Файл: Клейнер, Э. Ю. Основы теории электронных ламп учебное пособие.pdf

с первым слагаемым преобразования, подобные преобразованиям при выводе (7.12), легко получить

Средний квадрат отклонения (дисперсия) Д/г2, согласно определе­

Подставляя сюда (7.13) и (7.12), получаем после простых преобра­

Перейдем к распределению Пуассона. Для /г, очевидно, сохраняет­ ся выражение (7.12). Для /г2, имея в виду, что Np = п и что р предпо­

При распределении Пуассона дисперсия случайной величины, следо­ вательно, равна ее среднему значению.

Из сравнения (7.2) и (7.12) следует, что п0 = п. Это дает возмож­ ность представить (7.4) в более удобном для практических целей виде

7.2.3. Системы случайных величин. Корреляция

При изучении более сложных случайных явлений приходится использовать две или даже несколько случайных величин, образую­ щих совместно систему. Свойства систем случайных величин не ис­ черпываются свойствами каждой величины в отдельности, а зависят

•еще от связей, существующих между ними.

Две случайные величины могут быть зависимыми или независимыми друг от друга. Два события считаются независимыми, если одно из них не влияет на появление другого. Соответственно две случайные

Для того чтобы найти критерий, по которому можно было бы уста­ новить, являются ли две случайные величины независимыми, рас­

наступления их одновременно, как уже указывалось в 7.2.1, равна произведению вероятности наступления каждого в отдельности. Тогда

и далее, поскольку произведения xipt и ykPk независимы друг от друга,

п п п п

откуда при подстановке выражений (7.19) следует (7.18).

При рассмотрении шумов электронных ламп в основном будут интересовать отклонения случайных значений токов от своих средних значений, т. е. случайные величины, у которых математические ожи­ дания равны нулю. Для независимых случайных величин х и у, у

Иначе обстоит дело, когда величины х и у коррелированы. Харак­ тер корреляционной зависимости может быть различным. Наиболее простая корреляция — линейная. В этом случае связь между х и у можно представить в виде

306

где а — постоянная; г — флуктуирующая величина, не зависящая

от х.

Выражение (7,21) соответствует наиболее общему случаю линей­ ной корреляции— частичной, так как флуктуации - у не полностью совпадают с флуктуациями х. Полная корреляция получится, если положить г = 0, т. е. когда

у= ах.

Вэтом случае ху — ахъ = ах-, т. е, ху не будет равным нулю, даже

если х = 0 и у = 0. То же имеет место при частичной корреляции. Из рассмотренных особенностей произведения ху вытекает сле­ дующее практически важное правило: если математическое ожидание

7.2.4. Случайные функции. Корреляционная функция

С л у ч а й н о й называется функция, значение которой при каж­ дом значении аргумента является случайной величиной. В дальней­ шем будут рассматриваться лишь случайные функции, у которых аргументом служит время.

Так как случайной называется величина, которая s в результате опыта может принимать то или иное значение, неизвестное заранее, то из определения случайной функции следует, что она в результате

ц и и . При каждом опыте получается одна из возможных реализаций данной случайной функции.

С л у ч а й н ы м называется процесс, протекание которого по времени описывается случайной функцией. Различают стационарные и нестационарные случайные процессы и соответственно стационар­ ные и нестационарные случайные функции. Стационарным называ­ ется случайный процесс, протекающий по времени приблизительно однородно; описывающая его стационарная случайная функция имеет вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя .амплитуда, ни характер этих колебаний не изменяются существенно со временем (рис, 7.3,а), Нестационар­

ный случайный процесс, а соответственно и нестационарная случай­ ная функция характерны тем, что они имеют тенденцию развития со временем (рис. 7.3,6).

Случайные функции могут быть охарактеризованы теми же чис­ ловыми величинами, что и случайные величины. Сущеетвенная осо­ бенность стационарной случайной функции заключается в том, что значение ее числовых характеристик в связи с стационарностью не зависит от того, какой момент при их рассмотрении принять за начало отсчета времени.

Рис. 7.3. Виды случайных функций:

а — стационарная: б — нестационарная

Определение числовых характеристик стационарных случайных функций возможно двумя путями. Один заключается в том, что рас­ сматривают одну единственную реализацию этой случайной функции и пользуются ее значениями в различные моменты в пределах доста­ точно большого интервала времени. Во втором случае исходят из множества реализаций, полученных одновременно на большом числе объектов, в которых протекает один и тот же случайный процесс,

ипроизводят вычисления по значениям всех этих реализаций в один

итот же момент времени. Первым путем пользуются при измерении шумов, вторым — при их вычислении. Использование множества реализаций облегчает вычисления тем, что позволяет производить сперва усреднение по некоторому малому интервалу времени для од­ ной реализации , а затем усреднение по множеству.

Далее приводятся некоторые необходимые в дальнейшем правила действий над числовыми характеристиками случайных функций в дополнение к тем, которые уже приводились в 7.2.2 для действий над случайными величинами:

1)математическое ожидание производной от случайной функции

равно производной от ее математического ожидания

308

2) математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания

Из этих правил следует, что операцию дифференцирования и опе­ рацию интегрирования можно менять местами с операцией усредне­ ния.

Подобно тому, как между двумя различными случайными величи­ нами может существовать корреляция, она возможна и между зна­ чениями случайной функции в разные моментывремени. Для того чтобы установить, существует ли такая корреляция, очевидно доста­ точно проверить, имеется ли она между отклонениями соответствую­ щих значений случайной функции от среднего. Если значение слу­ чайной функции в момент времени t обозначить х (i), а в момент более поздний на отрезок времени 0 — х (I + 0), то соответственно 7.2.3 критерием наличия корреляции между этими величинами может слу­ жить выражение

это часто имеет место, то корреляционную функцию можно записать в виде

Степень корреляции между значениями одной и той же случайной функции в разные моменты времени уменьшается с ростом 0. Для учета скорости этого убывания пользуются понятием в р е м е н и к о р р е л я ц и и т, понимая под этим интервал времени, за предела­ ми которого значения случайной функции практически можно счи­ тать некоррелированными. Отсюда следует соответственно (7.20), что при х (/) = 0 и .0 > т

Примером процесса с ограниченной по времени корреляцией мо­ жет служить эмиссия электронов с катода. Если интервал времени между выходом двух электронов достаточно велик, то эти события можно считать некоррелированными. Если же выход второго электро­ на следует за выходом первого до того, как первый успел долететь до анода, т. е. в пределах его времени пролета т0, то электрон, вышед­ ший первым, за счет вызываемого им в междуэлектродном простран­ стве изменения электрического поля влияет на условия выхода вто­ рого. Время корреляции в этом случае приближенно равно времени пролета.

309