Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

— (х' Ах) = Ах + А' х.

Пример 2. Применение в статистике метода наименьших квадра­ тов предполагает минимизацию суммы квадратов элементов вектора

361

Пусть вектор е = {ег} при i = 1, 2, п\ тогда сумма квадратов

S = V е\ ^ е ' е = ( у — ХЬ)'{у — ХЬ) = i = 1

— у' у — Ь' X' у — у' Xb -f- b' X' ХЬ .

Поскольку произведение у'ХЬ — скалярная величина, оно не меняется при транспонировании и равно Ь'Ху, следовательно,

S = у'у — 2Ь’Х'у + Ь'Х'ХЪ.

Найдем такие значения элементов вектора Ь, при которых величина S

окажется наименьшей; для этого приравняем к нулю выражение

где под Щ подразумевается описанный вектор дифференциальных опе­

раторов. Тогда с помощью соотношений (1) и (5) можно прийти к сле­ дующему результату:

6. ЯКОБИАНЫ

При решении экономических задач, предполагающих отыскание максимума и минимума, часто пользуются матрицами первых и вто­ рых частных производных. Примером матрицы первых частных про­ изводных

\ ~ \ при t, / —1, 2,..., п I dxj )

может служить матрица, использовавшаяся в уравнении (4). Опреде­ литель такой матрицы называется якобианом; обозначим якобиан бук­ вой J. Описанные в предыдущем параграфе методы дифференцирова­ ния можно применить к любой задаче, в которой переменные у пред­ ставляют собой функции от других переменных х; получаемый в таком случае определитель матрицы первых частных производных называют якобианом функций у%по переменным xj. Допустим, что между пере­ менными у и х существует линейная зависимость, которая может быть выражена формулой у — Тх. В таком случае из уравнения (4) сле­ дует, что J = | Т' |, иначе говоря, якобиан — это определитель тран­ спонированной матрицы Т, или, что то же самое, определитель матри­ цы Т '.

362

Якобианы широко применяются также при интегральном исчисле­ нии в операциях преобразования переменных.

Допустим, что под интегралом стоят дифференциалы dy1> dy2, ....

dyn, тогда переход от переменных уг, у 2, ..., уп к новым переменным xlt х2, ■■■, хп осуществляется следующим образом: вместо у подставля­ ются соответствующие функции от х, а дифференциалы dyt заменяются на | / | dxi, dx2, .... dxn, где J — якобиан функций у по переменным х,

[3] приводят достаточные условия существования максимума функции полезности, причем критерий, указываемый ими, предполагает рас­ смотрение главных миноров окаймленной матрицы Гесса. В книге Самуэльсона [5, глава 6] якобиан применяется в самых различных преобразованиях в моделях потребительского выбора и максимиза­ ции прибыли предпринимателями *.

7.МАТРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Вряде случаев имеет смысл ввести матричные функции, строящиеся по аналогии со скалярными алгебраическими функциями. Рассмотрим, например, матричную функцию ек :

функции. Для того чтобы определение такой матричной функции име­ ло смысл, матрица К должна быть квадратной, в этом случае ек будет

где R и Р обозначают матрицы. Для того чтобы представить R в виде степенного ряда, снова надо обратиться к алгебре скалярных величин:

363

которое дает возможность представить Р в форме ряда, как ранее ек . Это соотношение позволяет установить определенную зависимость между элементами матриц Р и R:

можно привести к сравнительно простой форме (см. упражнение 10).

где нули обозначают нулевые матрицы соответствующего порядка.

Транспонированная матрица прямой суммы совпадает с прямой сум­ мой транспонированных матриц. Ранг прямой суммы равен сумме рангов матриц-слагаемых; это следует из определения ранга матрицы (см. параграф 4 главы VI). Из определения прямой суммы матриц мож­ но заключить, что А 0 (—А) ф 0 (если, конечно, матрица А не пред­ ставляет собой нулевую матрицу). Соотношение

(А 0 В) + (С 0 D) = (Л + С) 0 (В + D)

оказывается справедливым лишь в том случае, если выполнено усло­ вие согласования матриц для сложения. Точно так же соотношение

(Л 0 В) (C@D) — АС ®BD

364

справедливо лишь в тех случаях, когда выполняется условие согласо­ вания матриц для умножения. Допустим, что матрицы Л и В невырож­ дены; тогда приведенное соотношение позволяет заключить, что

матриц равна сумме их столбцов. В том случае, когда А я В — квадрат­ ные матрицы, определитель А ©В равен | А | ] В |, в остальных случаях определитель А ф В равен нулю (можно убедиться в этом, подверг­ нув определитель | А ® В \ разложению Лапласа). Если А я В квад­ ратные матрицы, характеристическими корнями их прямой суммы бу­ дут характеристические корни матриц Л и В, в этом можно убедиться, выписав характеристическое уравнение матрицы Л ©В. Допустим, что и и v соответственно обозначают характеристические векторы матриц А я В, тогда характеристические векторы матрицы Л © В имеют сле­

дующий вид: q и yj. Однако если матрицы Л и В не квадратны, а

матрица Л ф В квадратна, заранее можно утверждать лишь то, что по крайней мере d характеристических корней Л © В будут равны нулю, где d — разность между числом строк и столбцов матрицы Л (или матрицы В). Характеристические векторы прямой суммы матриц рассчитываются тем же способом, что и для любой матрицы.

9. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ

Прямое произведение матриц ApXq я ВтХп определяется следующим образом:

ап В ... alqB

Из этого определения следует, что прямое произведение можно рас­ членить на подматрицы соответственно числу элементов, содержащих­ ся в матрице Л, причем каждая из этих подматриц будет произведени­ ем матрицы В на соответствующий элемент Л. Элементы прямого произведения состоят из произведений всех возможных пар такого ви­ да: элементы матрицы Л умножаются на матрицу В, а размеры пря­ мого произведения равны pm X qn. Например,

[1 2 3]* '6 г ‘6 7 12 14 18 21" 8 9 8 9 16 18 24 27

Транспонированная матрица прямого произведения совпадает с пря­ мым произведением транспонированных матриц-множителей; в спра­ ведливости этого вывода можно убедиться, транспонировав матрицы, приведенные в определении (10). Заметим, однако, что (Л * В )'= А' *В’

365