ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
Вычисление (18) упрощается при некоторых ч а с т н ы х |
п р е д |
||||
п о л о |
ж е и п я х |
о |
параметрах сигнала. |
|
|
1. |
Полностью |
известные |
параметры |
|
|
|
|
|
М а > ф) = б (а— 1)б(ф), |
(19) |
|
где б (я) — дельта-функция. |
|
|
|||
2. |
Случайная начальная фаза при фиксированной амплитуде |
||||
|
|
|
М а . |
— |
(20) |
|
|
|
|
||
3. Релеевская |
амплитуда |
|
*> |
||
и равновероятная начальная фаза* |
|||||
|
|
|
М а - ф) = і^ ае~ а' 12 ■ |
( 21) |
|
Подставляя (19)—(21) |
в (18) |
и интегрируя, получаем: |
|
||
1. |
Для сигнала с полностью известными параметрами |
|
|||
|
/ (и) = ехр |
(2urm+1 um+i rm+i) |
( 2 2 ) |
||
ло
2.Для сигнала со случайной начальной фазой
|
И и) = /о |
/ |
(u w )» + (ur(m+ „ J » ) exp ( |
|
(23) |
|||
где I0 |
(x) — модифицированная функция |
Бесселя |
нулевого порядка. |
|||||
3. |
Для сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой |
|||||||
|
Z(u) = |
|
N n |
exp |
2 (urm+i)2-P(ur |
(m + I) ± ) 2 |
(24) |
|
|
2ит ц |
|
N a |
2u m+l »m+l |
||||
|
|
|
|
|
||||
Вместо отношения I (и) можно ввести монотонно с ним связанный более простой частный функционал правдоподобия:
а) для первого случая
z(u) = urm+1; |
(25) |
б) для второго и третьего случаев
2 (и) = V (urm+1)2 + (ur(m+i) ±f . |
(26) |
В каждом из случаев отношение I (и) н частные функционалы прав доподобия связаны так:'
1) |
/ — ехр |
-гг (2z—um+1 w |
) |
|
(27) |
|
|
|
іѴі |
|
|
|
|
2) |
' = /”( |
i z ) exp( |
Um+X rm+1 \ . |
(28) |
||
|
N0 ) |
’ |
||||
|
|
|
||||
3) |
|
Nп |
exp |
2 |
Z2 |
(29) |
2 u m+i r m +x |
. N-o 2 u m+j |
|
||||
|
|
|
|
|||
*> Более сложные случаи флюктуацаоииых искажении структуры сигналов рассматриваются в гл. 2.2.
22 |
§ 1.1.3. |
Исходя из полученных соотношений, |
проанализируем |
опт им аль |
|||
ную обработку принимаемых колебаний и (t). |
|
в со |
|||
Если параметры |
сигнала п о л н о с т ь ю |
и з в е с т н ы , |
|||
ответствии с (25) и [(2), (9), (26), §1.1.2] |
она сводится к |
сравнению |
|||
с порогом величины |
|
|
|
|
|
со |
|
оо |
|
|
|
2 = urm+1 = $ |
и (0 rm+1 (t) Л = -i- Re $ |
U(t) /& +, (t) dt. |
(30) |
||
-----CO |
^ |
-----CO |
|
|
|
Здесь Rt (t) — решающая функция корреляционной обработки (реша ющая функция). Она определяется как комплексная амплитуда функ ций Гі (t), гix. {t) из соотношения
|
|
Ri{t) = rdt) + jrl x (t). |
|
|
||||
Для |
функций Ri (t) |
в силу (15) |
и [(26), (34), |
(35), § 1.1.2] |
справедли |
|||
вы рекуррентные соотношения |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
і - 1 |
|
ОО |
Ui (s) R*I (s) ds |
|
||
|
|
|
J |
|
||||
|
Ät (0 = f f i ( f ) - 2 |
R j ( t ) ^ |
^ |
---------------- • |
(31) |
|||
|
|
i= i |
|
N 0^ |
J |
Uj(s)R)(s)ds |
|
|
При этом по условию Ri (t) = |
Ux (t). |
|
|
|
|
|||
Интеграл (30) будем называть |
корреляционным. Он вычисляется |
|||||||
в результате выполнения, например, следующих операций: |
||||||||
а) |
перемножения |
случайного |
входного |
напряжения |
приемника |
|||
и (/) |
и неслучайного опорного напряжения rm+1 (t); |
|
||||||
б) интегрирования полученного произведения во времени. |
||||||||
Все это, а также сравнение с порогом для |
принятия решения, со |
|||||||
ставляет сущность корреляционного метода обработки принимаемых колебаний (рис. 1.1.1, а). Алгоритм этой обработки учитывает как полезное, так и все мешающие колебания.
Перейдем к оптимальной обработке принимаемых колебаний при менительно к полезным сигналам со с л у ч а й н о й н а ч а л ь
н о й ф а з о й |
или с о |
с л у ч а й н ы м и а м п л и т у д о й и |
||
н а ч а л ь н о й |
ф а з о й . |
В силу (26) и [(9), (32), § 1.1.2] она сво |
||
дится к вычислению и сравнению с порогом м о д у л ь н о г о |
з н а |
|||
ч е н и я к о м п л е к с н о г о |
к о р р е л я ц и о н н о г о |
и н т е |
||
г р а л а |
|
|
|
|
|
Z |
S |
U(()Rfn+i (t)dt |
(32) |
|
2 |
|
|
|
Такое вычисление обеспечивается супергетеродинной схемой корреля ционной обработки с детектированием колебаний промежуточной частоты (рис. 1.1.1, б). В режиме обнаружения для каждого разреша емого участка параметра (например, дальности) требуется отдельный элемент обработки со своим опорным напряжением.*)§*
*> Подобная трудность отпадает в режиме одноцелевого сопровождения.
§ 1.1.3. |
23 |
На рис. 1.1.1, в показана схема фильтровой обработки на проме жуточной частоте с последующим детектированием. Подбор опор
ного |
напряжения заменяется |
в ней в ы б о р о м |
взаимосвязанных |
||
х а р а к т е р и с т и к |
линейного |
ф и л ь т р |
а: и м п у л ь с- |
||
н о й |
V (/) и ч а с т о т |
н о й |
К (/). |
Известно, что мгновенное напря- |
|
-Cl) ~OJp
G)
6)
в)
?)
Рис. 1.1.1. Структурные схемы корреляционной, фильтровой и корреля- ционно-фпльтровой обработки.
жение на выходе линейного фильтра и соответствующая комплексная амплитуда колебаний в момент времени t 0 будут:
со
w(t0) = ^ u(s)v(t0—s)ds, |
(33) |
— со |
|
СО |
|
U(s)V(t0~ s ) d s , |
(34) |
где V (t) — комплексная амплитуда v (t) = Re [V (г!)е^2л^П. Выражения (33), (34) сводятся к (30), (32), если характеристики фильтра выбраны оптимально, в соответствии с алгоритмом обработки, т. е.
v (t) = rm+1(t0— і), |
(35) |
Ѵ(/) = /& -и (/0- О е - ' 2яМ*. |
(36) |
Согласно (35), (36) это соответствие заключается в зеркальном ото бражении опорного напряжения корреляционной обработки rm+1 (()
24 |
§ 1.1.3. |
в импульсную характеристику фильтра V (f). Отображение осуществля ется относительно вертикали с абсциссой t 0/2. В отсутствие мешающих сигналов (т = 0) опорное напряжение — это ожидаемый полезный сигнал, при т ^ 1 — искаженный полезный сигнал. Если мешающих сигналов нет (т = 0) или они образуют стационарную помеху (т-+оо), одна и та же реализуемая импульсная характеристика и (/) может быть зеркальной опорному напряжению лт+1 (/) при различных за паздываниях полезного сигнала. Это значит, что в отличие от кор реляционной фильтровая обработка является в этих случаях одно-
канальной. Комплексная амплитуда выходного напряжения фильтра как функция времени
= |
^ U{s)R?n+l(t0- t + s)ds |
(37) |
|
— со |
|
характеризует при одноканальной обработке модульные значения корреляционного интеграла для различных временных запаздыва ний полезного сигнала.
Частотная характеристика оптимального фильтра является
преобразованием Фурье от импульсной (35) |
|
||
K om( n = g Z r + i ( n z - i2nll°, |
(38) |
||
где gm+i (f) — спектральная |
плотность опорного |
колебания |
|
|
оо |
|
|
gm+1 ( /) = |
$ |
Гт+1{і)е -> 2п<‘си. |
|
Замечая, что |
|
|
|
W (О = Y tfm+1 (0 |
' + - f RZ.+1(0 е_/2я,г" ‘ |
||
и вводя спектральную плотность комплексной амплитуды опорного колебания
оо
Gm+1= $
имеем
g n *i (f ) = 0,5 Gm+1 ( / - / „ ) + 0,5 G*!+ , ( - / - / „ ) .
Если несущая f Qсущественно превышает ширину спектра, то
f°>5Gm+1( /- /o ) |
при / > 0, |
|
ёт+1 {П “ 10,5 Gm+1 |
при f < 0. |
[ > |
Наряду с корреляционной и фильтровой возможна корреляцион но-фильтровая оптимальная обработка, в которой используется и под-
§ 1.1.3. |
25 |
бор гетеродинного напряжения, как при корреляционной обработке, и выбор импульсной характеристики фильтра, как при фильтровой. По отношению к корреляционной части обработки фильтр выполня ет функции интегратора (рис. 1.1.1, г). Наличие опорного сигнала при этом облегчает требования к фильтру, наличие фильтра может сокра тить потребное для обнаружения число каналов обработки.
К оптимальной обработке подобного вида можно перейти, заме няя в (32) функцию R m+1 (t) произведением двух функций /?№ (t) и /?{2) (0- Первую из этих функций можно считать комплексной ампли тудой гетеродинного напряжения корреляционной обработки, в соот
ветствии со второй — определить |
комплексную амплитуду импульс |
|
ной характеристики фильтра |
V |
(і) = [/?(2) (t0 — /)]*eJ(W . |
Перейдем к определению |
показателей качества обнаружения: |
|
условных вероятностей ложной тревоги Fa и правильного обнаруже
ния Da - В соответствии с [(13), |
(14), § 1.1.2] найдем для этого п л о т |
||||||
н о с т ь |
в е р о я т н о с т и |
рве (z) |
с л у ч а й н о г о |
э ф ф е к- |
|||
т а о п т и м а л ь н о й |
о б р а б о т к и |
ш у м а |
и м е ш а ю- |
||||
ш. и X с и г н а л о в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = zc + 2 |
Zj, |
|
|
|
|
|
|
|
І=1 |
|
|
|
|
где Zc = |
uc rm+1, Zj — n B j rm+1. Являясь |
суммой |
некоррелирован |
||||
ных нормальных случайных величин с нулевым математическим ожи данием, величина z имеет нормальный закон распределения
I1вс (г) = (2яо2) - 0-5 ехр (—г2/2а2) |
(40) |
|
с дисперсией |
ш |
|
= |
|
|
2 °7> |
(41) |
|
|
/= і |
|
где Ос — дисперсия величины zc', |
oj — дисперсия Zj. |
|
Используя определение скалярного произведения [(1), § 1.1.2], не зависимость координатных составляющих шума и соотношения [(17), (18), § 1.1.2], выражение дисперсии ab приведем к виду
°c = (ucrm+i)2= ^ У |
Гіп+1 ( t j h t i |
i = |
I |
или |
|
n 2 _ |
2 |
oc — — rm+l.
Выражения дисперсий а 2, используя (1), представим так:
OJ = b] [U ; rm+1 COS % + U;_L rm+1 sin %]2.
26 |
§ 1.1.3. |
Заменяя в соответствии с (3) совместное усреднение по о и ф раз
дельным |
по b |
и по ф |
и |
полагая |
cos3 т|з = sin2 ф = 1/2, 62/2 =1, |
cos ф sin ф = 0, |
находим |
|
|
|
|
|
|
aJ = ( 4 / W ) 2 + |
K 'JL rm+1)2. |
||
Тогда |
в соответствии |
с |
(41) |
|
|
мпг
aZ “ |
“X2 Г»1+1 + |
2 |
[(Цг r?n+l)2 + |
(UjXrm+1)2]. |
(42) |
|
|
2 |
/=і |
|
|
|
|
В частности, |
для т = 1, |
используя (11) или (15), а также |
[(29) — |
|||
(31), § 1.1.2], получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
W0 |
|
|
|
|
|
а2 = — г, и9. |
|
|
||
|
|
|
2 |
“ 2 |
|
|
В о б ще м с л у ч а е |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
Nв |
|
|
(43) |
|
°“= - f rm+lUm+l- |
|||||
К выражению (43) можно достаточно |
просто прийти к о с в е н - |
|||||
н ы м путем. Если на мешающие |
сигналы и шум налагается |
сигнал |
||||
ил (0 с полностью известными параметрами, то к выходной величине zbc добавляется сигнальная составляющая Za = um+1 rm+1. Плот ность вероятности выходного эффекта можно найти при этом двояко. Из непосредственной композиции распределений
Ѵ-Авс(z) = (2л;а2)- ° '5ехр |
(44а) |
В соответствии же с [(12), § 1.1.2] |
|
^ aöc = L (z)I-1bc(2)’ |
(446) |
где L (z) = I определяется из (27), pßC (z) — из (40). Приравнивая логарифмы \ілвс (?) в обоих представлениях, приходим к соотношению
No (2Z Um+1 Г,п+1') 2а3 |
(z—llm+l rm+il" |
2а2 |
Сопоставляя в нем коэффициенты при z в нулевой или в первой сте пени, действительно придем к (43). ‘
Из (42) ѵ (43) |
п о п у т н о получим |
|
|
||
1"т+1 |г т + 1 “Ь |
|
[ U 7 (Гщ +1 И /) + Ц ц . ( Г т + 1 U ;j_ )] |
^ m + ij = |
|
|
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
W |
+ |
2 |
"1 |
um+1. |
(45) |
7 |
У [«у(rm+1 u,) + u;j. (rm+1 u,±)] = |
||||
iv0
§ 1.1.3. |
27 |