Так как вероятность одновременного наступления некоторого числа независимых случайных событий равна произведению вероятностей наступления каждого события в отдельности, то вероятность наступ ления событий А и В в указанной последовательности будет
р • q ■р • р • • • р = р" qN~n .
Но по условию безразлично, в какой последовательности распола гаются события А и В , лишь бы за N опытов событие А наступило п раз. Число различных последовательностей, при которых событие А может иметь место п раз, определяется числом возможных сочетаний из N элементов по п:
|
|
|
|
|
|
Сп |
|
N\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
п\ {N — n)\ |
|
|
|
|
Следовательно, искомая |
вероятность |
будет |
составлять |
|
|
|
|
|
|
|
|
N—n |
т |
„и N —n |
. |
(7.1) |
|
|
Pj, (п) — С" р" q |
п! (N — п)\ |
p q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
этой |
формуле |
|
можно |
|
|
|
|
|
определить, |
какова вероятность |
|
|
|
|
|
того, |
что при N опытах |
собы |
|
|
|
|
|
тие А наступает |
1, |
2, |
3, ... |
, п |
|
|
|
|
|
раз. Если построить зависи |
|
|
|
|
|
мость |
PN(ri) = / |
(п), |
то |
полу |
|
|
|
|
|
чается |
ступенчатая |
|
кривая, |
|
|
|
|
|
которая показывает |
распреде |
|
|
|
|
|
ление этих вероятностей |
(рис. |
|
|
|
|
|
7.2). Она имеет |
максимум, |
ко |
|
|
|
|
|
торый, |
как легко показать, |
ле |
Рис. 7.2. |
Биномиальный |
закон |
распре |
жит при п = |
Np. Это |
значение |
п в дальнейшем |
будет |
обозна |
деления для р = 1/3 и N = 50 |
[Л.7.1] |
чаться |
п0 |
|
|
|
|
|
п0 = Np. |
|
|
|
(7.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон распределения вероятностей, соответствующий выражению
(7.1), |
называется б и н о |
м и а л ь н ы м , |
так как Ря(п) есть |
(п -j- |
1)-й член разложения |
в ряд бинома |
(р + q)N. |
И. Распределение Пуассона
Рассмотрим теперь, как изменится выражение (7.1), если предпо ложить, что N становится очень большим и в пределе стремится к бесконечности, р — очень малым и в пределе стремится к нулю, но так, чтобы при этом произведение Np стремилось к некоторому конеч ному значению. Учитывая, что q = 1—р и согласно (7.2) р = njN, (7.1) можно представить в виде
^(«> |
У! |
! По у Л _ |
п0 |
у - п |
л! (N — я)1 |
\ N J \ |
N |
) |
Так как согласно определению факториала
N1 |
= |
N (N — 1) (N — 2)... (N — п 4- 1), |
|
Ш - п)I |
|
|
|
|
|
|
|
|
то при перестановке множителей в знаменателе |
|
|
_ Л/- (JV — l)(iV — 2) ... (/V — п + 1) |
, |
„п |
|
/V— п |
по |
|
по У |
Pw(n) = |
|
Nn |
|
|
п\ - ( • - |
N ) |
или |
|
|
|
|
__ 2_ |
|
|
|
|
|
PN(n) = ( 1 |
|
|
|
‘ V «S |
/ ■1 |
«и ' X |
|
N |
|
|
N |
|
|
|
п! |
V |
N |
|
|
x f l |
"о |
|
|
|
(7.3) |
|
|
|
|
|
|
Л/
Так как предполагалось, что N » л0 и в пределе стремится к бес конечности, то приближенно
= 1,
Л/
и согласно определению числа е — е = lim (1 + 1/х)Л' —
|
Тогда вместо |
(7.3) получаем |
|
|
|
|
Р (л) = |
е' п° . |
(7.4) |
Это |
выражение |
называется з а к о н о м |
р а с п р е д е л е н и я |
П у |
а с с о н а . По сравнению с (7.1) |
оно имеет то преимущество, что |
в него не входят величины N я р, которые в ряде задач могут быть не известными. Поскольку N здесь не фигурирует, закон Пуассона целе сообразно обозначать Р (п) вместо Рл(п), оставляя обозначение Рп(п) для биномиального закона.
7.2.2. Числовые характеристики случайных величин
Во многих случаях нет необходимости оперировать при расчетах с относительно сложной функцией распределения, а достаточно поль зоваться определенными числовыми величинами, характеризующими лишь в основных чертах закон распределения рассматриваемой слу чайной величины. Эти числовые величины называются ч и с л о в ы ми х а р а к т е р и с т и к а м и с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
и представляют собой различного вида средние значения, вычислен ные по функции распределения."
Важнейшие числовые характеристики случайных величин 'сле дующие.
1. Среднее значение случайной величины или ее математическое ожидание. Если случайная величина дискретна и может принимать
значения хг, х2, ..., хп с вероятностью ръ рг, ... , рп, |
то ее математи |
ческое ожидание х (черта сверху означает усреднение): |
П |
|
* = |
(7-5) |
1=1
Если случайная величина изменяется непрерывно в интервале от а до Ь, то для определения среднего значения этот интервал разби вается на элементы dx так, чтобы вероятность в пределах каждого элемента молено было считать постоянной. Тогда вместо суммы (7.5), переходя к пределу, получаем
_ |
ь |
|
х = J х dPx, |
(7.6) |
|
а |
|
где dPx — вероятность того, |
что-значение х лежит в пределах |
от х |
до х + dx. |
|
|
2. Средний квадрат случайной величины или математическое ожи дание ее квадрата. Ограничиваясь здесь, как и в следующих опреде лениях, случаем непрерывных случайных величин, средний квадрат может быть представлен в виде
ь
х2 = |
J х2 dPx. |
(7.7) |
|
а |
|
3. Среднее отклонение случайной величины, понимая |
под этим |
ее среднее отклонение от математического ожидания |
|
--- - |
ь |
|
х — х = j (х — х )й Р х.
а
Эта величина при интегрировании в широких пределах равна нулю, однако при достаточно узких пределах интегрирования имеет значения, отличные от нуля.
4. Средний квадрат отклонения случайной величины, называемый
иначе д и с п е р с и е й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы |
|
____ _ |
ь |
_ |
|
(х — х)2 = |
[ ( х — x f d P x . |
(7.8) |
а
Далее приводится два необходимых в дальнейшем правила дей ствий над средними значениями случайных величин. Доказательства этих теорем можно найти в книгах по теории вероятностей [Л.7.3].
1. Математическое ожидание произведения постоянной величины а на случайную величину х равно произведению постоянной а на ма тематическое ожидание величины л:
2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин рав
но сумме их математических ожиданий |
|
х + у = х + у . |
(7.10) |
На основании приведенных ранее определений найдем теперь числовые характеристики, соответствующие рассмотренным законам распределения.
Начнем с математического ожидания п при биномиальном законе распределения. Эта величина в данном случае показывает, сколько раз в среднем при известной вероятности р наступает определенное
событие за N независимых опытов. Поскольку при биномиальном законе распределения предполагается, что случайная величина дис
кретна, то для определения п следует использовать выражение (7.5), которое при обозначениях, принятых в 7.2.1, запишется в виде
_ |
N |
|
(7.11) |
п = ^ п Р ы(п). |
|
'1 = 1 |
|
|
Подставляя сюда (7.1), |
сокращая |
числитель и знаменатель на п |
и вынося Np за знак суммы, получаем |
|
|
N |
(N-\)\ |
■ |
|
|
рп- i q .v - n |
-1=1 |
( / i — l ) I ( Л / — |
и ) ! |
|
Так как сумма в этом выражении равна сумме ряда, соответствую
щего биному (р + |
q)N~l, т о далее для п можно написать |
|
|
я = N p { p + q f ~ ' • |
|
Поскольку р + |
q = 1, то отсюда следует |
|
|
n = Np. |
(7.12) |
Найдем теперь величину пг. С учетом дискретности рассматривае мой случайной величины она в отличие от (7.7) определится суммой
