Корреляционная функция обладает следующими свойствами
(рис. 7.4):
1. Она является функцией только от 0 и не зависит от /. Независимость от t обусловлена стационарностью функции х (/).
2. Она симметрична относительно 0. Поскольку корреляционна функция согласно первому пункту не зависит от начала отсчета вре мени t, то его, очевидно, беспрепятственно можно передвинуть вперед
на промежуток 0, т. е. заменить |
в (7.26) t |
на |
t |
— 0 и t + |
0 |
на |
t. Так как, кроме того, очевидно, |
х (/) х (t + |
0) |
= |
х (t + 0) |
х |
(/), |
то из совокупности этих обстоятельств следует |
|
|
|
|
|
* (/) x(t + b) = |
х (/) л: (/ — 0), |
|
|
(7.28) |
т. е. симметричность относительно 0, |
|
|
|
|
|
7.2.5. Спектральное разложение |
|
|
|
|
|
|
стационарной случайной функции |
|
|
|
|
|
|
Как известно из электротехники, для вычисления действующих значений периодических несинусоидальных токов или напряжений требуется разложение их на гармонические составляющие. Таким же образом, очевидно, нужно поступать при определении числовых характеристик случайных функций, которые являются не только несинусондальными, но и непериодическими.
Рассмотрим определение дисперсии как наиболее важной число вой характеристики случайной функции. Возьмем случайную функ
цию х (t), у которой х (/) — 0. Тогда дисперсия будет равна среднему
квадрату самой функции x2(t). Для определения этой величины пред положим сначала, что рассматриваемая функция не соответствует точно определению случайной функции, а что она периодична, однако с очень большим периодом повторения Т0. Для получения результата, соответствующего истинной случайной функции, произведем затем
переход к Т0 = оо. При конечном значении |
Т0 функцию с перемен |
ной соста_вляющей произвольной формы, как |
известно, можно пред |
ставить в виде ряда Фурье. Если воспользоваться комплексной фор мой этого ряда, то разложение такой функции в ряд будет иметь вид
[Л.7.4]
|
: ( 0 = 2 ( А |
|
/тьt + |
-4- ь е -/<*>* i )■ |
(7.29) |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
где k |
— порядковый |
номер |
|
гармоники; соА — круговая |
частота k-й |
гармоники, равная |
|
|
wh = k (!)„, |
|
(7.30) |
|
|
|
|
|
если |
ш0 — круговая |
частота |
основной |
гармоники |
|
|
|
“ о |
= |
O h |
2п |
|
(7.31) |
|
|
2к fo = — |
|
Ak и |
— коэффициенты, |
равные |
1О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т * |
|
|
|
|
|
Ак= |
|
I |
* |
е/m*f |
dt> |
(7.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
т |
г» |
|
|
|
|
|
|
|
|
т т° |
|
|
|
|
|
A-h = -jr- |
j |
x(t) е/ш*' |
dt. |
(7.33) |
Найдем'теперь квадрат действующего значения k-й гармоники такой почти случайной функции. Для этого предположим, что имеет ся множество реализаций этой функции. Определим сначала квадрат действующего значения искомой гармоники для одной реализации.
Если его обозначить Х\, |
то согласно определению действующего зна |
чения |
|
|
|
|
2 |
+ Д-ft |
~1шь ‘ |
(7.34) |
Xк |
|
|
откуда при возведении скобки в квадрат |
|
|
|
Т Го |
|
+Т |
г” |
|
Г |
A l ^ l dt + 2 Г |
|
Ah A_hdt + |
т7-»
+I
Как интегралы периодической функции, взятые по полному периоду, первое и третье слагаемые в скобке равны нулю. Следовательно,
Полученное таким образом значение XI относится к одной опре деленной реализации. Но нужно иметь в виду, что рассматриваемый процесс случайный и ход каждой реализации соответствующей ему случайной .функции несколько другой. Поэтому для определения среднего квадрата действующего значения /е-й гармоники надо сначала определить его значение для каждой реализации и затем усреднить эти значения по множеству. Квадрат действующего значения /г-й гармоники для каждой реализации будет выражаться формулой, аналогичной (7.35). Тогда среднее значение по всему множеству
х [ = 2 ~\АГЬ
или, при подстановке сюда (7.32) и (7.33)
Очевидно, в этом выражении ничего не изменится, если в каждом интеграле аргумент обозначить по-другому, например t и и пред ставить формулу в виде
|
Т т° |
т г° |
Xl |
I |
х (() е |
х (Г е/шьг dt' . (7.37) |
|
, - T |
r» |
- г 7° |
Произведение двух интегралов по существу представляет собой про изведение двух каких-то сумм. При этом каждый член одной суммы должен перемножаться на каждый член другой. Эта последователь ность действий представляет собой двойной интеграл. Следовательно, (7.37) можно переписать в виде
2 |
2 |
*(/) x.if') elwk«'-v dt dt' |
(7.38) |
Xk |
т2 |
|
1о |
|
|
Так как согласно правилам действий над средними значениями случайных величин интегрирование и усреднение можно поменять местами, то вместо (7.38) можно написать
T |
j J |
x (t) x (t') e/lu* |
dt dt' |
t. / '= - у To
x(t)x(t')ela‘k u' - t) dt' dt.
To
Положим теперь t' — t + 0. При такой замене 0 должно представ лять собой произвольный, не фиксированный промежуток времени. Он не фиксирован в связи с тем, что t и t' можно выбирать произволь но. Производя в последнем выражении такую подстановку и учиты вая, что е^*0 как величина, не зависящая от t, может быть вынесена из-под'знака усреднения, получаем
|
2 |
x(t)x(t + 6) е/ш*в d9 |
\ |
|
dt, |
|
Xk |
|
где х (t) х (t + |
0) — корреляционная функция. Так как |
выражение |
в скобке не зависиит от t, то его можно вынести из-под знака инте
грала и отбросить |
у |
него |
слагаемые |
t в |
пределах |
интегрирования, |
в результате |
чего |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~п |
Т т° |
Т г° |
*{/)*(' +0) е/ш*е |
|
I |
dt |
J |
Х\ = |
|
|
|
|
|
|
|
dQ |
|
|
|
J-т |
|
L r |
° |
|
|
|
|
|
|
~ T г° |
~ Г |
|
|
|
или, интегрируя по t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J_r |
|
|
|
|
|
|
XI |
2' |
Г т° |
|
|
|
|
|
|
I* |
x(t)x(t + 6)e/m*9 d0. |
|
|
= |
|
|
|
|
4 |
Г» |
|
|
|
|
Так как e/<V |
= |
cosco^ + / sin a)kt |
и |
корреляционная функция |
симметрична, то выражение для |
Х \ |
можно записать |
в виде |
|
|
|
f |
т° |
|
|
|
|
|
|
X А2 |
|
2 |
х (t) х (t 4- 0) cos и>ь 0d0. |
(7.39) |
|
|
|
~о
То
