Файл: Грабовски, К. Параметрические усилители и преобразователи с емкостным диодом.pdf

где z(t) и г/(0 — интегро-дифференциальные операторы1 ) линейной цепи (рис. 7.3) со следующими свойствами2 ):

Вычитая (7.3) из (7.2) и подставляя (7.4) в правую часть разности, получим уравнение цепи

^M|«*-»w s»N|"*w

Рис. 7.3. Эквивалентная схема периодической цепи (рис. 7.1).

Предполагая, что имеет место установившийся режим и что неиз­ вестный ток ih{t) изменяется по закону

а также сравнивая в (7.6) члены с одинаковыми частотами со„, получим дифференциальное уравнение в частных производных для неизвестных комплексных амплитуд тока I n i k , зависящих от номера п частоты со„ и от номера узла k:

2 ) В дальнейшем, интерпретируя зависимости в § 7 . 1 , будем принимать, что Z(co) и К(со) не имеют вещественной части. Благодаря такому допущению отно­ сительно просто и ясно удается объяснить принцип усиления в такой схеме. Однако с формальной точки зрения нет никаких препятствий к тому, чтобы во всех зависимостях § 7.1 учитывать появление действительной части в Y(a>) и Z(co). В частности, в импедансе Z(co) может быть учтено последовательное сопро­ тивление потерь Rs р-п перехода диода.

211

Для упрощения дальнейших расчетов положим, что всеми гармо­ никами переменного эластанса отдельных диодов, кроме первой, можно пренебречь, а также выберем начальный момент времени так, чтобы St = St и а В п 1 = = р„. Тогда уравнение (7.9) можем пе­ реписать в следующем виде:

преобразуем его к виду, при котором коэффициенты при неизвестных токах не зависят от k:

In. k е' Р н " - J n , t + i (2 + У (соJ Z К ) + А ^ К ) ) + .

Зависимость амплитуды тока от номера k в выражении (7.11) легко можно исключить [30], предполагая решение в виде

которое можно упростить, вводя [30] фазовую постоянную1 * |3„ цепи без

для характеристики четырехполюсников с потерями носит название передаточ­ ной функции (трансмитанса).

212

Уравнения (7.15) представляют собой бесконечную систему алге­ браических уравнений ( — со < п < со), содержащих неизвестные постоянные распространения Г, которые теоретически можно рассчи­ тать из условия, что определитель бесконечно большого порядка, со­ ответствующий данной системе, равен нулю. На практике линейные четырехполюсники (рис. 7.1) могут быть спроектированы так, что в по­ лосе пропускания схемы будет находиться лишь конечная часть мно­ жества частот соп (7.8). Если предположить, что п может принимать ко­ нечное число значений N, то тогда из условия равенства нулю опреде­ лителя получим 2N значений Г и 2N постоянных интегрирования, которые определяются из граничных условий на входе и выходе цепи для каждой из N частот. Приводимый далее пример, относящийся к практически используемому выбору только двух частот, дает представ­ ление о методе решения [30] уравнения (7.15).

Предположим, что в полосе пропускания линейной электрической цепи (рис. 7.1) (с учетом среднего значения 5 0 эластанса) находятся только две1 ) частоты юп , соответствующие п = 0 и п— — 3, а все дру­ гие частоты со^ по условию находятся в полосе запирания и сильно по­ давляются. В соответствии с этим дифференциальное уравнение (7.15) сводится только к двум алгебраическим уравнениям:

а соответствующее условие для определения Г в этом случае имеет вид

ли дисперсии нет, то вся мощность постепенно перекачивается в нерабочие гар­ моники. Образуется нечто вроде ударной волны и усиление отсутствует. (Прим. ред.)

2ia

принципе только с помощью численных методов. Представление ре­ шения уравнения (7.20) в виде функциональной зависимости возможно при условии, что его правая часть мала (близка к нулю) и тогда в пер­ вом приближении можно принять [30], что решения Г' однородного уравнения незначительно отличаются от решений Г неоднородного уравнения. Отметим, что решения однородного уравнения определя­ ются видом правой части (7.20) и составляют

и подставим (7.22) в (7.20), помня, что А — малая величина. Из про­ стых тригонометрических преобразований следует квадратное урав­

Если в (7.24) выражение под знаком корня будет отрицательным, то Д будет комплексным числом с отрицательной либо положительной мнимой частью, что в свою очередь означает соответствие определяе­ мой (7.22) постоянной распространения двум волнам, распространяю­ щимся в одном направлении, причем одна из них ослабляется, а дру­ гая усиливается. Из решения (7.24) следует, что усиливаемая волна, которой соответствует знак минус, будет подвергаться максимальному усилению, если выполняется условие так называемого фазового син­ хронизма

Рис. 7.4. Эквивалентная схема входа и выхода усилителя с бегущей волной с по­ следовательным включением варакторных диодов.

Учитывая, что в выражениях (7.29) и (7.30) нет члена, подобного а в (7.27) и (7.28), который обусловливает усиление или ослабление, а также учитывая, что б 3 и б 4 по определению являются малыми ве­ личинами по сравнению с остальными членами в скобках, видим, что постоянные Г 3 и Г 4 характеризуют соответственно прямую и обрат­ ную незатухающую волну. Эффект параметрического усиления и ос­ лабления наблюдается лишь в результате воздействия волн, описыва­ емых постоянными Тх и Г 2 в соответствии с (7.26)—(7.28).

Для расчета усиления следует определить комплексные амплиту­ ды токов (7.15) на входе и выходе схемы. Представим вход и выход схе­ мы, изображенной на рис. 7.1, в виде эквивалентной схемы (рис. 7.4). Соответствующие уравнения Кирхгофа для этих цепей символически можно записать как

а также учитывая допущение, что для рассматриваемой схемы индекс п

215