Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математика приобрела особенно большое значение как орудие познания внешнего мира и средство для решения важных практических задач науки и техники,

ческие образы (линии) первоначально средствами ал­ гебры и тригонометрии, а затем и методами математи­ ческого анализа (дифференциального исчисления).

Таким образом, две, казалось бы совершенно разно­ родные дисциплины — геометрия и анализ — оказались тесно связанными между собой. Эта взаимная связь, оказавшаяся возможной благодаря введению в матема­ тику переменных величин, оплодотвоояет к я ж ч у ю и-> двух математических дисциплин, способствуя их более

связи между переменными величинами, является ото­ бражением взаимосвязи между предметами реального мира и дает возможность применять математику к из­ учению реальных процессов. На протяжении курса мы не раз встречались с примерами, когда функция изобра­ жает тот или иной физический процесс: закон движения

428

материальной точки, скорость течения химической реак­ ции, закон изменения силы тока и т. п.

в подавляющем большинстве случаев приводит к ма­ тематическим задачам двух типов, причем оказывается, что задачи одного типа решаются методом, составляю­

Как мы уже знаем, дифференциальное исчисление решает задачу определения скорости того или иного процесса: скорости движения материальной точки, ско­ рости течения химической реакции и т. п. Здесь мы встречаемся с задачей, когда нам известно течение про­

можно сформулировать как задачу определения мгно­

Для выяснения сущности метода интегрального ис­ числения нам придется сделать предварительно замеча­

этой дисциплины. В науке возник сперва не неопреде­ ленный интеграл, а определенный и не как разность значений первообразной (см. § 82), а как предел инте­ гральной суммы (см. § 83). Объясняется это тем, что такого рода предельный переход представляет собой естественный метод решения задач, типичных для очень большого круга практических вопросов. К числу таких задач относится, например, уже известная нам задача определения работы силы (см. § 90). Здесь мы имеем

429

ствием силы по прямолинейному отрезку," и требуется найти работу, производимую силой при перемещении точки на протяжении заданного отрезка. Такая задача типична для интегрального исчисления. Исходя из этого частного примера, задачу интегрального исчисления можно сформулировать в общем виде как задачу уста­ новления свойств явления «в целом» (на протяжении заданного отрезка, промежутка времени и т. п.) на основании его характеристики в точке (на основании мгновенной, местной характеристики).

Из предыдущего известно, что вычисление работы силы сводится к вычислению предела интегральной сум­ мы, т. е. к вычислению определенного интеграла (§ 90). То же самое имеет место при решении всякой задачи рассматриваемого типа.

На первом этапе развития интегрального исчисления все задачи этого вида решались прямым вычислением искомого предела интегральной суммы; именно таким путем были решены некоторые задачи уже в древности (Архимед). Но при таком подходе к делу каждая новая задача интегрального исчисления требовала изобретения особых способов для вычисления предела каждой полу­ чаемой интегральной суммы. Общего способа для вы­ числения пределов интегральных сумм не существовало.

Между тем простое сравнение самой постановки за­ дач дифференциального и интегрального исчислений показывает, что задачи этих двух типов являются в пол­ ном смысле слова взаимно обратными. Указанное об­ стоятельство не могло не направить мысль ученых на отыскание с в я з и м е ж д у д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и и н т е г р а л ь н ы м и с ч и с л е н и я м и . Такая связь и была обнаружена еще до появления работ Ньютона и Лейбница. Эта связь состоит в том, что производная

а

Вслед за ьтем было обнаружено, что определенный ин-

теграл J f(x)dx, являющийся пределом интегральной

а

суммы, оказывается в то же время равным разности значений любой первообразной F(x) для подынтеграль­ ной функции f{x) при значениях аргумента, равных

430