ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 1
Обобщая результаты наших вычислений, получаем:
^ х ^ п х и |
kyt - |
к ( ^ |
у;') . |
i= l |
<=1 |
\/=1 |
/ |
Таким образом, складывая от 1 до п одну и ту же постоянную величи ну, мы приходим к результату, равносильному умножению этой вели чины на п\ постоянный множитель может быть вынесен за знак сум мирования.
Существует также способ записи операции умножения с помощью знака, аналогичного 2 . Таким знаком служит прописная греческая буква «пи» — II; она обозначает перемножение всех членов, стоящих справа от нее. Следовательно, точно так же, как сумму элементов Ь, запишем
5
— th г= Ьх+ Ь24 b3-f- 64 -f Ьъ, i= 1
произведение этих же величин составит:
5
П bt .= Ьг Ь2 Ья 64 ьъ. i—1
С точки зрения техники вычислений Г1 эквивалентно 2, только те перь каждый раз нужно вместо сложения прибегать к умножению соответствующих величин.
5. ПРИМЕНЕНИЕ ТОЧКИ В КАЧЕСТВЕ ПОДПИСНОГО ИНДЕКСА
Часто можно встретить следующее сокращение:
т
2 аи — а.].
г= 1
Точка, стоящая вместо i, означает, что выполняется суммирование по индексу i. Поскольку обозначение a.j не указывает, вплоть до какого значения i ведется суммирование, им пользуются только в том случае, когда предел ясен из самого контекста. Наряду с a.j приняты также следующие обозначения:
п
at. = V аи
/= 1
т
>„ «1- = 1
п
Сг н /= 1
У
тп
V VJ i—1/= 1
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ
Матрица представляет собой прямоугольный (или квадратный) массив чисел, образующих строки и столбцы. Все строки и все столбцы имеют одинаковую длину. Пользуясь системой обозначений, описан
16
ных в параграфе 3, обозначим элемент г-й строки и /-го столбца матрицы А через аи-; тогда, если матрица А содержит г строк и с столбцов, ее можно записать таким образом:
Яц Яга «13 |
• • ац • • «ic |
|||
Я21 я22 Я23 |
• ■я2;- . • я2с |
|||
А = |
аг2 Я;3 |
• . аи |
. • |
ягс |
Яд |
||||
_ Яд |
яг2 «гз • . arj |
. • |
ягс |
|
Многоточия, например, в первой строке означают, что за элементами Цц , й12 и а13 последовательно идут аи , аи и т. д. вплоть до а1у- и дальше до а1с\ аналогичным образом в первом столбце за элементами ац , а21 последовательно идут а 31, а41 и т. д. вплоть до ат1. Для обозначения про пущенных элементов всей этой последовательности обычно пользуются стандартным приемом — многоточием. Подобная форма записи дает четкое представление об элементах матрицы, а также о ее размерах, т.е. о числе строк и столбцов. Можно обозначить матрицу и более кратко: А — {яд} при i = 1, 2, ..., г и / = 1, 2, ..., с, фигурные скобки озна чают, что представляет собой типичный элемент матрицы, а преде лами его по i и / соответственно служат г и с.
Будем называть ад- ij-м элементом, где первый из индексов указы вает строку, а второй — столбец, содержащий данный элемент. Таким образом, а23 находится на пересечении второй строки и третьего столб ца. Общие размеры матрицы, т. е. число строк и столбцов, называется ее порядком* (или, что то же самое, ее размерами). Таким образом, матрица А, содержащая г строк и с столбцов, имеет порядок г X с (чи тается: «г на с»). Для того чтобы показать размеры матрицы, ее записы вают в следующем виде: ЛгХс. Первый элемент первой строки матрицы, в данном случае ап , называется ведущим элементом матрицы. При мером матрицы порядка 2x3 может служить следующая матрица:
А2 X 3
4 О
—7 2.73
Заметим, что нуль является вполне законным элементом, что не все элементы должны иметь одинаковые знаки, и что целые числа и десятич ные дроби могут одновременно быть элементами одной и той же матрицы.
Когда г — с, т. е. когда число строк равно числу столбцов, матрица А представляет собой квадрат, и ее называют квадратной матрицей порядка г. В таком случае элементыаи , а22, а33, ..., аТТ называют диаго нальными элементами матрицы, а их сумму — следом матрицы, так
*В нашей литературе термин «порядок матрицы» чаще всего употребля ется, когда речь идет о квадратных матрицах. — Прим■ред.
Гсс. П.-0/..-.ЧН.'.Я |
17 |
|
|
нау чко-т «хн л-.еук-ля |
|
библиотека С<. OF |
|
<м fо г П ПС7ПЗ |
|
что, если А квадратна, след ее равен Нощ. След прямоугольной мат- 1
рицы не определяется.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, такую матрицу называют диагональной. Например,
3 |
0 |
0 |
0 — 17 |
0 |
|
0 |
0 |
99 |
представляет собой диагональную матрицу. Квадратные матрицы могут иметь и такой вид: все элементы над диагональю (или под ней) равны нулю; например,
1 |
5 |
13 |
2 |
0 |
0 |
В = 0 |
- 2 |
9 |
и С - 8 |
3 |
0 |
0 |
0 |
7 |
1 |
— 1 |
2 |
Такие матрицы обычно называются треугольными, причем В называет ся верхней треугольной матрицей, а С — нижней треугольной мат рицей.
Пример. Организация исходных данных в матричной форме может потребоваться в ходе принятия хозяйственных решений. Пример та кого применения матриц можно найти в работе Дермана [2], в которой рассматривается следующий вопрос: в каких случаях нужно сохранять старое оборудование и в каких принять решение о замене его новым. Этапы, характеризующие старение оборудования, Дерман представил как состояния исследуемой системы. Предположим, что эти состояния перечисляются как в первой строке, так и в самом левом столбце табли цы. ij-к элемент матрицы представляет собой вероятность того, что си стема, пребывая в некоторый момент в состоянии i (строка г), в следую щий момент, т. е. через единицу времени, окажется в состоянии / (стол бец /). Матрица, содержащая такие элементы, называется матрицей вероятностей перехода системы*. Численные значения ее элементов (вероятностей) зависят от принятия того или иного решения по поводу функционирования рассматриваемой системы.
Предположим, в частности, что определенная часть оборудования может либо нормально работать, либо нуждаться в налаживании. Если оборудование бесперебойно работает, тогда с вероятностью 0,90 оно будет в следующий период также функционировать нормально, а с вероятностью 0,10 оно будет через единицу времени нуждаться в нала живании. Теперь допустим, что оборудование требует налаживания
и что с вероятностью 0,99 оно и через единицу времени будет нуждаться
вналаживании, а с вероятностью 0,01 оно в следующий момент сможет само по себе прийти в нормальное состояние. Тогда все вероятности перехода можно свести в следующую таблицу.
*См.: |
Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. |
М., «Мир», |
1964, т. 1, с. 365—367. — Прим, перев. |
18
Вероятные состояния |
оборудования |
|
|
Н а конец периода |
|
Н а начало периода |
н ормальное |
т р ебу ется |
|
функционирова |
н ал а ж и в ан и е |
|
ние |
|
|
|
|
Нормальное функционирование . . . |
Верот тности |
|
0,90 |
0,10 |
|
Требуется н ал аж и в ан и е .................... |
0,01 |
0,99 |
Тогда матрица вероятностей перехода будет иметь следующий вид:
'0,90 0,10 '
0,01 0,99
Заметим, что сумма значений вероятности по любой строке равна еди нице. Это справедливо для любой матрицы вероятностей перехода, так как после перехода система должна будет характеризоваться одним из допустимых состояний. В общем виде матрица вероятностей перехода выглядит следующим образом:
|
Рп |
Pl<l |
Pl3 |
••• |
Plm |
|
р |
Р21 |
Р22 |
7*23 |
••• |
Pim |
_ |
_ РтХ |
P m i |
РтЗ |
• • • |
Ртт _ |
|
|
{рц} |
при |
г, у - |
1, |
2, ..., |
т, |
|
где рц — вероятность того, что система, находясь в состоянии г, через какую-то заданную единицу времени перейдет в состояние у. Приняв определенные допущения относительно различных значений р и опи раясь на математическую статистику и матричную алгебру, можно прийти к некоторым выводам относительно достоинств и недостатков той или иной хозяйственной стратегии. Матричную форму записи по лезно применять при решении многих хозяйственных задач, в связи
сэтим в дальнейшем изложении мы неоднократно будем прибегать
кматрицам для того, чтобы оформить, сводя воедино, всю информацию о вероятностях перехода.
7.ВЕКТОРНЫЕ И СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Матрица, состоящая только из одного столбца, называется векторомстолбцом, например, выражение
3
•2
х =
0
1
19