Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

верхнему и

нижнему

пределам интегрирования,

т. е.

 

ь

 

 

 

 

\f(x)dx

= F{b)-F{d),

 

(1)

 

а

 

 

 

где функция

F(x) такая, что F'(x) =

f(x).

 

Благодаря этому открытию прямое вычисление опре­

деленного интеграла

как предела

интегральной

суммы

2 f(x) • Ах

оказалось

возможным

заменить действием,

обратным дифференцированию. Таким образом, задачи второго типа приобрели для своего решения общий ме­ тод.

Именно поэтому изучение интегрального исчисления мы начали с рассмотрения действия, обратного дейст­ вию дифференцирования, т. е. с неопределенного инте­ грирования.

Великая заслуга Ньютона и Лейбница состоит в том, что они полностью выяснили глубокую связь между дифференциальным исчислением и интегральным исчис­ лением и, последовательно используя эту связь, создали единую математическую теорию — анализ бесконечно малых (см. стр. 10—11). В математической литературе

-приведенная выше формула (1) часто именуется фор­ мулой Ньютона — Лейбница; это наименование напоми­ нает о заслугах этих двух гениальных ученых перед наукой.

Связь дифференциального и интегрального исчисле­ ний являет собой пример диалектического развития нау­ ки: два учения, противостоящие друг другу на первых этапах развития, образуют затем диалектическое един­ ство.

Ньютон и Лейбниц ввели в математику

бесконечные

ряды, ставшие

существенным

орудием

исследования

в математическом

анализе.

 

 

Труды этих великих ученых послужили мощным

толчком как к развитию в X V I I I

веке самого математи­

ческого анализа, так и к созданию новых областей в ма­ тематике (дифференциальные уравнения, элементы основ теории которых изложены в настоящем курсе, вариационное исчисление, начала интегральных уравне­ ний и т. д.). Развитию математики способствовало и бурное развитие естествознания и техники. Возникав­ шие в естествознании проблемы ставили перед матема­ тикой задачи, требовавшие быстрого разрешения. Про-

4 3 1

никновенне математических методов в науки, связанные с изучением явлений реального мира и даже простой практики, способствовало развитию и самой матема­ тики. За короткий срок математика обогатилась важ­ нейшими, фундаментальными достижениями. Однако накопление, так сказать, математических фактов оста­ валось долгое время без достаточно прочно построен­ ного логического фундамента, и отсутствие обоснования основ математического анализа грозило остановить рост и самой математики. Поэтому творцам в области мате­

матики пришлось обратиться к ревизии

и укреплению

логического фундамента математической

теории,

что и

было осуществлено, начиная с двадцатых

годов

•XIX века, трудами крупнейших ученых этого столетия •(Коши, Абель, Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). На­ ряду с ревизией и укреплением фундамента продолжа­ лось и продолжается до снх пор построение и самого здания математики. Продолжается проникновение ма­ тематики в область естествознания и техники. Матема­

тические методы используются теперь

и в биологин, и

в медицине. В свою очередь, развитие

техники требует

от технических работников овладения

математическими

методами в гораздо большей степени, чем это требова­ лось хотя бы десять лет тому назад. Управление совре­ менными сложными машинами, используемыми на про­ изводстве, умение обращаться со счетно-решающими электронными устройствами требуют от технических ра­ ботников большого теоретического образования. А так как основой теоретических инженерных дисциплин яв­ ляется математика, то роль математики в техническом образовании в наше время является решающим эле­ ментом в формировании специалистов.

Смотрите также файлы