Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

MATRIX ALGEBRA FOR BUSINESS AND ECONOMICS

S. R. SEARLE

Associate Professor, Cornell University

and

W. H. HAUSMAN

Associate Professor, Cornell University with assistance from

H. Bierman, Jr., J. E. Hass and L. J. Thomas also of Cornell University, Ithaca, N. Y.

Wiley—Interscience/A Division of John Wiley & Sons New York — London — Sydney — Toronto

1 9 7 0

С. СИРЛ, У. ГОСМАН

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА В ЭКОНОМИКЕ

Перевод с английского и научное редактирование

Е. М. ЧЕТЫРКИНА и Р. М. ЭНТОВА

«Статистика» Москва 1974

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ

Современному экономисту необходима серьезная математическая подготовка — это положение общепризнано. К числу наиболее важных для экономистов областей математики относятся, по-видимому, линей­ ная алгебра и в особенности матричная алгебра. Дело в том, что эко­ номико-математические модели, которые широко применяются сей­ час в исследовательской и плановой работе, часто предназначены для описания взаимосвязи экономических структур, их динамики во вре­ мени, зависимости от ряда факторов и т. д. Один из наиболее компакт­ ных способов описания таких структур, зачастую крупных и сложных, заключается, как известно, в матричном отсбражении. Применение матриц не только позволяет «экономно» формализовать поставленную проблему, но и, что существенно важнее, использовать в экономи­ ческих расчетах многие достижения матричной алгебры.

Экономисты, проводящие расчеты по оптимизационным моделям, все чаще испытывают необходимость в овладении техникой матричной алгебры. Так, формулировка транспортной задачи или задачи опти­ мального распределения производственных ресурсов обычно сопро­ вождается построением матриц исходных данных, а алгоритм решения подобных задач предполагает операции над ними.

Методы матричной алгебры в настоящее время широко применяются не только в нормативных экономико-математических моделях, но и в статистических расчетах с обработкой больших массивов информации. В этой связи можно сослаться, скажем, на методы анализа отчетного межотраслевого баланса: прибегая к операциям с матрицами, эконо­ мисты и статистики получают возможность не только представить все балансовые расчеты в весьма компактной и наглядной форме, но и ис­ пользовать более удобные стандартные вычислительные процедуры при расчете тех или иных народнохозяйственных показателей (например, при определении коэффициентов полных затрат). Матричное исчисле­ ние применяется и во многих разделах математической статистики; матрицы широко используются, например, при анализе так называемых взаимозависимых уравнений регрессии, в факторном и дисперсионном анализе.

В СССР издано большое число учебников и различных пособий, по­ священных высшей алгебре, в которых, в частности, рассматриваются

5

и вопросы алгебры матриц. Можно назвать такие широко известные ра­ боты, как «Теория матриц» Ф. Р. Гантмахера (М., «Наука», 1967), «Курс высшей алгебры» А. Г. Куроша (М., «Наука», 1971), «Лекции по линей­ ной алгебре» И. Гельфанда (М., «Наука», 1972), «Вычислительные ме­ тоды линейной алгебры» Д. К- Фадеева и В. Н. Фадеевой (М., Физматгиз, 1960). Однако ощущается потребность в пособии, специально пред­ назначенном для экономистов и увязанном с теми конкретными задача­ ми, которые встают перед ними. Одним из таких пособий и является работа С. Сирла и У. Госмана, перевод которой предлагается внима­ нию советского читателя.

Положительная черта книги заключается в том, что помимо общих теоретических построений почти во всех разделах ее приводятся кон­ кретные методы, позволяющие выполнить соответствующие расчеты с наименьшими затратами усилий и времени. Практический интерес представляют, например, замечания авторов об ошибках округления (особенно при обращении матриц). Любопытны соображения авторов о возможностях использования в экономических расчетах аппарата мар­ ковских цепей; однако некоторые из приведенных в книге иллюстраций не связаны с реальной экономикой. При переводе и редактировании книги исправлены замеченные опечатки и некоторые погрешности оригинала.

Начальные главы книги носят общий характер и призваны озна­ комить читателя с основными понятиями и операциями матричной алгебры, причем весь материал излагается весьма целеустремленно.

Для статистиков наибольший интерес представляют главы X—XI, в которых для построения статистических моделей, методов оценки их параметров, испытания существенности оцененных параметров и осу­ ществления дисперсионного анализа последовательно применяется матричная алгебра. Если в главе X приводится в общем известный материал, то в главе XI обобщаются исследования, предпринятые в 1961—1965 годах, в области разработки регрессий на так называе­ мые фиктивные (dummy) переменные, т. е. на переменные, которые отражают лишь наличие или отсутствие какого-либо признака (им могут присваиваться, скажем, значения 1 и 0).

Две последние главы позволяют четче представить возможности использования матриц при моделировании сложных экономических процессов. В частности, много места здесь уделено объяснению сущ­ ности характеристических корней и характеристических векторов и воз­ можности их применения при разработке динамических моделей (на­ пример, моделей управления запасами, макроэкономических моделей и т. д.).

Не все главы книги равноценны. Однако авторы нигде не забывают о конечной цели — приложении матричной алгебры к решению эконо­ мических проблем, поэтому книга представляет большой интерес и ока­ жется полезной широкому кругу читателей.

Е. М. ЧЕТЫРКИН

Р. М. ЭН ТО В

I

ГЛАВА ВВЕДЕНИЕ

1.ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ

Вэкономике и управлении во все большей степени применяют ко­ личественные методы исследования. Экономисты и менеджеры стали чаще сталкиваться с множеством данных, с результатами тех или иных измерений, почерпнутыми из таких источников, как бухгалтерский учет, оперативный производственный учет, исследования рынка и пуб­ ликации правительственных учреждений. Было бы бессмысленно огра­ ничиваться только сбором и регистрацией данных; собрав их, надо приступать к исследованию с тем, чтобы выяснить, насколько ценную (с точки зрения интересующей нас задачи) информацию можно извлечь из этих данных. Любое исследование такого рода предполагает коли­ чественный анализ с применением математических методов даже в тех случаях, когда просто рассчитываются проценты или средние величи­ ны. Однако часто исходные данные требуют более сложной обработки,

итакие операции предполагают более высокий уровень математической техники. Для того чтобы пользоваться математикой, экономисту и ме­ неджеру следует овладеть ею или по крайней мере настолько освоить математический язык, насколько это необходимо для успешного обще­ ния с математиком, которого привлекут на помощь. Во всяком случае, существует определенный аппарат математического анализа, овладе­ ние которым принесет пользу экономисту и менеджеру. К числу таких инструментов математического анализа относятся матрицы и матричная алгебра.

Эта книга посвящена вопросам применения матричной алгебры в экономике и управлении. Диапазон, охватываемый задачами такого рода, чрезвычайно широк: от решения вопроса о хозяйственном исполь­ зовании дефицитных ресурсов, например, производственного оборудо­ вания (осуществляемом при детерминированных условиях), до приня­ тия решений о купле-продаже ценных бумаг в условиях неопределен­ ности. Хотя мы стремились включить примеры применения современ­ ных методов анализа, следует учитывать, что новые практические при­ ложения и теоретические концепции, основанные на использовании ма-

7

Можно извлечь из таблицы ряды приведенных в ней чисел и записать их в следующей форме:

где содержательное значение каждого показателя определяется его местом в данном массиве. Например, число 1825 во второй строке и третьем столбце представляет собой цену прослужившего 2 года авто­ мобиля в 1952 г. Аналогичным образом находим, что числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и тот же срок в различные годы, а числа в столбце — цены автомобилей различного срока службы в данном году. Таким образом, место, зани­ маемое числом в общем массиве, характеризует продолжительность использования автомобиля и год, к которому относится цена.

Записанный таким образом массив чисел называется матрицей. Для того чтобы указать, что данный массив — матрица, его заключают в квадратные скобки [ ].

Первое, что можно заметить, взглянув на любую матрицу, — она имеет прямоугольную (или квадратную) форму, и ее элементы распо­ лагаются по строкам и столбцам. Элементы каждой строки, а также каждого столбца обычно обладают каким-либо общим свойством. Каждое число в массиве называется элементом матрицы; вообще говоря, это могут быть числа любого вида или даже функции одной или несколь­ ких переменных. В нашем изложении мы будем полагать, что элемента­ ми матрицы являются действительные числа — положительные, отри­ цательные или нуль.

Матричная алгебра, или алгебра матриц, изучает алгебраические операции над числовыми массивами описанного выше типа; при этом предполагается, что каждый массив представляет собой единое целое, он обозначается одним символом. Алгебраические операции осуществ­ ляются с отдельными элементами, содержащимися внутри массива, и все же предметом матричной алгебры являются действия с самими массивами, которые выступают в ней в качестве обособленных и це­ лостных систем.

9