Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Скачать файл (12,91Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в отличие от обычного умножения матриц, когда (ЛБ)' = В'А'. Определение (10) означает, что прямое произведение А * В состоит из р блоков, каждый из которых содержит т строк. Если ранг матрицы В равен 6, то в каждом из этих блоков содержится b независимых строк. Если же при этом ранг матрицы А равен а, то все строки последних р —а блоков будут линейными комбинациями строк, содержащихся в первых а блоках. Но и в каждом из первых а блоков лишь Ь строк не зависимы между собой, поэтому количество независимых строк матри цы А * В равно ab. Следовательно, ранг А * В равен ab, иначе го воря, равен произведению ранга матрицы А на ранг матрицы В.

Прямое произведение часто называют еще произведением Кронекера (см., например, работы Корниша [1] и Вартэка[7], хотя Мак даффи [4] в своем детальном исследовании задач, в которых исполь зуется прямое произведение матриц, не упоминает имени Кронекера.

Некоторые авторы называют А * В правым прямым произведением

в отличие от В * А, которое в таком случае получает название лево го прямого произведения. Иногда именно произведение В * А опре деляется в соответствии с записью правой части уравнения (10). Однако чаще всего так определяют произведение А * В, именно это определение прямого произведения и принято в нашей книге. В работе Сирла [6] подробно рассматриваются соотношения, существующие между прямыми произведениями вида А * В и В * А.

Представляют интерес следующие свойства прямого произведения: 1. Если х и у — векторы, то

х' * у = ух' = у * х'.

2. Если D обозначает диагональную матрицу k-ro порядка, то

D * А — dxA © с?2А ф ... ф d^А ,

но A pXq * D h = (А * I h) ID ф D ф ... ф D, всего q слагаемых]. 3. Если X — скалярная величина, то

X * А = ХА = А * X = АХ.

4. С помощью расчленения матрицы можно записать следующие соотношения:

[Лх Л2] * В = [Ах * В А 2 * В],

однако

А * [Вх Б 2] ф- 1А * BL А * В2].

5.Допустим, что матрицы согласованы для обычного умножения,

втаком случае

(А * В) (X * Y) = А Х * BY.

6. Если обе матрицы Л и Б квадратные и невырожденные, то

(Л * Б)-1 = Л 1 * Б -1.

366

В правильности этих результатов можно убедиться на простых чис ловых примерах. Читателю рекомендуется самостоятельно проделать все необходимые вычисления.

Рассмотрим теперь определитель прямого произведения А * В. Допустим, что по крайней мере одна из матриц А и В не квадратна. Тогда, выясняя ранг матрицы А * В, мы обнаруживаем, что А * В не может быть матрицей полного ранга, а следовательно, определитель этой матрицы равен нулю. Поэтому остается выяснить, чему равен опре делитель прямого произведения А * В в том случае, когда А я В — квадратные матрицы. Предположим, что порядок квадратной матрицы А равен р, а порядок квадратной матрицы В равен т. В таком случае в соответствии со свойством 5 можно записать соотношения:

			АР * Вт = (Ар *				1т) (/р * Вт)				(11)
и,	следовательно,
			I v4 ^5	1	I А Н*/			I ] I ^		I
			I ^ р ^ т	I	I	^ р 1 m l		I 1 р -т		I*
Теперь		можно	показать1,	что		либо \| А			* В \ = \ В * А \|,		либо
\А * В \ = — \|В * Л \|. Последнее							равенство не может иметь места,
поскольку если			положить	В — А,			то	окажется, что \| А * А \| = —
\| А * А \|ЛТаким образом,
				\|Л*В [ =			\| В*А
Подставив это равенство в соотношение (11), получаем
			IА	I =■ 11			*А	I)/	I
			I ^ р ^ т	\| — I		л т ^ р		1 г р -т г
Но	из	свойства 2 следует,			что		11т * Ар \| =			\| А \т и, стало	быть,
\Ар * В т\ = \А \т\В\р.							А * В		существует только		тогда,
	Характеристическое уравнение
когда А * В — квадратная				матрица. Допустим,						что обе матрицы А
и В квадратны,			а их характеристические векторы и и v соответствуют
характеристическим корням к и р,							тогда Аи = ки и Bv — ри. В таком
случае
			Аи * Bv =			ки * ру
и поэтому (А * В) (и * у) =				Яр (и * v).					матрицы А * В равны про
Следовательно,			характеристические корни

изведениям характеристических корней матрицы А и В, а соответству ющие этим корням характеристические векторы (А * В) равны пря мым произведениям характеристических векторов матриц А и В. На

основании этих выводов находим,	что если матрицы U~XAU — Da и
V ^B V = Db представляют собой	канонические формы, полученные
1См. книгу Сирла [6 , с. 216—217].

3 6 7


с помощью преобразования подобия,		то приведение матрицы		А * В
к канонической форме осуществляется		следующим образом:
(.U-1 * V-1) (А * В) (U =1=V) =			Da * Db.
В тех случаях, когда А * В — квадратная			матрица, а Л и Б — пря
моугольные матрицы, о	характеристических корнях А * В можно
заранее сказать лишь то,	что среди всех ее корней г {А)-г (В)			корней

будут заведомо отличны от нуля.

Прямые произведения могут широко применяться в факторном эк сперименте при оценке наблюденных различий (контрастов). Например, изолированное влияние каждого из факторов можно выразить с по мощью линейной, квадратичной, кубической функции и степенных функций более высокого порядка; в таких случаях для выражения взаимодействия между факторами пользуются прямыми произведе ниями. Описание таких вычислительных методов приведено в работе Сирла [6].

10. СЛЕД ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ

/~- Определение следа матрицы было приведено в параграфе 6 главы 1.

Таким образом, если дана матрица А = {atj} при г, / = 1, ..., п, то

ее след tr (Л) = 2 ап , т. е. след Л представляет собой сумму диагональ-

1= 1

ных элементов этой матрицы. Покажем теперь, что для произведения матриц tr (АВ) = tr (ВА) и, следовательно, tr (АВС) — tr (.ВСА) = = tr (CAB). Предварительно заметим, что tr (АВ) существует только

в тех случаях, когда матрица АВ		квадратна, для этого требуется,
чтобы в том случае, когда размер матрицы Л равен г X с, размер мат
рицы В был бы равен с X г. Тогда,		если АВ = {(аЬ)и },
tr (АВ) = 2 (аЬ)п	2 ( \|	аи Ь}\ = 2 ( 2 Ьи ап

= 2 (ba)jr^tr(BA).

Этот результат легко можно распространить на произведение трех и более матриц.

Упражнения

1. Применяя методы, рассмотренные в этой главе, вычислите значения сле дующих определителей:

0 — 1 7

1 0 3

— 4

— 7 — 3 0

— 6

to	4	6
1
0	3	— 7
СО	0	9
1
7	— 9	0

0	16	— 1	2
— 16	0	7	0
1	— 7	0	6
— 2	0	— 6	0

368

2.	а) Дана матрица
			0	—а	ь	~—С
			а	0	—d	е
			—b	d	0	ч
			с	— е	/	0
Докажите, что
	\| / + А \| = 1 + (а2 + Ь2 + с2 + d2 + е2 + Р) + \ А \|.
б)	Вычислите \А\.		рассмотренных в				параграфе 1 данной главы, п
3.	С помощью методов,		рассмотренных в				параграфе 1 данной главы, п
стройте ортогональные матрицы для следующих матриц:
	0	—1	Г		0	1 —2
	1	0	2	И	—1	0	5
	—1 — 2		0		2	—5	0

Вычислите определители ортогональных матриц, покажите, что их произведе ние ортогонально. Найдите характеристические корни этих матриц и приведите каждую из них к канонической форме.


4. Преобразуйте матрицу X =		1	2 -
		О —1		в симметрическую идемпотентную
		—1	О
матрицу;	найдите ранг и характеристические корни этой матрицы (обозначим
ее через	М). Покажите, что произведение			Р 'М Р представляет собой идемпо

тентную матрицу, где Р — одна из ортогональных матриц, рассчитанных в уп

ражнении 3.
5.		Рассмотрим свойства матриц J, описанных в параграфе 2 данной главы
Покажите,		что:
^ ^ m X 1		^ 1 Х п		^ m X m
в)	J.	J	J	т Х 1	=от2;
’	1Хпг		7п	т Х 1	’
r)	Jm{alm + bJm)=(a-\-mb) Jm.
6 .	Покажите,				что матрица первых частных производных функций
			Ух =		6xfx2 + 2хххг + х\ и уг = 2x1 +	+ 2х1х3