Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Скачать файл (12,91Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8 . а) Покажите, что произведение X (УХ )~гУ представляет собой идемпотентную матрицу и что оно равно единичной матрице, если X и У — диагональ ные матрицы.

б) Покажите, что симметрическая ортогональная матрица равна своей

обратной матрице. Постройте симметрическую ортогональную матрицу					вто
рого порядка.		W =	R - 1—R ~ 1Z (Z 'R ~ 1Z +	D ~1)~1Z' R - 1. Покажите,	что
в)	Дана матрица
(R +	ZDZ’) представляет собой ее обратную матрицу.
г)	Дана матрица	D =	X ' (X V ~1X ')~ 1X V ~ 1.	Покажите, что если матрица

Vсимметрическая, то:

1)D' = V-'DV-,

2)D — идемпотентная матрица;

3) (/ — D')	V - 1 (/ — D) =	(/ — D')		V - 1 = V - 1 (/ — D).
д) Докажите, что след матрицы X			(УХ )~1У равен числу строк в матрице У.
9. Пусть К — квадратная		матрица		я-го порядка. При каких К функция
еК принимает следующие значения:
а) е/;	б) I — К + еК;
в) /;	г) е^1\
д) I + К;	е) / + к (еп — 1 )/п.
10. Дана матрица
		R =	-а	а
		R =	Ь	—Ь
			Ь	—Ь
Покажите, что	R n = [—(a-j-	b)\n lR,
и если
		Pi	1	—Pi
		Рг	1	-~Pi

то покажите, что функциональная зависимость

R = logeP

предполагает, что

— (1 —Pi) loge (Pl~Pi)

1—P1 + P2

a + b = — loge (pj — p2).

Найдите характеристические корни

4 —2_

и В =

5 —3

и покажите, что их произведения являются характеристическими корнями А*В.

12. Даны векторы х и у, матрицы А и В, скалярные величины ц и %. Пока жите, что:

а) (х' * В) (А* у) = Вух'А;

б) (к* у ) ( х ' *\i) = ]iKyx'\

в) (В * В) (х * х) = (В * Вх) х ф В (х * Вх);

г) И ф В ) - 1 существует только тогда, когда существуют А - 1 и В - 1.

370

13.Даны матрицы А , В и С. Покажите, что

А* ( В ® С ) ф ( А * В ) ®( А * С ) ,

но

( Л ф В ) * С = ( Л * С ) 0 ' ( Я * С ) .

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.C o r n i s h Е. А. (1957). An application of the Kronecker product of matrices in multiple regression. Biometrics, 13, 19—27.

G г a у b i 1 1

(1961). An Introduction to Linear Statistical

Models.

Vol. I, McGraw-Hill, New York.

and Q u a n d t

(1958).

Microeconomic

H e n d e r s o n

Theory.

A Mathematical

Approach. McGraw— Hill, New York.

Berlin.

M a c D u f f e e

С.

(1933). The Theory of, Matrices. Springer,

(Also, Chelsea Publishing Company, New York, 1946, 1956.)

Analysis. Har

S a m u e 1 s о n

(1947). Foundations

Economic

vard University Press, Cambridge, Mass.

the Biological Sciences.'Wiley,

6 .

S e a r 1 e

(1966). Matrix Algebra for

New York.

(1955). On an application of Kronecker product of m at

V a r t a k

rices to statistical

designs.

Annals of Mathematical

Statistics, 26, 420—438.

					СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к переводу...........................................................................................						5
Г л а в а		1. В веден ие...............................................................................................				7
1. Область применения матричной алгебры .......................						7
2.	Общее описание м атрицы ..............................................................................					8
3.	Индексные обозначения......................................................................................					10
4.	Обозначение операции сложения ч и сел ....................................................					12
5.	Применение точки в качестве подписного индекса.....................................					16
6 .	Определение м атрицы .....................................................................................					16
I.	Векторные и скалярные величины ...........................................................					19
8 .	Общие обозначения.............................................................................................					20
Г л а в а		II. Основные арифметические действия с м атрицам и.......................				24
1.	С ложение..................................................................................................................					24
2. Умножение на скалярную величину..............................................................						25
3.	Вычитание................................................................................................................					26
4.	Равенство матриц и нулевая м атрица.............................................................					27
5.	У множение..............................................................................................................					28
6 .	Законы		ал геб р ы ....................................................................................................			40
7.	В ы воды		...............................................................			43
Г л а в а		III. Другие действия с матрицами........................................................				49
1.	Линейные преобразования.................................................................................					49
2.	Транспонирование матриц....................................................................................					52
3.	Квадратичные ф ормы ............................................................................................					57
4.	Расчленение			м атр и ц .......................................................		61
5.	Умножение расчлененных м атриц ....................................................................					63
6 .	П рилож ение.............................................................................................................					64
Г л а в а		IV. Определители........................................................................................				74
1.	В ведение...................................................................................................................					74
2.	Разложение			на м иноры ......................................................................................		76
3.	Простейшие			свойства определителей.............................................................		79
4.	Сложение и вычитание определителей..........................................................					84
5.	Произведение				определителей.............................................................................	85
6 .	Диагональное				разлож ение.................................................................................	86
7.	П риложение.............................................................................................................					89
Г л а в а		V. Обратная м атри ца................................................................................				98
1.	В ведение...................................................................................................................					98
2.	Произведения,				равные / ................................................	101
3.	Вывод выражения для обратной м атрицы ..................................................					103
4.	Условия		существования обратной м атрицы ...............................................			108
5.	Свойства		обратной м атрицы .....................................................................			108

372

6 . Некоторые приложения обратных матриц...................................................							110
7.	Получение обратной матрицы с помощью расчленения на подматрицы						118
8 .	Получение обратных матриц с помощью Э В М ...........................................						121
9.	Приложение. Левая		и правая		обратная м атрицы ...................................		128
Г л а в а		VI. Линейная	независимость и р а н г ...................................................				136
1.	Линейная		независимость векторов ................................................................				136
2.	Линейная		зависимость	и определители.......................................................			139
3.	Системы линейно-независимых векторов......................................................						140
4.	Ранг	м атр и ц ы ......................................................................................................					142
5.	Элементарные операторы ...................................................................................						145
6 . Ранг матрицы и элементарные операторы ...................................................							147
7.	Определение ранга матрицы .............................................................................						147
8 .	Эквивалентность матриц......................................................................................						151
9.	Приведение матриц к эквивалентной канонической ф орме.....................						152
10. Конгруэнтное приведение симметрических м атри ц ................................							155
11. Ранг произведения			матриц...............................................................................				158
12.	П риложение..........................................................................................................						159
Г л а в а		VII.	Линейные уравнения и обобщенное обращение матриц . .				169
1.	Уравнения,		имеющие множество			реш ений ................................................	170
2.	Совместные		уравнени я	.......................................................................................			171
3. Обобщенные обратные м атрицы ......................................................................							179
4.	Решение линейных		уравнений		с	помощью обобщенных обратных
	матриц						183
5.	Прямоугольные м атр и ц ы ..................................................................................						193
6 . П рилож ение......................................................................							195
Г л а в а VIII. ..................................................................................			Цепи М аркова				204
1.	В ведение.................................................................................................................						204
2.	Стационарные ...............................................................................вероятности						206
3.	Неустановившееся, периодическое и эргодическое поведение системы 208
4.	Марковские ..........................................................цепи с вознаграждением						213
5.	Оптимальные .........................................стратегии			в марковских ц е п я х			215
Г л а в а		IX. .........................................................	программирование				224
1.	Проблема .................................................................................		максимизации				224
2.	Проблема ................................................................................		минимизации				230
3.	Некоторые .......................................................................................обобщ ения						234
4.	Приложения ................................................линейного программирования						239
5.	Модифицированный .............................................................симплекс-метод						243
6 . В ы воды ....................................................................................................................							255
Г л а в а		X. Регрессионный .......................................................................		ан ал и з			259
1.	В ведение.................................................................................................................						259

2.Множественная линейная регрессия: k независимых переменных . . 265

3.Свойства оценок, найденных способом наименьших квадратов . . . . 269

4.	Критерии	существенности...............................................................................		275
5.	Основные	шаги расчетарегрессии...................................................................		284
Г л а в а XI.		Линейные модели..............................................................................		288
1.	В ведение.................................................................................................................			288
2.	Нормальные уравнения		и их реш ения.......................................................	290
3.	Свойства	р еш ен и я ..............................................................................................		291
4.	Функции,	допускающие	о ц е н к у ....................................................................	294
5.	Проверка	существенности................................................................................		298

3 7 3


6 .	Сводка расчетов по			линейной м одели .........................................................	303
7.	Заклю чение............................................................................................................				304
л а в а		XII.	Характеристические корни и векторы.....................................		307
1.	Характеристические			к о р н и ..............................................................................	308
2.	Характеристические			векторы ...........................................................................	312
3.	Некоторые свойства характеристическихк о р н е й ........................................				323
4.	Система линейных конечно-разностныхуравнений первого порядка				327
5.	Главные		характеристические к о р н и ............................................................		331
6 . Разложение характеристического уравнения на множители..................					336
7.	Приложение. Симметрические м атрицы ......................................................				338
л а в а		XIII.	Некоторые специальные вопросы...........................................		349
1. Нормированные векторы и ортогональность...........................................					349
2. Матрицы, все элементы которых равнымежду собой .......................					351
3.	Идемпотентные м атрицы ...................................................................................				355
4.	Нильпотентные м атрицы ...................................................................................				357
5.	Вектор дифференциальных операторов.......................................................				358
6 .	Я кобианы ...............................................................................................................				362
7.	Матричные ф ункции ...........................................................................................				363
8 .	Прямая сумма м атри ц .......................................................................................				364
9.	Прямое произведение м атриц ..........................................................................				365
10.	След произведения м атриц ...........................................................................				368

Смотрите также файлы

Сичиков, М. Ф. Металлы в турбостроении.pdf

Совершенствование теплового процесса листовой прокатки..pdf

Справочник монтажника по технике безопасности..pdf

Стабников, В. Н. Процессы и аппараты пищевых производств учебник.pdf

Табаков, П. М. Работа на координатно-расточных станках.pdf

Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно