с л у ч а й н о й |
н а ч а л ь н о й |
ф а |
К о л е б а н и е |
з о й ф |
и а м п л и т у д н ы м м н о ж и т е л е м Ь, неслучайным |
||||
или случайным, может быть описано функцией времени |
|
||||
yit) — b Re [U(i) &і (2л?° /-'Ф)] = |
ь [и (t) cos ф -f- wx (t) этф ]. |
(36) |
|||
Ему соответствует также многомерный вектор |
|
||||
|
|
у = b [исоэф + ихзіпф]. |
(37) |
||
Энергия |
колебания |
(36), (37) в соответствии с (2), (28)—(30) |
равна |
||
|
5 = 5 |
у- (t) dt — b~ u2 (cos2 ф + |
sin2 Ф) = 62 u2 |
(38) |
|
§ 1.1.2. |
|
(, |
т с. |
nv |
17 |
|
|
1 |
о«.бл>іОТй;ч2. С , |
|
|
|
|
5 |
|
•V.VJ'О СГгR?. |
|