ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
и не зсизисит от начальной фазы ф. Ее среднее значение составит
З ср = Ь2 и2. |
(39) |
Для произвольной пары детерминированных |
в ы с о к о ч а с |
т о т н ы х колебаний их (/), іи (/) введем их |
коэффициент корреляции |
p£0= i!1u2/yruiu5. |
(40) |
Коэффициент (40) при этом является многомерным аналогом направ ляющего косинуса угла между двумя векторами на плоскости или
втрехмерном пространстве.
Всилу (2)
|
|
Рш= \ ах {t) «2 (i) dt |
/ "J/ |
j) u\{t)dt |
iâ{t)dt. |
(41) |
||
В силу же (26) выражение (40) можно свести к виду |
|
|||||||
где |
|
|
|
P a = Re р, |
|
(42) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
Ux(t)Ul(t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
||
|
|
Р |
|
-----СО |
|
|
|
(43) |
|
|
|
СО |
|
СО |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
J |
|
I \uü(t)?dt |
|
|
|
|
|
— СО |
|
-----СО |
|
|
|
По |
аналогии с (41)-величину р можно рассматривать как коэффици |
|||||||
ент корреляции комплексных амплитуд колебаний. |
|
|||||||
|
Особенностью всех введенных коэффициентов корреляции являет |
|||||||
ся |
их независимость |
от постоянных |
амплитудных |
множителей |
сигна |
|||
лов |
Ь. |
Величина |
р = |
| р | |
не |
зависит от постоянного |
сдвига |
|
начальных фаз колебаний фх—ф2, в то время как величина рш суще ственно зависит от этого сдвига.
§ 1.1.3. АНАЛИЗ ОБНАРУЖЕНИЯ НА ФОНЕ БЕЛОГО ГАУССОВА ШУМА И т МЕШАЮЩИХ СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ АМПЛИТУДАМИ И НАЧАЛЬНЫМИ ФАЗАМИ [40]
Начнем с отыскания а л г о р и т м а о п т и м а л ь н о г о о б н а р у ж е н и я . Пусть на фоне белого гауссова шума и т мешаю щих сигналов иві (t) со случайными амплитудами и начальными фа зами требуется обнаружить сигнал ил{і)- Мешающие сигналы опишем многомерными векторами
Иві = bi (u£cos ф£ Н~ Мы. sin Фі)> |
(1) |
где bi и фг — случайные параметры; иг и и£і_ — базисные векторы і-го сигнала, имеющего произвольную энергию. Сигнал ua (t), подлежа щий обнаружению, опишем аналогичным вектором
иА = а (um+1 cos ф + u(m+ о ± sin ф). |
(2) |
18 |
§ 1.1.3. |
Случайные амплитудные множители bt для і-го мешающего сигна ла полагаем распределенными по закону Релея, их случайные на чальные фазы ф; равновероятными и независимыми от b,. Совместная плотность вероятности bt и фг имеет вид*>
(3)
Относительно сигнала А, не усложняя решения, можно принять различные допущения: случайные амплитуда и начальная фаза, слу чайная начальная фаза, полностью известный сигнал.
Используя эти допущения, решим задачу обнаружения сигнала А на фоне мешающих сигналов и шума. Проанализируем при этом оптимальную обработку и пороговую энергию. Для решения задачи следует вычислить отношение правдоподобия, а значит, определить условные плотности вероятности рлвс (и) н рве (и).
В качестве п е р в о г о э т а п а р е ш е н и я вычислим плот ность вероятности рве (и). Наряду с непосредственным расчетом сог ласно [(21), § 1.1.2]ß можно исходить из композиции законов распре
деления, последовательно^вычисляя |
плотности вероятности: |
||
2П |
со |
|
|
0 |
0 |
|
|
Полагаем р0(и) = |
рс (и), где рс (и) |
— плотность |
вероятности реа |
лизации вектора |
и шумом. Задавая |
і = 1, тогда |
находим рх (и) — |
плотность вероятности реализации вектора и шумом п первым меша ющим сигналом. Далее найдем р2 (и) (і = 2). Наконец определим р т(и) = рве (и) — плотность вероятности реализации и шумом и все ми т мешающими сигналами.
Прежде всего перейдем в соотношении (4) от старых переменных интегрирования Ьи фг (полярных координат) к новым £, г| (прямо угольным координатам):
l = A b t cos 1]>г-Ио,
і1 = Л&гзіпфг + т]0. |
(5) |
|
|
Параметры преобразования А, £0, т]0 уточним далее. |
|
В соответствии с (4), (5) для произвольного і получим |
|
со со |
|
(6)
*> Здесь принято 0.56s = 1 как в [40, 56], а не &2 = 1 как в [72, 134], что сказывается на коэффициентах в ряде формул.
§ 1.1.3. |
19 |
Начнем со случая і — 1. Используя [(19), (28)—(30), § 1.1.2], пер вый сомножитель подынтегрального выражения (6) приведем к виду
Ро и |
I-É0, |
Р—Ро “и. |
|
|
А |
-■Ро(и) ехр |
2 (ё -ё о ) ии, |
|
|
|
А |
2(11—410)..,, |
(ё—ëo)a + 0 i—'Ло)а „2 |
|
А |
ИЧц.-------------------------и1 |
|
'-1- |
Л2 |
|
Подставляя (7) в (6), после преобразований получаем
Рі(“) = Ро (») |
1 |
ехр |
ё3-мі2 |
X |
|
2лЛ2 |
2Л2 |
||||
|
|
Л2 |
|
No |
|
л_ |
^ |
+ |
‘ Н - |
2іш1± |
|
ла |
Nn |
|
|||
ёо-Ио /2и?
м - v ^ + 1i “ Ä S »UUl+%UUlJ-)l ‘,E<l’v
Выражение (8) существенно упрощается, если выбрать
|
2іш, |
|
2uu, |
|
— |
|
Ло = |
Mj. |
|
ANo |
ANo |
|||
|
|
(7)
(8)
A = { ™ + \
No
коэффициенты при \ и т| |
обращаются тогда в нуль. Используя таблич- |
||||||||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ный интеграл |
§ |
ехр (—£2/2) dg = |
}/г2п, |
получаем |
|
||||||
|
|
|
|
Nn |
|
|
2 |
(uui)3^(uuij_)2 |
|||
Рі (u)=Po (u) |
2ui ^rNo |
exp |
|
|
(9) |
||||||
|
|
No 2ui -ф-Wo |
|||||||||
Переходя |
к |
случаю |
і = 2, первый |
сомножитель подынтеграль |
|||||||
ного выражения (6) приводим к виду |
|
|
|
||||||||
|
|
„ / .. |
ё—ёо.. |
|
|
"Л—Л о .. |
\ _ |
|
|||
|
|
Pi |
U------ |
7— U2------ 7— ц2± |
— |
|
|||||
|
|
|
|
1 Г2(ё—ёо) |
|
, 2 (т]—Г|о) |
и г г і . - |
||||
|
|
|
|
I |
къ__ |
|
|
ЦГі> _|_ |
|
||
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
(ё -ё о )2Ф ( л - ііо )2U 2 Г 2 |
|
( 10) |
|||||
|
|
|
|
|
Л2 |
|
|
|
|
|
|
20 |
§ 1.1.3. |
Здесь А, £0, і]0 — другие, чем |
в предыдущем случае, постоянные. |
|
Для сокращения записи введены величины г2 и г3_[: |
|
|
Гч = u _2 Ul (Uä“l)'f t ' ' i ( 1,3uii) |
(И) |
|
|
2u!-fW0 |
|
|
|
|
»1 |
( » 2 J . u l) + lll x ( U2 j_ lll.L) |
( 12) |
Г2_L — U2J_ — 2 |
|
|
2иI ^ N q
Выражение (10) подобно по структуре (7), особенно, если в (7) по ложить ut = гх. Подставляя (10) в (6), получаем
Np |
exp |
2 (ura)2-^(ur2x)2 |
||
Р3 (u) = Pi(u) 2u2 г2-ф-УѴ0 |
N0 |
2uo r2-^N0 |
||
|
||||
Задавая далее i = 3,..., можно убедиться, что вообще |
||||
Np |
|
'_2_ (ЦГ;)--р(»г.х)2 - |
||
Pi (Ч) = Рі-1 (u) 2щг |
■exp |
2u; |
||
|
УѴо |
|||
где |
|
|
|
|
(—1 |
CUj r j ) - ^ r fJ_ ( U . r u ) |
|||
r J |
||||
J = I |
2uj! Tj-рУѴо |
|||
|
|
|
||
1-1 |
|
|
|
|
Пх = ищ — 2 V rj { uiL r / ) - ^ r g |
( Uu . r u ) |
|||
|
|
2uj rj -jrN0 |
||
/ = 1
(13)
(14)
(15)
Соответствие (14), (15) исходному соотношению (6) дополнительно под тверждается методом математической индукции (аналогичные приве
денным выкладки опускаем). |
Первый |
этап решения заканчивается |
||||
вычислением рт (и) = рве (и). |
|
связан с вычислением |
плот |
|||
В т о р о й |
|
э т а п |
р е ш е н и я |
|||
ности вероятности рлвс (и) и отношения правдоподобия I (и) сог |
||||||
ласно [(6), (22), |
§ 1.1.2]. При этом аналогично (10) плотность вероят |
|||||
ности |
|
|
|
|
|
|
Р в е |
(И |
Ч/j) — рт[и |
а (um+1 COS ф + и(т + 1) X sin ф)1 |
(16) |
||
приводится к |
виду |
|
|
|
|
|
Рт (и) ехР [тд(2а COS ф urm+1 + 2а sin tp ur(m+ іщ — а2 um+1rm+1) |
(17) |
|||||
-УѴ0 |
|
' |
|
|
|
|
Пользуясь |
(17) и [(6), |
(22), |
§ 1.1.2], |
получаем |
|
|
|
|
2 Я |
со |
|
|
|
|
|
I (и )= |
jjexp^ —1 (2а cos cp urm+1 + |
|
||
+ 2а sin фиг(,„+І) J. —a2um+1rm+1) [х(а, ф)da. |
(18) |
|||||
§ 1.1.3. |
21 |